【八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)北師大版】第一章 三角形的證明（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）

第一章三角形的證明（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）一、單選題1．已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為，則它周長(zhǎng)是（）A． B． C． D．或2．如圖，在中，于點(diǎn)D，添加一個(gè)條件，可使用“”判定與全等的是（

）A． B． C． D．3．如圖，，，則有（）A．垂直平分 B．與互相垂直平分C．垂直平分 D．平分4．如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A、C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于P、Q兩點(diǎn)；②作直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E；③連接．若，，則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．5．如圖，在中，，，，，則的長(zhǎng)為（

）.A．2 B．4 C．6 D．86．在下列結(jié)論中：（1）有一個(gè)外角是的等腰三角形是等邊三角形（2）有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形（4）三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)7．如圖，圖中小正方形的邊長(zhǎng)都為1，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無(wú)法判斷8．如圖，是的角平分線，，垂足為E，若，，，則的長(zhǎng)為（

）

A．6 B．5 C．4 D．39．如圖，已知中，，F(xiàn)是高和的交點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)度為（

）A．6 B．8 C．10 D．1210．如圖，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，均為等邊三角形，連接和，分別交、于點(diǎn)M、P，交于點(diǎn)Q，連接，下面結(jié)論：①②

③為等邊三角形

④

⑤平分，其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)二、填空題11．如圖，在等邊△ABC中，于點(diǎn)D，若，則________．12．如圖中，，，則______．13．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則這個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)是____．14．如圖，在中，，點(diǎn)在上，，交于點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，則邊的長(zhǎng)為_(kāi)_____．15．如圖，，平分，點(diǎn)在上，于，，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)___cm．

16．如圖，是中邊的垂直平分線，若，，，則的周長(zhǎng)是_________．17．如圖，在中，，，于D，于E，與交于H，則__________．18．如圖，三角形中，，于點(diǎn)，平分，交與點(diǎn)，于點(diǎn)，且交于點(diǎn)，若，則______，________．三、解答題19．如圖，等邊中，分別交BC，AC于點(diǎn)D、E．求證：是等邊三角形．20．如圖，已知點(diǎn)、在的邊上，，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．21．在中，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接、，且．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．22．如圖，中，，是的中線，垂直平分．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．23．已知．(1)用尺規(guī)完成下列作圖：（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）①作的平分線；②在上任取一點(diǎn)F，作的垂直平分線分別與、交于P、Q；(2)在（1）的條件下線段與有什么數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．24．如圖，，，，．(1)求證：；(2)連接EC，AO，求證：AO垂直平分EC．25．如圖，是的兩條高，P是邊的中點(diǎn)，連接．(1)求證：△PEF是等腰三角形；(2)若，求的度數(shù)．26．如圖，在中，邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．

(1)試判斷點(diǎn)是否在的垂直平分線上，并說(shuō)明理由；(2)若，求的周長(zhǎng)；(3)若，求的度數(shù)．27．以的、為邊作和，且，，與相交于M，．(1)如圖1，求證：；(2)在圖1中，連接，則_____，_____；（都用含α的代數(shù)式表示）(3)如圖2，若，G、H分別是、的中點(diǎn)，求的度數(shù)．28．如圖1，在△ABD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB和AD上的點(diǎn)，滿足AE=EF，連接EF并延長(zhǎng)交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．(1)若DC=DF=EF，求證：AB=BC；(2)如圖2，過(guò)B作BG⊥AD，垂足為G．（i）求證：∠ABG=∠GBD+∠C；（ii）如圖3，連接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面積為4，求△AFC的面積．

第一章三角形的證明（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）答案全解全析一、單選題1．已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為，則它周長(zhǎng)是（）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分類討論，即可得到答案．【解析】解：當(dāng)是等腰三角形的腰時(shí)，，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)是等腰三角形的腰時(shí)，，能構(gòu)成三角形，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，于點(diǎn)D，添加一個(gè)條件，可使用“”判定與全等的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查直角三角形全等的判定定理，熟練掌握直角三角形全等的判定條件是解題的關(guān)鍵；由題意易得，然后根據(jù)選項(xiàng)可進(jìn)行求解．【解析】解：∵，∴，∵，∴當(dāng)添加時(shí)，則可根據(jù)“”判定；當(dāng)添加時(shí)，由于全等條件不足，所以無(wú)法判定；當(dāng)添加時(shí)，由于全等條件不足，所以無(wú)法判定；當(dāng)添加時(shí)，由于全等條件不足，所以無(wú)法判定；故選A．3．如圖，，，則有（）

