第5章 剛體力學(xué)

剛體力學(xué)◆本章學(xué)習(xí)目標(biāo)了解剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式，在此基礎(chǔ)上掌握質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、轉(zhuǎn)動(dòng)定律、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理及動(dòng)量矩守恒定律?！舯菊陆虒W(xué)內(nèi)容剛體的基本運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及轉(zhuǎn)動(dòng)定律、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理、動(dòng)量矩守恒定律?！舯菊陆虒W(xué)重點(diǎn)1．剛體運(yùn)動(dòng)的描述（角速度、角加速度）。2．質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。3．剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及轉(zhuǎn)動(dòng)定理。4．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。5．動(dòng)量矩定理及動(dòng)量矩守恒定律?！舯菊陆虒W(xué)難點(diǎn)1．質(zhì)心概念。2．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。3．轉(zhuǎn)動(dòng)定律?！舯菊聦W(xué)習(xí)方法建議及參考資料1．本章內(nèi)容是新學(xué)內(nèi)容注意學(xué)生對(duì)難點(diǎn)的理解；2．采用多種教學(xué)方法加強(qiáng)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)。參考教材東南大學(xué)等七所工科院校編，《物理學(xué)》，高等教育出版，1999年11月第4版

§5.1剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體：是受力時(shí)不改變形狀和體積的物體。它是物體的理想化模型。剛體的組成：剛體可以看成有許多質(zhì)點(diǎn)組成，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個(gè)質(zhì)元，剛體這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的特點(diǎn)是，在外力作用下各質(zhì)元之間的相對(duì)位置保持不變。剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式有：一、平動(dòng)概念：剛體在運(yùn)動(dòng)中，連接體內(nèi)兩點(diǎn)的直線在空間的指向總保持平行的運(yùn)動(dòng)。如圖5.1所示，剛體做平動(dòng)運(yùn)動(dòng)，但是剛體內(nèi)各點(diǎn)的軌跡可能是曲線。剛體做平動(dòng)時(shí)，其上各質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)情況都是相同的，了解了某一質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)就掌握了整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)情況，故平動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)。二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)在此運(yùn)動(dòng)中，各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動(dòng)，且各圓圖5-1剛體的平動(dòng)的圓心都在一條固定不動(dòng)的直線上，這條直線叫轉(zhuǎn)軸，這種運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。圖5-1剛體的平動(dòng)用角量來(lái)描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：1．角速度為剛體在時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角位移。的方向用右手螺旋法則確定：四指彎向質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，大拇指所指方向就是角速度的方向。角加速度線量和角量之間的關(guān)系剛體上某質(zhì)元距轉(zhuǎn)軸的距離為,則質(zhì)元的線速度和角速度的關(guān)系為：而其加速度與角加速度的關(guān)系分別為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若角加速度保持不變，則剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。=0和時(shí)刻的角速度，用表示0到時(shí)刻這一段時(shí)間內(nèi)的角位移。勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的相應(yīng)公式為：例題5.1P83

§5.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理一、質(zhì)心設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，以分別表示各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，以分別表示各質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一坐標(biāo)原點(diǎn)的位矢，則此質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的位矢為(5-9)在直角坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸上的分量為(5-10)質(zhì)心位矢可用積分法求得(5-11)它在直角坐標(biāo)系中的分量式分別為(5-12)二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理對(duì)（5－9）式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度為(5-13)由此得故質(zhì)心動(dòng)量為(5-14)質(zhì)心動(dòng)量的變化率(5-15)質(zhì)點(diǎn)系所受外力和質(zhì)心加速度的關(guān)系(5-16)此即質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。它表明質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)如同整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量集中在質(zhì)心的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。

§5.3剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性的量度。而在剛體運(yùn)動(dòng)中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是角速度變化的量度。一、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上有一質(zhì)量為質(zhì)元，距轉(zhuǎn)動(dòng)軸的垂直距離為，則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為:（5-17）對(duì)于連續(xù)分布的剛體，上述求和應(yīng)以積分代替，即（5-18）表示剛體密度，表示的體積元，＝，得（5-19）如果剛體是均勻的，密度是常量，上式又可改寫(xiě)為（5-20）討論：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與下列因素有關(guān)（1）與物體的質(zhì)量有關(guān)。（2）與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。（3）與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。在SI中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱為,單位是。二、平行軸定理設(shè)有兩平行的軸和，兩軸之間的距離，其中通過(guò)剛體的質(zhì)心（圖5-6），現(xiàn)在來(lái)討論剛體對(duì)兩根平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的關(guān)系。zz’xx’yy’圖5-6平行軸定理質(zhì)元與軸和的距離分別為和，在兩坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為（zz’xx’yy’圖5-6平行軸定理因?qū)⑵浯氲谋磉_(dá)式，得因，于是（5-21）三、垂直軸定理設(shè)有一薄板，建坐標(biāo)系，軸垂直于板面，軸和軸在板面內(nèi)圖5-7垂直軸定理

圖5-7垂直軸定理

,顯然，

§5.4轉(zhuǎn)動(dòng)定律圖5-8力矩圖5-8力矩一、力矩如圖，剛體所受外力F在垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，作用點(diǎn)P在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的位置矢量為，作用力F相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的力矩M定義為的大小的方向：與成右手螺旋系SI單位制中：?jiǎn)挝缓土烤V分別是和二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律如圖5-8所示，在剛體上任取一質(zhì)元，位矢為，所受的外力和內(nèi)力，均在所在的平面內(nèi)，它們與的夾角分別為和，由牛頓第二定律得將上式投影至圓周軌道的法向和切向?qū)⒌诙絻蛇叿謩e乘以得上式左邊第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別為外力和內(nèi)里的力矩，對(duì)剛體中的所有質(zhì)元求和得根據(jù)牛頓第三定律，所有內(nèi)力距之和為0，于是有等式左邊是作用在剛體上所有外力的力矩總和M，故得即這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律。

§5.5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理一、剛體的動(dòng)能所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和即為該時(shí)刻整個(gè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能。即：二、力矩的功設(shè)以表示作用在剛體上P點(diǎn)的外力，當(dāng)剛體繞固定軸有一角位移設(shè)以表示作用在剛體上P點(diǎn)的外力，當(dāng)剛體繞固定軸有一角位移時(shí)，力做的元功為就是力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩M。因而有對(duì)于有限的角位移，力矩所做的功如果力矩是恒量功率P圖5-11力矩的功三、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理在剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律中，對(duì)作如下變換有設(shè)剛體在力矩M作用下，角速度由變化到，角位置由變化到，則即剛體動(dòng)能增量等于剛體所受外力距做的功，這就是剛體動(dòng)能定理。

§5.6動(dòng)量距守恒定律圖5-12yz圖5-12yzx先討論單個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞故定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況如圖5-12，質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)具有線動(dòng)量，如圖5-12，質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)具有線動(dòng)量，為質(zhì)點(diǎn)的位矢，定義質(zhì)點(diǎn)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量距為：（5-6-1）大?。悍较颍鹤駨挠沂致菪▌t，即在軸上。如圖5-13，對(duì)定軸轉(zhuǎn)軸剛體來(lái)說(shuō)，其中任一質(zhì)元的動(dòng)量距為整個(gè)剛體對(duì)軸的動(dòng)量距為 方向在軸上，且與角速度方向一致，所以用矢量式表示為（5-6-2）此即剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩，單位：圖5-13剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量圖5-13剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 2.動(dòng)量矩定理引入動(dòng)量矩概念后，很容易由轉(zhuǎn)動(dòng)定律推出剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理，由可得（5-6-3）故（5-6-4）即剛體對(duì)