第2章 牛頓運動定律

第2章牛頓運動定律◆本章學(xué)習(xí)目標1．對牛頓三定律要有正確的認識和較為深入的理解；2．正確運用牛頓定律分析力學(xué)問題，掌握隔離體分析力的解題方法；3．掌握圓周運動的向心力的求解方法；4．理解慣性系和非慣性系的區(qū)別。◆本章教學(xué)內(nèi)容1．牛頓運動定律；2．力學(xué)的單位制和量綱；3．牛頓運動定律的應(yīng)用；4．圓周運動的向心力；5．慣性系和非慣性系?！舯菊陆虒W(xué)重點1．牛頓運動定律的應(yīng)用；2．圓周運動向心力解決問題?！舯菊陆虒W(xué)難點1．隔離法解決力學(xué)問題；2．慣性系和非慣性系的區(qū)別?！舯菊聦W(xué)習(xí)方法建議及參考資料1．注意掌握各種力的分析計算及條件；2．講授過程中注重解題思路的訓(xùn)練。參考資料東南大學(xué)等七所工科院校編，《物理學(xué)》，高等教育出版，1999年11月第4版

§2.1牛頓運動定律一、牛頓第一定律1．表述任何物體都保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)，直到其他物體所作用的力迫使它改變這種狀態(tài)為止。2．本質(zhì)規(guī)律物體運動的慣性。由牛頓第一定律可知，物體之所以靜止或作勻速直線運動是由于物體的本性造成的。這種本性叫做物體運動的慣性。慣性的大小可以使用一個物理量—質(zhì)量來描寫。這個質(zhì)量也稱為物體的慣性質(zhì)量。物體質(zhì)量越大，慣性越大，保持原有運動狀態(tài)的本領(lǐng)越強。牛頓第一定律闡明了力是改變運動狀態(tài)的原因，而不是維持物體運動狀態(tài)的因素。二、牛頓第二定律1．表述物體受到外力的作用時，物體所獲得的加速度的大小與合外力的大小成正比，并與物體的質(zhì)量成反比；加速度的方向與合外力的方向相同。2．公式表示F=ma上式是矢量形式的，也叫做牛頓運動方程。牛頓運動方程在固定直角坐標系和自然坐標系中它的分量式分別可以表示為：和。3．注意事項（1）只適用于質(zhì)點的運動。（2）牛頓第二定律表達了F和a的瞬時關(guān)系。。物體在t時刻具有的加速度與同一時刻所受的力大小成正比，方向相同，并且表現(xiàn)為時間t的函數(shù)。（3）它符合力的疊加原理。當幾個外力同時作用于物體時，其合外力所產(chǎn)生的加速度a，與每個外力所Fi所產(chǎn)生的加速度ai的矢量和是一樣的，這就是力的疊加原理。式中是第i個分力，上式稱為力的疊加原理。在大多數(shù)情況下，物體同時受到多個力的作用，F(xiàn)表示合力，a表示合力作用產(chǎn)生的總加速度。三、牛頓第三定律1．表述作用力和反作用力在同一直線上，大小相等而方向相反。2．公式表示F＝－F＇3．作用力和反作用力的特點作用力和反作用力是矛盾的兩個方面，同時產(chǎn)生同時消失；作用力和反作用力分別作用在兩個物體上，不能相互抵消；它們是同一性質(zhì)的力。即如果是作用力是彈性力，則反作用力也是彈性力。

