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文檔簡介

第一章三角形的證明(單元重點(diǎn)綜合測試)一、單選題1.已知等腰三角形的一邊長為,另一邊長為,則它周長是()A. B. C. D.或2.如圖,在中,于點(diǎn)D,添加一個(gè)條件,可使用“”判定與全等的是(

)A. B. C. D.3.如圖,,,則有()A.垂直平分 B.與互相垂直平分C.垂直平分 D.平分4.如圖,在中,按以下步驟作圖:①分別以點(diǎn)A、C為圓心,以大于的長為半徑畫弧,兩弧交于P、Q兩點(diǎn);②作直線交于點(diǎn)D,交于點(diǎn)E;③連接.若,,則的周長為()A. B. C. D.5.如圖,在中,,,,,則的長為(

).A.2 B.4 C.6 D.86.在下列結(jié)論中:(1)有一個(gè)外角是的等腰三角形是等邊三角形(2)有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形(3)有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形(4)三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形其中正確的個(gè)數(shù)是()A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)7.如圖,圖中小正方形的邊長都為1,的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則是(

)A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.無法判斷8.如圖,是的角平分線,,垂足為E,若,,,則的長為(

A.6 B.5 C.4 D.39.如圖,已知中,,F(xiàn)是高和的交點(diǎn),,則線段的長度為(

)A.6 B.8 C.10 D.1210.如圖,點(diǎn)A、B、C在一條直線上,均為等邊三角形,連接和,分別交、于點(diǎn)M、P,交于點(diǎn)Q,連接,下面結(jié)論:①②

③為等邊三角形

⑤平分,其中正確的有(

)A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)二、填空題11.如圖,在等邊△ABC中,于點(diǎn)D,若,則________.12.如圖中,,,則______.13.若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為,則這個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)是____.14.如圖,在中,,點(diǎn)在上,,交于點(diǎn),的周長為,的周長為,則邊的長為______.15.如圖,,平分,點(diǎn)在上,于,,點(diǎn)是射線上的動點(diǎn),則的最小值為____cm.

16.如圖,是中邊的垂直平分線,若,,,則的周長是_________.17.如圖,在中,,,于D,于E,與交于H,則__________.18.如圖,三角形中,,于點(diǎn),平分,交與點(diǎn),于點(diǎn),且交于點(diǎn),若,則______,________.三、解答題19.如圖,等邊中,分別交BC,AC于點(diǎn)D、E.求證:是等邊三角形.20.如圖,已知點(diǎn)、在的邊上,,.(1)求證:;(2)若,求的度數(shù).21.在中,為延長線上一點(diǎn),點(diǎn)在上,連接、,且.(1)求證:;(2)若,求的長.22.如圖,中,,是的中線,垂直平分.(1)求證:;(2)若,求的度數(shù).23.已知.(1)用尺規(guī)完成下列作圖:(保留作圖痕跡,不寫作法)①作的平分線;②在上任取一點(diǎn)F,作的垂直平分線分別與、交于P、Q;(2)在(1)的條件下線段與有什么數(shù)量關(guān)系,并說明理由.24.如圖,,,,.(1)求證:;(2)連接EC,AO,求證:AO垂直平分EC.25.如圖,是的兩條高,P是邊的中點(diǎn),連接.(1)求證:△PEF是等腰三角形;(2)若,求的度數(shù).26.如圖,在中,邊的垂直平分線分別交,于點(diǎn),,邊的垂直平分線分別交,于點(diǎn),,,的延長線交于點(diǎn).

(1)試判斷點(diǎn)是否在的垂直平分線上,并說明理由;(2)若,求的周長;(3)若,求的度數(shù).27.以的、為邊作和,且,,與相交于M,.(1)如圖1,求證:;(2)在圖1中,連接,則_____,_____;(都用含α的代數(shù)式表示)(3)如圖2,若,G、H分別是、的中點(diǎn),求的度數(shù).28.如圖1,在△ABD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AB和AD上的點(diǎn),滿足AE=EF,連接EF并延長交BD延長線于點(diǎn)C.(1)若DC=DF=EF,求證:AB=BC;(2)如圖2,過B作BG⊥AD,垂足為G.(i)求證:∠ABG=∠GBD+∠C;(ii)如圖3,連接AC,若∠GBD=30°,AF=BD,△BDG的面積為4,求△AFC的面積.

