第7講概率統(tǒng)計(jì)

在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論:我們先討論兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問(wèn)題.

當(dāng)隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)

Y=g(X1,X2,…,Xn)的分布?§3.4二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1

若X、Y獨(dú)立，P(X=k)=ak

,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk

,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函數(shù).解:=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨(dú)立性此即離散卷積公式r=0,1,2,…一.離散型分布的情形當(dāng)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量時(shí)，Z

也為離散型，

例2

若X和Y相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為的泊松分布.解：依題意

i=0,1,2,…j=0,1,2,…由卷積公式得即Z服從參數(shù)為的泊松分布.r=0,1，…獨(dú)立性例3

設(shè)X和Y相互獨(dú)立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y的分布.

回憶第二章對(duì)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量所作的直觀解釋:同樣，Y是在n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.

若X~B(n1,p),則X

是在n1次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率都為p.首先

可利用卷積公式我們給出不需要計(jì)算的另一種證法:

故Z=X+Y是在n1+n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p，于是Z是以（n1+n2，p）為參數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即Z~B(n1+n2,p).注意：兩個(gè)重要結(jié)論：1、設(shè)

X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且

X,Y相互獨(dú)立

則

X+Y~B(n1+n2,p)2、設(shè)

X~π

(

1),Y~π

(

2),

且

X,Y相互獨(dú)立

則X+Y~π

(

1+

2)

例4

設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為XYpij-112-10求的概率分布解

根據(jù)(X,Y)的聯(lián)合概率分布可得如下表格：PX+YX

-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-101120-1213210-10-2010-10-1/20故得-2-1012PX+Y-10123PX-YPXY-2-101PY/X-1-1/201二．連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的函數(shù)的概率分布

1.已知（X，Y）~f(x,y)，求Z=

（X，Y）的概率分布

(1)

FZ(z)=P(Z

z)=P{

（X，Y）

z}

(2)若Z為連續(xù)型隨機(jī)變量，則有

例5：已知X,Y相互獨(dú)立且均服從N(0,

2)，的概率密度。求解：X和Y的密度函數(shù)分別為先求Z的分布函數(shù)F(z)當(dāng)z<0時(shí)，易知F(z)=0當(dāng)z≥0時(shí)，且由獨(dú)立性知極坐標(biāo)變換即：Z的分布函數(shù)為故：Z的密度函數(shù)為或2．已知（X，Y）~f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度

定理:若(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則Z=X+Y的概率密度為證明:

Z=X+Y的分布函數(shù)是:

FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)這里積分區(qū)域D={(x,y):x+y≤z}是直線x+y=z左下方的半平面.化成累次積分,得

固定z和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換令x=u-y,得由此

由X和Y的對(duì)稱性,fZ

(z)又可寫成

特別，當(dāng)X和Y獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y),則上述兩式化為:

例6:若X和Y獨(dú)立,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的分布.解：X和Y的密度函數(shù)分別為則Z的密度函數(shù)為令t=x-z/2，得即Z~N(0,2)可以證明:

特別地，若X和Y獨(dú)立，且則則

若相互獨(dú)立,例6:

若X,Y相互獨(dú)立，其概率密度函數(shù)分別為

求Z=X+Y的概率密度函數(shù)fZ

(z)

被積函數(shù)不為0的區(qū)域解:由于也即于是例7

已知(

X,Y)的聯(lián)合概率密度為Z=X+Y,求

fZ(z)解法一（圖形定限法）顯然X,Y相互獨(dú)立,且zxz=xz-1=x121被積函數(shù)不為0的區(qū)域即解法二從分布函數(shù)出發(fā)x+y=z當(dāng)z<0時(shí)，1yx1x+y=z當(dāng)0

z<1時(shí)，1yx1?z?zx+y=z當(dāng)1

z<2

時(shí)，z-11yx1?z?z1yx1x+y=z22當(dāng)2

z時(shí)，對(duì)于X,Y

不相互獨(dú)立的情形可同樣的用直接求密度函數(shù)與通過(guò)分布函數(shù)求密度函數(shù)兩種方法求和的分布例8

已知(

X,Y)

的聯(lián)合密度函數(shù)為Z=X+Y,求

fZ(z)解（圖形定限法）由公式（1）非0區(qū)域?yàn)閦xz=xz=2xx=112當(dāng)

z<0或

z>2,

zzzz當(dāng)

0<z<1,

當(dāng)

1<z<2,

fZ

(z)=0這比用分布函數(shù)做簡(jiǎn)便三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來(lái)求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).又由于X和Y

相互獨(dú)立,于是即有

FM(z)=FX(z)FY(z)FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)分析：由于(M≤z)=(X≤z,Y≤z)

類似地下面進(jìn)行推廣

即有

FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)=1-P(X>z)P(Y>z)=1-(1-P(X≤z))(1-P(Y≤z))

設(shè)X1,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為

我們來(lái)求

M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù).(i=0,1，…,n)

特別，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有

N=min(X1,…,Xn)的分布函數(shù)是

M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為:

FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n……解:P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n,X2≤n)+P(X2=n,X1

≤n)例9

設(shè)隨機(jī)變量X1,X2相互獨(dú)立,并且有相同的幾何分布

P(X1=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，求Y=max(X1,X2)的分布

.n=0,1,2,…解二:P(Y=n)=P(Y≤n)-P(Y≤n-1)=P(max(X1,X2)≤n)-P(max(X1,X2)≤n-1)=P(X1≤n,X2≤n)-P(X1≤n-1,X2≤n-1)n=0,1,2,…例10:

系統(tǒng)L

由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1,L2聯(lián)結(jié)而成。已知L1,L2的使用壽命X,Y分別服從參數(shù)為1/

，1/

（

>0，

>0,

）的指數(shù)分布。分別在下列三種情況下，求系統(tǒng)L的使用壽命Z的分布.

（1）子系統(tǒng)L1,L2串聯(lián);

（2）子系統(tǒng)L1,L2并聯(lián);

（3）子系統(tǒng)L2冷備.解：X和Y的密度函數(shù)為且其分布函數(shù)為（1）當(dāng)為串聯(lián)系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)L的壽命為Z=min(X,Y)故其分布函數(shù)為Fmin(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]其密度函數(shù)為(2)當(dāng)為并聯(lián)系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)L的壽命為Z=max(X,Y)故其分布函數(shù)為其密度函數(shù)為