A．垂直平分 B．與互相垂直平分C．垂直平分 D．平分【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到答案．【解析】解：，，是線段的垂直平分線，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A、C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于P、Q兩點(diǎn)；②作直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E；③連接．若，，則的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，即可求出的周長(zhǎng)．【解析】解：根據(jù)題意得：是垂直平分線，，，，的周長(zhǎng)為：，故選：D．5．如圖，在中，，，，，則的長(zhǎng)為（

）.A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定、三角形外角的性質(zhì)及角三角形的性質(zhì)，熟知這些內(nèi)容是正確解題的關(guān)鍵。利用已知條件可求的度數(shù)，進(jìn)而知道，根據(jù)等腰三角形的判定得，再利用三角形外角性質(zhì)得，然后根據(jù)含的直角三角形三邊的關(guān)系可得到的長(zhǎng)即可得．【解析】解：在中，，，,，,,，在中，，．故選：B．6．在下列結(jié)論中：（1）有一個(gè)外角是的等腰三角形是等邊三角形（2）有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形（4）三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和定義，可得：有一個(gè)角為的等腰三角形是等邊三角形；三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形為等邊三角形；再由中線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的定義可解答本題．【解析】解：（1）：因?yàn)橥饨呛团c其對(duì)應(yīng)的內(nèi)角的和是，已知有一個(gè)外角是，即是有一個(gè)內(nèi)角是，有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形是等邊三角形．該結(jié)論正確．（2）：兩個(gè)外角相等說(shuō)明該三角形中兩個(gè)內(nèi)角相等，而等腰三角形的兩個(gè)底角是相等的，故不能確定該三角形是等邊三角形．該結(jié)論錯(cuò)誤．（3）：等腰三角形的底邊上的高和中線本來(lái)就是重合的，“有一邊”可能是底邊，故不能保證該三角形是等邊三角形．該結(jié)論錯(cuò)誤．（4）：三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形．正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用的等邊三角形的判定方法解決問(wèn)題．7．如圖，圖中小正方形的邊長(zhǎng)都為1，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則是（

）

A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無(wú)法判斷【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出各邊的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀即可．【解析】解：由圖形可知：；；，∴，∴是直角三角形．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．8．如圖，是的角平分線，，垂足為E，若，，，則的長(zhǎng)為（

）

A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．【解析】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于F，∵是的角平分線，，，∴，∵，∴，∴，∴，故選D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．9．如圖，已知中，，F(xiàn)是高和的交點(diǎn)，，則線段的長(zhǎng)度為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根據(jù)高和角的關(guān)系得，根據(jù)得，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)得AD=BD，然后利用ASA即可得，即可得CD的長(zhǎng)度，再求出AD的長(zhǎng)度，即可得．【解析】解：∵AD、BE是三角形的高，∴，，∴，∵，∴，∴，∴AD=BD，在和中，∴（ASA），∴CD=FD，∵，，∴,∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．10．如圖，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，均為等邊三角形，連接和，分別交、于點(diǎn)M、P，交于點(diǎn)Q，連接，下面結(jié)論：①②