第一章三角形的證明(單元重點(diǎn)綜合測試)答案全解全析一、單選題1.已知等腰三角形的一邊長為,另一邊長為,則它周長是()A. B. C. D.或【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分類討論,即可得到答案.【解析】解:當(dāng)是等腰三角形的腰時(shí),,不能構(gòu)成三角形,當(dāng)是等腰三角形的腰時(shí),,能構(gòu)成三角形,此時(shí)三角形的周長為:,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系,熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系,是解題的關(guān)鍵.2.如圖,在中,于點(diǎn)D,添加一個(gè)條件,可使用“”判定與全等的是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】本題主要考查直角三角形全等的判定定理,熟練掌握直角三角形全等的判定條件是解題的關(guān)鍵;由題意易得,然后根據(jù)選項(xiàng)可進(jìn)行求解.【解析】解:∵,∴,∵,∴當(dāng)添加時(shí),則可根據(jù)“”判定;當(dāng)添加時(shí),由于全等條件不足,所以無法判定;當(dāng)添加時(shí),由于全等條件不足,所以無法判定;當(dāng)添加時(shí),由于全等條件不足,所以無法判定;故選A.3.如圖,,,則有()

A.垂直平分 B.與互相垂直平分C.垂直平分 D.平分【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到答案.【解析】解:,,是線段的垂直平分線,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì),熟知線段垂直平分線上任意一點(diǎn),到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.4.如圖,在中,按以下步驟作圖:①分別以點(diǎn)A、C為圓心,以大于的長為半徑畫弧,兩弧交于P、Q兩點(diǎn);②作直線交于點(diǎn)D,交于點(diǎn)E;③連接.若,,則的周長為()A. B. C. D.【答案】D【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖,線段的垂直平分線的性質(zhì),根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到,即可求出的周長.【解析】解:根據(jù)題意得:是垂直平分線,,,,的周長為:,故選:D.5.如圖,在中,,,,,則的長為(

).A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定、三角形外角的性質(zhì)及角三角形的性質(zhì),熟知這些內(nèi)容是正確解題的關(guān)鍵。利用已知條件可求的度數(shù),進(jìn)而知道,根據(jù)等腰三角形的判定得,再利用三角形外角性質(zhì)得,然后根據(jù)含的直角三角形三邊的關(guān)系可得到的長即可得.【解析】解:在中,,,,,,,,在中,,.故選:B.6.在下列結(jié)論中:(1)有一個(gè)外角是的等腰三角形是等邊三角形(2)有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形(3)有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形(4)三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形其中正確的個(gè)數(shù)是()A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和定義,可得:有一個(gè)角為的等腰三角形是等邊三角形;三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形為等邊三角形;再由中線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的定義可解答本題.【解析】解:(1):因?yàn)橥饨呛团c其對應(yīng)的內(nèi)角的和是,已知有一個(gè)外角是,即是有一個(gè)內(nèi)角是,有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形是等邊三角形.該結(jié)論正確.(2):兩個(gè)外角相等說明該三角形中兩個(gè)內(nèi)角相等,而等腰三角形的兩個(gè)底角是相等的,故不能確定該三角形是等邊三角形.該結(jié)論錯(cuò)誤.(3):等腰三角形的底邊上的高和中線本來就是重合的,“有一邊”可能是底邊,故不能保證該三角形是等邊三角形.該結(jié)論錯(cuò)誤.(4):三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形.正確;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用的等邊三角形的判定方法解決問題.7.如圖,圖中小正方形的邊長都為1,的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則是(

A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.無法判斷【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出各邊的長,再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀即可.【解析】解:由圖形可知:;;,∴,∴是直角三角形.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理及其逆定理,熟知如果三角形的三邊長a,b,c滿足,那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.8.如圖,是的角平分線,,垂足為E,若,,,則的長為(

A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【分析】如圖所示,過點(diǎn)D作于F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到,再根據(jù)進(jìn)行求解即可.【解析】解:如圖所示,過點(diǎn)D作于F,∵是的角平分線,,,∴,∵,∴,∴,∴,故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì),熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.9.如圖,已知中,,F(xiàn)是高和的交點(diǎn),,則線段的長度為(