§2.2力學(xué)單位制和量綱在物理學(xué)中，物理方程式中出現(xiàn)的物理量最終將表現(xiàn)為以一定單位測出的數(shù)值。因此，物理方程式要和一定的單位規(guī)定相聯(lián)系，這就牽涉到單位制和物理量的量綱問題，這一節(jié)將就力學(xué)中的單位和量綱進行討論。一、基本單位和導(dǎo)出單位單位制物理學(xué)中的物理量，通常都包含數(shù)值和單位兩部分，只有少數(shù)的物理量是沒有單位的純數(shù)。由于物理量之間存在著規(guī)律性的聯(lián)系，所以沒有必要對每個物理量的單位都進行規(guī)定，可以選取一些物理量作為基本量，對這些選為基本量的物理量規(guī)定其單位，這些單位稱為基本單位。不直接規(guī)定其單位的物理量稱為導(dǎo)出量，其單位可由該物理量和基本量的關(guān)系推導(dǎo)出來，稱為導(dǎo)出單位。還有一些不能歸類到基本單位或?qū)С鰡挝坏膯挝环Q為輔助單位。不同的基本單位、導(dǎo)出單位和輔助單位就形成不同的單位制。二、國際單位制和力學(xué)中常見的單位制1．國際單位制1960年第11屆國際計量大會通過了國際單位制，制定了基本單位、導(dǎo)出單位和輔助單位，并選擇了7個量為基本量。1984年2月27日，國務(wù)院頒布實行以國際單位制（SI）為基礎(chǔ)的法定單位制。基本量基本單位單位表示長度米m質(zhì)量千克kg時間秒s電流安培A溫度開爾文K物質(zhì)的量摩爾mol光強度坎德拉cd在國際單位制中，對平面角的單位rad（弧度）和立體角Sr（球面度）并示指定它們是基本單位還是導(dǎo)出單位，且可隨意將它們作為基本單位或?qū)С鰡挝弧?．物理量綱導(dǎo)出單位取決于基本單位及導(dǎo)出量和基本量關(guān)系式的選擇。導(dǎo)出單位對基本單位的依賴關(guān)系稱為該導(dǎo)出量的量綱式。在SI制中，我們用L、M、T分別表示長度、質(zhì)量和時間三個基本量的量綱。其他力學(xué)量Q都可以寫出以下的關(guān)系式[Q]＝LpMqTr在物理量Q的量綱中，指數(shù)p、q、r稱為Q的量綱，有時也直接把量綱式簡稱為量綱。例如速度、加速度、力和動量的量綱可以分別表示為[v]＝LT－1，[a]＝LT－2，[F]＝MLT－2，[P]＝MLT－1量綱在物理學(xué)中很重要，可以用量綱來檢驗表達式的正確性，因為只有量綱相同的量才可以加減或相等，如果一個表達式中各項的量綱不全相同，就可以肯定這個表達式有錯。當然，只是量綱正確，并不能保證結(jié)果就一定正確，因為還可能出現(xiàn)數(shù)字系數(shù)的錯誤。