③為等邊三角形

④

⑤平分，其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】由，，，可證，可判斷①的正誤；由，可判斷②的正誤；證明，則，可證是等邊三角形，可判斷③的正誤；由，可得，可判斷④的正誤；如圖，作于，于，由，，，可得，則平分，可判斷⑤的正誤．【解析】解：∵均為等邊三角形，∴，∴，∵，，，∴，①正確，故符合要求；∴，∴，②正確，故符合要求；∵，∴，∴，∴是等邊三角形，③正確，故符合要求；∴，∴，④正確，故符合要求；如圖，作于，于，∵，∴，，∵，∴，即，∴平分，⑤正確，故符合要求；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的判定定理，平行線的判定等知識(shí)．熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的判定定理，平行線的判定是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，在等邊△ABC中，于點(diǎn)D，若，則________．【答案】4【分析】根據(jù)△ABC是等邊三角形可知AB＝AC，再由BD⊥AC可知AD＝AC，由此即可得出結(jié)論．【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，AB＝8，∴AB＝AC＝8，∵BD⊥AC，∴AD＝AC＝×8＝4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，熟知等邊三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．12．如圖中，，，則______．【答案】【分析】根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可知，再結(jié)合已知條件求解即可．【解析】解：在中，，∴，又∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟知含30度角的直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊的長(zhǎng)是斜邊長(zhǎng)的一半是解題的關(guān)鍵．13．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則這個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)是____．【答案】或/或【分析】在等腰中，，為腰上的高，，討論：當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖1，先計(jì)算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計(jì)算出；當(dāng)在外部時(shí)，如圖2，先計(jì)算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出．【解析】解：在等腰中，，為腰上的高，，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖1，為高，，，，；當(dāng)在外部時(shí)，如圖2，為高，，，，，而，，綜上所述，這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為或．故答案為：或．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個(gè)底角相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．14．如圖，在中，，點(diǎn)在上，，交于點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，則邊的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

【答案】3【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，如圖所示，連接，利用證明得到，根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式推出，再由，可得．【解析】解：如圖所示，連接，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，∴，∴，即，∵，∴，∴，故答案為：3．

15．如圖，，平分，點(diǎn)在上，于，，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)___cm．

【答案】【分析】過(guò)作，根據(jù)垂線段最短即可求出最小值．【解析】∵，平分，∴，∵，，∴，過(guò)作于點(diǎn)，

∵，平分，∴，∵點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了垂線段最短以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)及垂線段最短的實(shí)際應(yīng)用．16．如圖，是中邊的垂直平分線，若，，，則的周長(zhǎng)是_____．【答案】【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，然后得到，即可求出的周長(zhǎng)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵是的垂直平分線，∴，∴，∴的周長(zhǎng)，故答案為：．17．如圖，在中，，，于D，于E，與交于H，則__________．【答案】【分析】本題考查直角三角形兩個(gè)銳角互余，三角形的高的性質(zhì)等知識(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，可得在中，三邊所在的高交于一點(diǎn)，即，由此即可解答．【解析】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，如圖，在中，三邊所在的高交于一點(diǎn)，∴，∵，∴，故答案為：．18．如圖，三角形中，，于點(diǎn)，平分，交與點(diǎn)，于點(diǎn)，且交于點(diǎn)，若，則______，________．【答案】8【分析】作于，于，于，于，連接，先證得，運(yùn)用勾股定理可得，利用面積法求出，，，，，再運(yùn)用勾股定理即可求得答案．【解析】解：如圖，作于，于，于，于，連接，，，，，，，，，，，，平分，于，于，，，在和中，，，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在中，，故答案為：8，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解此題的關(guān)鍵．三、解答題19．如圖，等邊中，分別交BC，AC于點(diǎn)D、E．求證：是等邊三角形．【答案】證明見(jiàn)詳解【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，從而證明是等邊三角形．【解析】∵是等邊三角形，∴