)A.6 B.8 C.10 D.12【答案】C【分析】根據(jù)高和角的關(guān)系得,根據(jù)得,根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)得AD=BD,然后利用ASA即可得,即可得CD的長度,再求出AD的長度,即可得.【解析】解:∵AD、BE是三角形的高,∴,,∴,∵,∴,∴,∴AD=BD,在和中,∴(ASA),∴CD=FD,∵,,∴,∴,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì).10.如圖,點(diǎn)A、B、C在一條直線上,均為等邊三角形,連接和,分別交、于點(diǎn)M、P,交于點(diǎn)Q,連接,下面結(jié)論:①②

③為等邊三角形

⑤平分,其中正確的有(

)A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】D【分析】由,,,可證,可判斷①的正誤;由,可判斷②的正誤;證明,則,可證是等邊三角形,可判斷③的正誤;由,可得,可判斷④的正誤;如圖,作于,于,由,,,可得,則平分,可判斷⑤的正誤.【解析】解:∵均為等邊三角形,∴,∴,∵,,,∴,①正確,故符合要求;∴,∴,②正確,故符合要求;∵,∴,∴,∴是等邊三角形,③正確,故符合要求;∴,∴,④正確,故符合要求;如圖,作于,于,∵,∴,,∵,∴,即,∴平分,⑤正確,故符合要求;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,角平分線的判定定理,平行線的判定等知識.熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,角平分線的判定定理,平行線的判定是解題的關(guān)鍵.二、填空題11.如圖,在等邊△ABC中,于點(diǎn)D,若,則________.【答案】4【分析】根據(jù)△ABC是等邊三角形可知AB=AC,再由BD⊥AC可知AD=AC,由此即可得出結(jié)論.【解析】解:∵△ABC是等邊三角形,AB=8,∴AB=AC=8,∵BD⊥AC,∴AD=AC=×8=4.故答案為:4.【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì),熟知等邊三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.12.如圖中,,,則______.【答案】【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可知,再結(jié)合已知條件求解即可.【解析】解:在中,,∴,又∵,∴,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì),熟知含30度角的直角三角形中30度角所對的直角邊的長是斜邊長的一半是解題的關(guān)鍵.13.若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為,則這個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)是____.【答案】或/或【分析】在等腰中,,為腰上的高,,討論:當(dāng)在內(nèi)部時(shí),如圖1,先計(jì)算出,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計(jì)算出;當(dāng)在外部時(shí),如圖2,先計(jì)算出,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出.【解析】解:在等腰中,,為腰上的高,,當(dāng)在內(nèi)部時(shí),如圖1,為高,,,,;當(dāng)在外部時(shí),如圖2,為高,,,,,而,,綜上所述,這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為或.故答案為:或.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì):等腰三角形的兩腰相等;等腰三角形的兩個(gè)底角相等;等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.14.如圖,在中,,點(diǎn)在上,,交于點(diǎn),的周長為,的周長為,則邊的長為______.

【答案】3【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定,如圖所示,連接,利用證明得到,根據(jù)三角形周長公式推出,再由,可得.【解析】解:如圖所示,連接,∵,,∴,在和中,,∴,∴,∵的周長為,的周長為,∴,∴,即,∵,∴,∴,故答案為:3.

15.如圖,,平分,點(diǎn)在上,于,,點(diǎn)是射線上的動點(diǎn),則的最小值為____cm.

