湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2雅禮教育集團(tuán)2024年上學(xué)期期末考試試卷高一數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘分值：150分命題人：鄒佳樂審題人：張鎏彭熹一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡求解不等式，再由交集運(yùn)算可得.【詳解】由解得，，由解得，，則，故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計(jì)算可化簡復(fù)數(shù)，進(jìn)而可得.【詳解】由，所以，故選：B.3.某同學(xué)擲骰子5次，記錄了每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則從以下情況中可以判斷出這組數(shù)據(jù)一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C.中位數(shù)為3，方差為2.8 D.平均數(shù)為2，方差為2.4【答案】D【解析】【分析】舉特例可說明的A、B、C正誤，利用方差的計(jì)算公式可判斷D.【詳解】五次點(diǎn)數(shù)分別為2，2，2，3，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，故A中可出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6;五次點(diǎn)數(shù)分別為2，2，3，5，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，故中可出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6;五次點(diǎn)數(shù)分別2，3，3，6，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，方差為2.8，故中可出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6;若平均數(shù)為2，出現(xiàn)了6，那么方差至少為，故中不可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故選：.4.已知，為第三象限角，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的商數(shù)與平方關(guān)系求解，再根據(jù)所在象限求解即,代入可得.【詳解】由，得，所以，聯(lián)立，解得，因?yàn)闉榈谌笙藿?，所以，故故選：C.5.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是（）A. B.C.或 D.【答案】A【解析】【分析】由題意求出a的取值范圍，結(jié)合選項(xiàng)判斷哪個(gè)選項(xiàng)對應(yīng)集合為其真子集，即可確定答案.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即或，由于，故為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件，顯然，均不能推出或，不符合題意；或是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的充分必要條件，故選：A6.設(shè)點(diǎn)、，若直線與線段相交，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知為直線在軸上的截距，數(shù)形結(jié)合求出的最大值和最小值，即可得出的取值范圍.【詳解】如下圖所示：化直線方程為，則為直線在軸上的截距，觀察圖象可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取最小值，此時(shí)，可得；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取最大值，此時(shí)，可得.綜上所述，的取值范圍是.故選：C.7.已知正數(shù)，滿足，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用基本不等式及取等號的條件，可得，，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，平方得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得等號，故取得最小值時(shí)，.故選：A.8.已知四面體ABCD的各頂點(diǎn)均在球的球面上，平面平面，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先找和的外接圓的圓心，過圓心分別作兩個(gè)三角形所在平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)就是球心.【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)為E，BD的中點(diǎn)為，所以為的外心，連接AE，EF，設(shè)的外心為，因?yàn)椋礊榈冗吶切?，所以點(diǎn)在AE上，且設(shè)球心為，連接OG，OF，則平面平面BCD，因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，所以，因?yàn)闉榈冗吶切?，為BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，平面平面，面，所以平面BCD，則，又平面BCD，所以，同理平面ABC，所以，故四邊形OGEF矩形.由，可得，故，又，設(shè)球的半徑為，則，所以球的表面積.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中不放回地依次取出2個(gè)球，設(shè)事件“兩個(gè)球顏色相同”，“第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”，“兩個(gè)球顏色不同”.則下列說法正確的是（）A.A與相互獨(dú)立 B.A與互為對立C.與互斥 D.與相互獨(dú)立【答案】ABD【解析】【分析】依次列出樣本空間，事件A、B、C、D包含的基本事件，由事件的基本關(guān)系及概率公式一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】依題意可設(shè)2個(gè)紅球?yàn)椋?個(gè)白球?yàn)椋瑒t樣本空間為：，共12個(gè)基本事件.事件A，共4個(gè)基本事件.事件B，共6個(gè)基本事件.事件C，共6個(gè)基本事件.事件D，共8個(gè)基本事件.對于A選項(xiàng)，因，則，故A與相互獨(dú)立，故A正確；對于B選項(xiàng)，注意到，得A與互為對立事件，故B正確；對于C選項(xiàng)，注意到，則與不互斥，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，因，，，則，故D與相互獨(dú)立，故D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.的最小正周期為；B.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；C.在區(qū)間上單調(diào)遞減；D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得到的圖象與函數(shù)的圖象重合．【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式和輔助角公式可得，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可求解.【詳解】.A：函數(shù)的最小正周期為，故A正確；B：，為的最小值，故B正確；C：由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；D：將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長度，得圖象，與函數(shù)的圖象不重合，故D錯(cuò)誤；故選：AB11.如圖，在正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)．使得B.存在點(diǎn)，使得平面C.三棱錐的體積不是定值D.存在點(diǎn)．使得【答案】BCD【解析】【分析】對于A，由、即可判斷；對于B，若為中點(diǎn)，根據(jù)正方體、線面性質(zhì)及判定即可判斷；對于C，只需求證與面是否平行；對于D，證明平面即可判斷.【詳解】對于A，在正方體中，，，則四邊形為平行四邊形，所以，，而為線段的中點(diǎn)，四邊形為正方形，所以為的中點(diǎn)，所以，若存在點(diǎn)，使得，且、不重合，又，所以，這與矛盾，假設(shè)不成立，A錯(cuò)誤；對于B，若為中點(diǎn)，則，而，故，又面，面，則，故，因?yàn)?