，∵

，∴

，，∴，∴

是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定定理是關(guān)鍵．20．如圖，已知點(diǎn)、在的邊上，，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）作于點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，，相減后即可得到正確的結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的判定得到是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系即可求解．【解析】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作于．，，，，，．（2），是等邊三角形，，，，，．答：的度數(shù)為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．21．在中，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接、，且．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)7【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)．（1）直接證明，得到，再利用等腰三角形的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)，利用勾股定理求出，由（1）知，由即可求解．【解析】（1）證明：在與中，，，，；（2）解：，，，，，．22．如圖，中，，是的中線，垂直平分．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由直角三角形斜邊上的中線可得，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可證明結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可得，即可求解．【解析】（1）證明：∵，是的中線，∴，∵垂直平分，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用，掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．已知．(1)用尺規(guī)完成下列作圖：（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）①作的平分線；②在上任取一點(diǎn)F，作的垂直平分線分別與、交于P、Q；(2)在（1）的條件下線段與有什么數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)①圖形見(jiàn)解析；②圖形見(jiàn)解析；(2)，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）①本題主要考查了尺規(guī)作角平分線的作法，尺規(guī)作圖的關(guān)鍵在于熟練掌握角平分線的作法及要求．以A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別與AM，AN交于兩點(diǎn)，再分別以兩交點(diǎn)為圓心，以大于兩交點(diǎn)長(zhǎng)的一半為半徑畫(huà)弧，二者交于一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作射線經(jīng)過(guò)兩圓弧交點(diǎn)，即為的角平分線；②本題主要考查了尺規(guī)作垂直平分線的作法，尺規(guī)作圖的關(guān)鍵在于熟練掌握垂直平分線的作法及要求．分別以A、F為圓心，以大于長(zhǎng)的一半畫(huà)弧，二者分別交于兩點(diǎn)，連接兩交點(diǎn)，分別交于點(diǎn)，于點(diǎn)，則即為的垂直平分線；（2）本題考查了垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的應(yīng)用，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)即可證明，解答本題的關(guān)鍵在于運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)．【解析】（1）解：①如下圖，②如下圖，（2），理由如下：如圖，在和中，∴（）∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．24．如圖，，，，．(1)求證：；(2)連接EC，AO，求證：AO垂直平分EC．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）先證得，可得．再由，，．可證得，即可求證；（2）由（1）可知，，．可得，從而得到，進(jìn)而得到點(diǎn)在的垂直平分線上．再由，點(diǎn)也在的垂直平分線上，即可求證．【解析】（1）證明：在和中，∵，，∴，∴．∵，，∴，∵，∴，∴；（2）證明∶如圖，由（1）可知，，．∴，∴，即，∴，∴點(diǎn)在的垂直平分線上．又∵，∴點(diǎn)也在的垂直平分線上，∴垂直平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵．25．如圖，是的兩條高，P是邊的中點(diǎn)，連接．(1)求證：△是等腰三角形；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）根據(jù)可得，利用等邊對(duì)等角得到，，然后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得答案．【解析】（1）證明：∵是的兩條高，∴和是直角三角形，又∵P為的中點(diǎn)，∴，∴△是等腰三角形；（2）解：∵，∴，∵P為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，，∴，，∴，又∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，三角內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半．26．如圖，在中，邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)試判斷點(diǎn)是否在的垂直平分線上，并說(shuō)明理由；(2)若，求的周長(zhǎng)；(3)若，求的度數(shù)．【答案】(1)點(diǎn)在的垂直平分線上，證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）連接，，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，從而可得，然后利用線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理即可解答.（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，然后利用三角形的周長(zhǎng)公式以及等量代換可得的周長(zhǎng)，即可解答；（3）根據(jù)“等邊對(duì)等角”得，由三角形內(nèi)角和可得的度數(shù).【解析】（1）點(diǎn)在的垂直平分線上，理由如下：連接，，．∵，分別是，的垂直平分線，∴，，∴，∴點(diǎn)在的垂直平分線上；（2）∵，的垂直平分線分別交于點(diǎn)，，∴，，的周長(zhǎng)；

（3）∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．27．以的、為邊作和，且，，與相交于M，．(1)如圖1，求證：；(2)在圖1中，連接，則_____，_____；（都用含α的代數(shù)式表示）(3)如圖2，若，G、H分別是、的中點(diǎn)，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)證明三角形全等即可；（2）連接，過(guò)點(diǎn)A作于P，于N，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和對(duì)頂角相等求解即可；（3）連接，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【解析】（1）證明：∵，∴，即，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，如圖3，連接，過(guò)點(diǎn)A作于P，于N，∵，∴，，∴，∴，又∵，，∴平分，∴，∵∴．故答案為：；．（3）解：連接，

由（1）可得：，∴，，∵G、H分別是EC、BD的中點(diǎn)，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等判定和性質(zhì)．28．如圖1，在△ABD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB和AD上的點(diǎn)，滿足AE=EF，連接EF并延長(zhǎng)交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．(1)若DC=DF=EF，求證：AB=BC；(2)如圖2，過(guò)B作BG⊥AD，垂足為G．（i）求證：∠ABG=∠GBD+∠C；（ii）如圖3，連接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面積為4，求△AFC的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)（i）見(jiàn)解析；（ii）S△ACF＝8【分析】（1）先證明∠AEF＝∠CDF，然后證明△AEF≌△FDC（SAS），得到AF＝CF，進(jìn)一步證明△ABD≌