【答案】【分析】過作,根據(jù)垂線段最短即可求出最小值.【解析】∵,平分,∴,∵,,∴,過作于點(diǎn),

∵,平分,∴,∵點(diǎn)是射線上的動點(diǎn),∴的最小值為,故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查了垂線段最短以及角平分線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)及垂線段最短的實(shí)際應(yīng)用.16.如圖,是中邊的垂直平分線,若,,,則的周長是_____.【答案】【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì),由線段垂直平分線的性質(zhì)得到,然后得到,即可求出的周長,掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【解析】解:∵是的垂直平分線,∴,∴,∴的周長,故答案為:.17.如圖,在中,,,于D,于E,與交于H,則__________.【答案】【分析】本題考查直角三角形兩個(gè)銳角互余,三角形的高的性質(zhì)等知識,延長交于點(diǎn)M,可得在中,三邊所在的高交于一點(diǎn),即,由此即可解答.【解析】解:延長交于點(diǎn)M,如圖,在中,三邊所在的高交于一點(diǎn),∴,∵,∴,故答案為:.18.如圖,三角形中,,于點(diǎn),平分,交與點(diǎn),于點(diǎn),且交于點(diǎn),若,則______,________.【答案】8【分析】作于,于,于,于,連接,先證得,運(yùn)用勾股定理可得,利用面積法求出,,,,,再運(yùn)用勾股定理即可求得答案.【解析】解:如圖,作于,于,于,于,連接,,,,,,,,,,,,平分,于,于,,,在和中,,,,,,在中,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,在中,,故答案為:8,.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識點(diǎn),熟練掌握以上知識點(diǎn),添加適當(dāng)?shù)妮o助線,是解此題的關(guān)鍵.三、解答題19.如圖,等邊中,分別交BC,AC于點(diǎn)D、E.求證:是等邊三角形.【答案】證明見詳解【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)得到,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到,,從而證明是等邊三角形.【解析】∵是等邊三角形,∴

,∵

,∴

,,∴,∴

是等邊三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定,平行線的性質(zhì),熟練掌握等邊三角形的判定定理是關(guān)鍵.20.如圖,已知點(diǎn)、在的邊上,,.(1)求證:;(2)若,求的度數(shù).【答案】(1)證明見解析;(2).【分析】(1)作于點(diǎn),利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到,,相減后即可得到正確的結(jié)論;(2)根據(jù)等邊三角形的判定得到是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系即可求解.【解析】(1)證明:如圖,過點(diǎn)作于.,,,,,.(2),是等邊三角形,,,,,.答:的度數(shù)為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì),熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.21.在中,為延長線上一點(diǎn),點(diǎn)在上,連接、,且.(1)求證:;(2)若,求的長.【答案】(1)見解析(2)7【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰三角形的判定與性質(zhì).(1)直接證明,得到,再利用等腰三角形的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論;(2)根據(jù),利用勾股定理求出,由(1)知,由即可求解.【解析】(1)證明:在與中,,,,;(2)解:,,,,,.22.如圖,中,,是的中線,垂直平分.(1)求證:;(2)若,求的度數(shù).【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)由直角三角形斜邊上的中線可得,利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得,進(jìn)而可證明結(jié)論;(2)由等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可得,即可求解.【解析】(1)證明:∵,是的中線,∴,∵垂直平分,∴,∴;(2)解:∵,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線,線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),三角形外角的性質(zhì)等知識的綜合運(yùn)用,掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.23.已知.(1)用尺規(guī)完成下列作圖:(保留作圖痕跡,不寫作法)①作的平分線;②在上任取一點(diǎn)F,作的垂直平分線分別與、交于P、Q;(2)在(1)的條件下線段與有什么數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【答案】(1)①圖形見解析;②圖形見解析;(2),理由見解析.【分析】(1)①本題主要考查了尺規(guī)作角平分線的作法,尺規(guī)作圖的關(guān)鍵在于熟練掌握角平分線的作法及要求.以A為圓心,以任意長為半徑畫弧,分別與AM,AN交于兩點(diǎn),再分別以兩交點(diǎn)為圓心,以大于兩交點(diǎn)長的一半為半徑畫弧,二者交于一點(diǎn),過點(diǎn)A作射線經(jīng)過兩圓弧交點(diǎn),即為的角平分線;②本題主要考查了尺規(guī)作垂直平分線的作法,尺規(guī)作圖的關(guān)鍵在于熟練掌握垂直平分線的作法及要求.分別以A、F為圓心,以大于長的一半畫弧,二者分別交于兩點(diǎn),連接兩交點(diǎn),分別交于點(diǎn),于點(diǎn),則即為的垂直平分線;(2)本題考查了垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的應(yīng)用,運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)即可證明,解答本題的關(guān)鍵在于運(yùn)用全等三角形的性質(zhì).【解析】(1)解:①如下圖,②如下圖,(2),理由如下:如圖,在和中,∴()∴(全等三角形的對應(yīng)邊相等).24.如圖,,,,.(1)求證:;(2)連接EC,AO,求證:AO垂直平分EC.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】(1)先證得,可得.再由,,.可證得,即可求證;(2)由(1)可知,,.可得,從而得到,進(jìn)而得到點(diǎn)在的垂直平分線上.再由,點(diǎn)也在的垂直平分線上,即可求證.【解析】(1)證明:在和中,∵,,∴,∴.∵,,∴,∵,∴,∴;(2)證明∶如圖,由(1)可知,,.∴,∴,即,∴,∴點(diǎn)在的垂直平分線上.又∵,∴點(diǎn)也在的垂直平分線上,∴垂直平分.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),線段垂直平分線的判定,熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì),線段垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵.25.如圖,是的兩條高,P是邊的中點(diǎn),連接.(1)求證:△是等腰三角形;(2)若,求的度數(shù).【答案】(1)見解析(2).【分析】(1)利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)根據(jù)可得,利用等邊對等角得到,,然后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得答案.【解析】(1)證明:∵是的兩條高,∴和是直角三角形,又∵P為的中點(diǎn),∴,∴△是等腰三角形;(2)解:∵,∴,∵P為的中點(diǎn),∴,又∵,∴,,∴,,∴,又∵,,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì),三角內(nèi)角和定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半.26.如圖,在中,邊的垂直平分線分別交,于點(diǎn),,邊的垂直平分線分別交,于點(diǎn),,,的延長線交于點(diǎn).(1)試判斷點(diǎn)是否在的垂直平分線上,并說明理由;(2)若,求的周長;(3)若,求的度數(shù).【答案】(1)點(diǎn)在的垂直平分線上,證明見解析(2)(3)【分析】(1)連接,,,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得,,從而可得,然后利用線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理即可解答.(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得,,然后利用三角形的周長公式以及等量代換可得的周長,即可解答;(3)根據(jù)“等邊對等角”得,由三角形內(nèi)角和可得的度數(shù).【解析】(1)點(diǎn)在的垂直平分線上,理由如下:連接,,.∵,分別是,的垂直平分線,∴,,∴,∴點(diǎn)在的垂直平分線上;(2)∵,的垂直平分線分別交于點(diǎn),,∴,,的周長;