§2.3牛頓定律的應(yīng)用一、力學(xué)中常見的力1．萬有引力萬有引力定律：任何兩個質(zhì)點之間都存在互相作用的引力，力的方向沿著兩質(zhì)點的連線；力的大小與兩質(zhì)點質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與兩質(zhì)點之間的距離r的平方成反比，即式中為方向的單位矢量。負號表示與方向相反，表現(xiàn)為引力。G為引力常量，G=6.67×10–11m3/kg×s2。m1、m2稱為物體的引力質(zhì)量，是物體具有產(chǎn)生引力和感受引力的屬性的量度。四種基本的自然力力的種類相互作用的物體力程力的強度萬有引力全部粒子10–34N電磁力帶電粒子102N強力夸克<10–15m104N弱力大多數(shù)（基本）粒子<10–17m10–2N2．重力重力是地球表面附近的物體受到的地球作用的萬有引力。若近似地將地球視為一個半徑R，質(zhì)量mE的均勻分布的球體，質(zhì)量為m的物體作質(zhì)點處理，則當物體距離地球表面h（h<<R）高度處時，所受地球的引力（重力）大小為。g為重力加速度，數(shù)值上等于單位質(zhì)量的物體受到的重力，故也可稱為重力場的場強。在一般的學(xué)習(xí)性計算中g(shù)取值為10ms-2。3、彈力兩個物體彼此相互接觸產(chǎn)生了擠壓或者拉伸，出現(xiàn)了形變，物體具有消除形變恢復(fù)原來形狀的趨勢而產(chǎn)生了彈力。實驗表明，在彈性限度內(nèi)，彈簧產(chǎn)生的彈性力與彈簧的形變（拉伸量或壓縮量）成正比，即F＝－kx式中k是彈簧的勁度系數(shù)，表示使彈簧產(chǎn)生單位長度形變所需施加的力的大小，它與彈簧的材料和形狀有關(guān)。4．摩擦力摩擦力也是普遍存在的，并在我們的生活和技術(shù)中產(chǎn)生重要作用。在桌面上滑動的物體，由于摩擦力的存在，其運動速度會逐漸減小，機床和車輪的轉(zhuǎn)軸，由于摩擦力的作用，會逐漸磨損。但是，如果沒有摩擦力，我們的一舉一動都會變得不可思議了，人無法行走，車子無法行駛，即使將車子開支起來也無法使它停止，連吃飯都變得十分困難了。當一個物體在另一個物體表面上滑行或有滑行趨勢時，在這兩具物體的接觸面上變會產(chǎn)生阻礙物體間做相對滑動的力，這種力叫摩擦力。當物體有滑動趨勢但尚未滑動時，作用在物體上的摩擦力稱為靜摩擦力。靜摩擦力的大小與外力的大小相等，而方向相反。靜摩擦力經(jīng)驗告訴我們，在外力F逐漸增大到某一值之前，物體一直能保持對地靜止，這說明在外力F增大的過程中，靜摩擦力FS也在增大，因此，靜摩擦力是有一個變化范圍的。當外力F增至某一值時，物體開始對地滑動，這時靜摩擦力也達到最大，以后變?yōu)榛瑒幽Σ亮?，實驗表明，最大靜摩擦力與兩物體之間的正壓力FN的大小成正比：

為靜摩擦因數(shù)，與接觸物體的材質(zhì)和表面情況有關(guān)。由以上分析可以知道，靜摩擦力的規(guī)律應(yīng)為：滑動摩擦力滑動摩擦力的大小與物體的材質(zhì)、表面情況以及正壓力等因素有關(guān)，一般還與物體的相對運動速率有關(guān)。與相對速率v的關(guān)系可以粗略地用下圖表示。在相對速度不是太大或太小的時候，可以認為滑動摩擦力的大小與物體間正壓力FN的大小成正比：

二、牛頓定律的應(yīng)用舉例1．應(yīng)用牛頓定律解決質(zhì)點動力學(xué)問題的三大類型第一類是已作用于質(zhì)點的力，求質(zhì)點的加速度或運動情況；第二類是已知物體加速度，求作用于質(zhì)點的力；第三類是已知作用于質(zhì)點的某些力和運動學(xué)條件，求質(zhì)點所受到的另一些力和質(zhì)點的運動情況。2．應(yīng)用牛頓定律解決力學(xué)問題的基本思路（1）選擇研究對象在了解有關(guān)問題的物理現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，選出一個或幾個物體作為“隔離體”或研究對象，分析周圍環(huán)境對它們的作用力和隔離體的運動情況。（2）分析運動狀態(tài)分析所認定的隔離體的運動狀態(tài)，包括它的軌道、速度和加速度，問題涉及幾個隔離體時，還要找出它們運動之間的聯(lián)系，即它們的速度呀加速度之間的關(guān)系。（3）畫出受力圖對選擇的隔離體進行受力分析，畫出簡單的受力示意圖，表示隔離體受力情況與運動情況。（4）建坐標列方程建立適當?shù)淖鴺讼?，在圖中注明坐標軸方向，把上面分析出的質(zhì)量、加速度和力用牛頓運動定律聯(lián)系起來，列出方程式。在方程式足夠的情況下就可以求解未知量了。3．應(yīng)用舉例[例1]英國劍橋大學(xué)物理教師阿特伍德,善于設(shè)計技巧的演示試驗,他為驗證牛頓第二定律而設(shè)計的滑輪裝置,稱作"阿特伍德機"。研究它需建立理想模型，在理論模型中，重物和可視為質(zhì)點；滑輪是理想的,求重物釋放后物體加速度及物體對繩的拉力。解：選地球作為慣性參考系研究對象分別為m1、m2xmxm1m2m1gm2g受力分析：m1:m2:由牛頓第二定律列方程由牛頓第三定律列方程坐標分量式①②繩不伸長，，解得：