，、平面，則平面，所以存在使得平面，B正確；對于C，正方體中，，，所以，四邊形為平行四邊形，則，而面，故與面不平行，所以Q在線段上運(yùn)動時(shí)，到面的距離不是定值，又的面積為定值，故三棱錐的體積不是定值，C正確；對于D，因?yàn)椋矫?，，所以平面，又平面，所以，所以若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知向量，若共線，則____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量共線即可確定的取值．【詳解】向量，，若，共線，則有，則有，．故答案為：．13.底面半徑為4的圓錐被平行于底面的平面所截，截去一個(gè)底面半徑為1，母線長為3的圓錐，則所得圓臺的側(cè)面積為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)相似可得母線，進(jìn)而利用圓錐的側(cè)面積公式即可求解.【詳解】如圖，設(shè)原圓錐的母線為，則，則，所以圓臺的側(cè)面積為：.故答案為：14.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，且，則的周長為______.【答案】9【解析】【分析】由題知，進(jìn)而結(jié)合題意得，，再根據(jù)余弦定理解方程即可得答案.【詳解】解因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，又為銳角，所以，由余弦定理得，解得或，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，此時(shí)一定不是鈍角，故舍去.所以，所以的周長為.故答案為：9四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，分別為的三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，且.（1）求角；（2）若，的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知根據(jù)余弦定理求解，然后根據(jù)特殊角的函數(shù)值求解即可；（2）結(jié)合完全平方和公式利用余弦定理求得，然后代入三角形面積公式求解即可.【小問1詳解】由余弦定理，所以，又，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，由已知得，故，故，所?16.已知四邊形為直角梯形，為等腰直角三角形，平面平面，為的中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理可得答案；（2）根據(jù)可得答案．【小問1詳解】因?yàn)椋裕傻?，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，平面，所以，四邊形為直角梯形，為等腰直角三角形，所以，因?yàn)?，平面，所以平面；【小?詳解】因?yàn)椋瑸榈妊苯侨切?，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以到平面的距離為，，，所以.17.亞運(yùn)聚歡潮，璀璨共此時(shí).2023年9月第19屆亞洲運(yùn)動會在杭州舉辦，來自亞洲45個(gè)國家和地區(qū)的1萬多名運(yùn)動員在這里團(tuán)結(jié)交流、收獲友誼，奮勇拼搏、超越自我，共同創(chuàng)造了亞洲體育新的輝煌和榮光，贏得了亞奧理事會大家庭和國際社會的廣泛好評．亞運(yùn)會圓滿結(jié)束后，杭州某學(xué)校組織學(xué)生參加與本屆亞運(yùn)會有關(guān)的知識競賽．為更好地了解該校學(xué)生對本屆亞運(yùn)會有關(guān)賽事和知識的掌握情況，采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了600名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，成績?nèi)糠植荚?0~100分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生成績頻率分布直方圖如圖所示，（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計(jì)這600名學(xué)生成績的中位數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖，按分層抽樣的方法從成績在的學(xué)生中選取5人，再從這5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人成績不低于90分的概率．【答案】（1）（2）80（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)各矩形面積之和為1，列式計(jì)算，即可求得a的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合中位數(shù)的求解方法，即可求得答案；（3）求出內(nèi)的人數(shù)之比，根據(jù)分層抽樣可求得兩組各抽取的人數(shù)，列舉出從這5人中任意選取2人的所有可能情況，再列舉出這2人中至少有1人成績不低于90分的情況，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.【小問1詳解】由頻率分布直方圖，得，解得；【小問2詳解】由頻率分布直方圖，得，，則估計(jì)這600名學(xué)生成績的中位數(shù)為80；【小問3詳解】由題意得，成績在的頻率為，成績在的頻率為，頻率之比為，所以按分層抽樣的方法從中選取5人，成績在的學(xué)生有2人，分別記為，成績在的學(xué)生有3人，分別記為，從這5人中任意選取2人，有，共10種選法，其中至少有1人成績不低于90分的選法有，，共9種，所以這2人中至少有1人成績不低于90分的概率.18.如圖，在四棱錐中，，，，E為棱的中點(diǎn)，平面.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由題意可證四邊形為平行四邊形，則，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；（2）如圖，易證，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（3）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得為二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性質(zhì)確定為直線與平面所成的角，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由平面，平面，得，連接，由且，所以四邊形為平行四邊形，又，所以平行四邊形為正方形，所以，又，所以，又平面，所以平面，由平面，所以平面平面；【小問3詳解】由平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故為二面角的平面角，即，在中，，作，垂足為M，由（2）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，則為直線在平面上的投影，所以為直線與平面所成的角，在中，，所以，在中，，即直線與平面所成角的正弦值為.19.若函數(shù)滿足且，則稱函數(shù)為“M函數(shù)”．（1）試判斷是否為“M函數(shù)”，并說明理由；（2）函數(shù)為“M函數(shù)”，其在的圖象落在直線上，在函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)P，對于定點(diǎn)，求線段AP的最小值；（3）函數(shù)為“M函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，，求的解析式；若當(dāng)，關(guān)于x的方程（a為常數(shù)）有解，記該方程所有解的和為S，求S．【答案】（1）不是“M函數(shù)”，理由見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由“函數(shù)”的定義，即可判斷；（2）結(jié)合函數(shù)的周期性和對稱性，畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，即可求解；（3）首先結(jié)合“函數(shù)”的定義，利用周期性和對稱性求函數(shù)的解析式，再畫出函數(shù)的圖象，討論得到取值，利用對稱性求和.【小問1詳解】的周期為，滿足，，，，所以函數(shù)不是“函數(shù)”；【小問2詳解】若為“M函數(shù)”，滿足且，所以函數(shù)的周期為，且函數(shù)關(guān)于對稱，根據(jù)，函數(shù)的圖象落在直線上，利用對稱性和周期性畫出函數(shù)的圖象，設(shè)，，所以，根據(jù)周期可知，的圖象，如上圖所示，線段的最小值就是如圖點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)