(3)∵,∴,,∴,∵,∴,∵,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.27.以的、為邊作和,且,,與相交于M,.(1)如圖1,求證:;(2)在圖1中,連接,則_____,_____;(都用含α的代數(shù)式表示)(3)如圖2,若,G、H分別是、的中點(diǎn),求的度數(shù).【答案】(1)見解析(2);(3)【分析】(1)根據(jù)證明三角形全等即可;(2)連接,過點(diǎn)A作于P,于N,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和對頂角相等求解即可;(3)連接,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可.【解析】(1)證明:∵,∴,即,在和中,,∴;(2)解:∵,∴,∵,,∴,如圖3,連接,過點(diǎn)A作于P,于N,∵,∴,,∴,∴,又∵,,∴平分,∴,∵∴.故答案為:;.(3)解:連接,

由(1)可得:,∴,,∵G、H分別是EC、BD的中點(diǎn),∴,,∴,在和中,,∴,∴,,∴,∴,∵,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等,解決本題的關(guān)鍵是掌握全等判定和性質(zhì).28.如圖1,在△ABD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AB和AD上的點(diǎn),滿足AE=EF,連接EF并延長交BD延長線于點(diǎn)C.(1)若DC=DF=EF,求證:AB=BC;(2)如圖2,過B作BG⊥AD,垂足為G.(i)求證:∠ABG=∠GBD+∠C;(ii)如圖3,連接AC,若∠GBD=30°,AF=BD,△BDG的面積為4,求△AFC的面積.【答案】(1)見解析(2)(i)見解析;(ii)S△ACF=8【分析】(1)先證明∠AEF=∠CDF,然后證明△AEF≌△FDC(SAS),得到AF=CF,進(jìn)一步證明△ABD≌

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