[例2]質(zhì)量為m1傾角為q的斜塊可以在光滑水平面上運動。斜塊上放一小木塊，質(zhì)量為m2。斜塊與小木塊之間有摩擦，摩擦因數(shù)為m?，F(xiàn)有水平力F作用在斜塊上，如圖(a)所示。欲使小木塊m2與斜塊m1以相同的加速度一起運動，水平力F的大小應(yīng)該滿足什么條件？解：分別以m1、m2為研究對象，隔離物體受力分析如圖。由題意分析，如果水平力F過小從而加速度a過小，小木塊m2有沿斜面下滑的趨勢，此時斜塊對小木塊的靜摩擦力沿斜面向上，如圖(b)所示。如果水平力F過大從而加速度a過大，小木塊就有沿斜面上滑的趨勢，此時小木塊受到的靜摩擦力沿斜面向下，如圖(c)所示。下面分別就兩種情況列方程。(1)小木塊m2有沿斜面下滑的趨勢。對照圖(b)，小木塊受力有重力G2，斜面對它的正壓力FN，斜面對它的靜摩擦力FS，按圖示坐標，有：(1)(2)斜塊受力有重力G1，水平力F，小木塊給予的正壓力FN，小塊只沿水平方向運動，故只需列出x方向的方程就可以了。

(3)再考慮到m1、m2相對靜止，摩擦力為靜摩擦力應(yīng)有：(4)聯(lián)立求解（1）～（4）式，可得：(2)小木塊m2有沿斜面上滑的趨勢。參照圖(c)，對小木塊除了靜摩擦力FS改為沿斜面向下外，其它力方向不變，因此應(yīng)用(1)(2)對斜塊，靜摩擦力改為沿斜面向上，在x方向上有：(3)靜摩擦力FS仍然應(yīng)滿足：(4)聯(lián)立求解(1)～(4)式，可得：因此，水平力F的大小應(yīng)滿足[例3]一質(zhì)量為m的物體從高空中某處由靜止開始下落，下落過程中所受空氣阻力與物體速率的一次方成正比，比例系數(shù)c>0。求①物體落地前其速率隨時間變化的函數(shù)關(guān)系。②物體的運動方程。解：①選定該物體作研究對象，受力分析如上圖。物體受重力G，空氣阻力，負號表示與速度方向相反。以物體開始下落時為計時起點和坐標原點，取y軸豎直向下，牛頓第二定律方程為：考慮到此題是在已知力的情況下求速率v與時間t的關(guān)系，因此應(yīng)將代入上式，或者直接列出牛頓第二定律的微分形式，兩種方式都可得到：稍作化簡，令，得：這是一個關(guān)于速率v與時間t的一階微分方程，需要用積分的方法求解。先分離變量考慮到積分時需要確定積分限，還應(yīng)從題意中給出初始條件。根據(jù)計時起點和坐標原點的確定，初如條件為t=0時，，，現(xiàn)在對上式兩邊積分并將初始條件代入：積分得：解出物體速率隨時間變化的函數(shù)關(guān)系為：此式表明，在下落的前期，物體的速率隨時間t增大，由于空氣阻力也同時增大，因此速率的增大將逐漸變緩，當經(jīng)歷了相當長的時間后可近似認為，，速率將趨于一極限值，稱為極限速率，此后物體將以極限速率勻速運動，例如下雨時從高空中墜落的雨滴就可采用這一物理模型進行討論。②根據(jù)①求出的結(jié)果及，有：分離變量并將初始條件代入作為積分限：積分可得物體的運動學(xué)方程：

§2.4圓周運動的向心力一、圓周運動的向心力1.勻速圓周運動的動力學(xué)方程在上一章已經(jīng)討論過，當物體做勻速圓周運動時，物體只具有向心加速度，其方向始終指向圓心。根據(jù)牛頓第二定律，有Fn＝man2．勻變速圓周運動的動力學(xué)方程當物體做勻變速度圓周運動時，物體的加速度a可以分解成向心加速度（法向加速度）an和切向加速度at，即a=an+at因此，由牛頓第二中知，做變速圓周運動的物體所受各力的合力F為F＝man+mat顯然，向心力Fn為切向力Ft在變速圓周運動中，向心力使物體不斷地改變運動方向，沿著圓周運動，切向力使物體的速率發(fā)生變化。二、圓周運動動力學(xué)方程的舉例有一長為R的細繩，一端固定于O點，另一端系一質(zhì)量為m的小球，令小球繞O點在重力作用下于一豎直面內(nèi)做圓周運動，若欲使小球位于最高點時，繩的張力為0而小球又不離開圓形軌道下落，其速率應(yīng)為多大？并求出此條件下小球在軌道上任一位置的速率和繩中的張力。解：以小球為研究對象，受力分析如圖，根據(jù)牛頓第二定律（1）當小球位于最高點時，其法向力應(yīng)為小球的重力與繩的張力之和，根據(jù)題意，繩的張力此時為零，所以可得小球在最高點時的速率（2）當小球在任一位置時，如圖所示，設(shè)繩與豎直方向成θ角，則此時的分量式為其中則根據(jù)已知條件當θ＝0時，則兩邊積分可得代入分量式中，得

§2.5慣性系和非慣性系一、慣性系力學(xué)的相對性原理1．慣性系在運動學(xué)中，按照研究問題的方便，參考系的選擇可能是任意的，但是應(yīng)用牛頓運動定律時，參考系卻不能任意選擇，因為牛頓運動定律并非在任何參考系中都適用。例如，當兩人同時從一平臺上跳下來時，如各自以自身為參考系，觀察對方的運動，會發(fā)現(xiàn)對方是靜止的，按照牛頓第一定律，他不應(yīng)受到力的作用，然而每個人都確實受到重力的作用，與牛頓第一定律發(fā)生矛盾。又如，我們坐在加速運動的汽車里時，以車廂為參考系觀察周圍的現(xiàn)象，將看到路邊的樹木、房屋朝后方加速運動，但它們確實未受到任何推動力，故在加速運動的車廂里觀察的現(xiàn)象，也與牛頓第一定律不符?？梢姡⒎菍σ磺袇⒖枷蹬ｎD第一定律都成立。牛頓第一定律成立的參考系為慣性參考系，否則為非慣性系。牛頓第一定律只能在慣性系中才適用。要確定一個參考系是不是慣性系，只能依靠觀察和實驗。一般來說，地球并不是嚴格的慣性系，由于地球?qū)μ柕南蛐募铀俣纫约暗孛嫔系奈矬w對地心的向心加速度都比較小，所以地球仍可近似看成慣性系。如果一個參考系相對于某個慣性系靜止或做勻速直線運動，在慣性系中靜止或做勻速直線運動的質(zhì)點，在這個參照系中也必然靜止或做勻速直線運動。因而，相對于慣性參考系靜止或做勻速直線運動的任何其他參考系也一定是慣性系。在一切慣性參考系中，一切力學(xué)現(xiàn)象都是相同的，即物體所遵從的力學(xué)規(guī)律完全相同――稱為力學(xué)的相對性原理或伽利略相對性原理。2．慣性力非慣性系：牛頓第一定律不成立的參考系，叫非慣性系；反過來說，相對于已知慣性系做加速運動的參考性，一定不