工學(xué)自動(dòng)控制理論3時(shí)域分析

第三章自動(dòng)控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

本章主要內(nèi)容及難點(diǎn)

自動(dòng)控制系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)

一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

自動(dòng)控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

穩(wěn)態(tài)誤差

小結(jié)本章主要內(nèi)容

本章介紹了控制系統(tǒng)時(shí)域性能分析法的相關(guān)概念和原理。包括各種典型輸入信號(hào)的特征、控制系統(tǒng)常用性能指標(biāo)、一階、二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)、脈沖響應(yīng)函數(shù)及其應(yīng)用、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性及穩(wěn)定判據(jù)、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差等。本章重點(diǎn)

通過(guò)本章學(xué)習(xí)，應(yīng)重點(diǎn)掌握典型輸入信號(hào)的定義與特征、控制系統(tǒng)暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)的定義及計(jì)算方法、一階及二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的分析方法、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念及穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用、控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差概念和誤差系數(shù)的求取等內(nèi)容。自動(dòng)控制系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)

對(duì)控制性能的要求

（1）系統(tǒng)應(yīng)是穩(wěn)定的；（2）系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足給定的穩(wěn)態(tài)誤差的要求；（3）系統(tǒng)在暫態(tài)過(guò)程中應(yīng)滿(mǎn)足暫態(tài)品質(zhì)的要求。

一、典型二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性

系統(tǒng)的特征方程為：可解出特征方程式的特征根，這些根與阻尼比

有關(guān)1．過(guò)阻尼（

>1）的情況

系統(tǒng)的特征根為：

2．欠阻尼（）的情況

特征方程的根為：系統(tǒng)輸出響應(yīng)為：式中，稱(chēng)阻尼振蕩角頻率，或振蕩角頻率；

圖3-10以

參變量的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)3．臨界阻尼（

=1）的情況

系統(tǒng)的特征方程式的根為：

圖3-11時(shí)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)4．無(wú)阻尼（

=0）的情況

特征方程式的根為：二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)為：

圖3-12時(shí)二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)

二、二階系統(tǒng)暫態(tài)特性指標(biāo)

1．上升時(shí)間tr：

在暫態(tài)過(guò)程中第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間稱(chēng)為上升時(shí)間tr。

其計(jì)算公式為：由上式可以看出和

n對(duì)上升時(shí)間的影響。當(dāng)

n一定時(shí)，阻尼比越大，則上升時(shí)間tr越長(zhǎng)；當(dāng)一定時(shí)，

n越大，則tr越短。2．最大超調(diào)量

%最大超調(diào)量發(fā)生在第一個(gè)周期中t=tm

時(shí)刻。根據(jù)超調(diào)量的定義得最大超調(diào)量的計(jì)算公式為：從上式知，二階系統(tǒng)的最大超調(diào)量與值有密切的關(guān)系，阻尼比越小，超調(diào)量越大。3．調(diào)節(jié)時(shí)間ts

調(diào)節(jié)時(shí)間ts是與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達(dá)到允許范圍（一般取5%~2%）而不再超出的暫態(tài)過(guò)程時(shí)間。調(diào)節(jié)時(shí)間為：調(diào)節(jié)時(shí)間ts近似與成反比關(guān)系。在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，通常由要求的最大調(diào)節(jié)量所決定，所以調(diào)節(jié)時(shí)間ts由自然振蕩角頻率所決定。也就是說(shuō)，在不改變超調(diào)量的條件下，通過(guò)改變的值可以改變調(diào)節(jié)時(shí)間。4．振蕩次數(shù)

振蕩次數(shù)是指在調(diào)節(jié)時(shí)間ts內(nèi)，波動(dòng)的次數(shù)。根據(jù)這一定義可得振蕩次數(shù)為式中為阻尼振蕩的周期時(shí)間。三、二階工程最佳參數(shù)

目前，在某些控制系統(tǒng)中常常采用所謂二階工程最佳參數(shù)作為設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的依據(jù)。這種系統(tǒng)選擇的參數(shù)使這時(shí)。將這一參數(shù)代入二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式，得開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：得閉環(huán)傳遞函數(shù)為：這一系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)暫態(tài)特性指標(biāo)為：

最大超調(diào)量

上升時(shí)間

調(diào)節(jié)時(shí)間

ts（2%）=8.43T（用近似公式求得為8T）

ts（5%）=4.14T（用近似公式求得為6T）例3-1有一位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖3-13所示，其中Kk

=4。求該系統(tǒng)的（1）自然振蕩角頻率；（2）系統(tǒng)的阻尼比；（3）超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間；（4）如果要求，應(yīng)怎樣改變系統(tǒng)參數(shù)Kk

值。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式由此得自然振蕩角頻率阻尼比由得超調(diào)量調(diào)節(jié)時(shí)間

當(dāng)要求時(shí),

所以必須降低開(kāi)環(huán)放大系數(shù)值，才能滿(mǎn)足二階工程最佳參數(shù)的要求。但應(yīng)注意到，降低開(kāi)環(huán)放大系數(shù)將使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大。

圖3-13例3-1隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖3-14例3-2隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

例3-2為了改善圖3-13所示系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能，滿(mǎn)足單位階躍輸入下系統(tǒng)超調(diào)量的要求，今加入微分負(fù)反饋，如圖3-14所示。求微分時(shí)間常數(shù)。解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

為了使，令

由可求得并由此求得開(kāi)環(huán)放大系數(shù)為比例-微分控制不改變系統(tǒng)的自然頻率，但增大了系統(tǒng)的阻尼比。適當(dāng)選擇開(kāi)環(huán)增益和微分時(shí)間常數(shù)，既可減小系統(tǒng)斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，又可使系統(tǒng)具有滿(mǎn)意的階躍響應(yīng)性能。四、零極點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響

具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

結(jié)論：（1）微分控制可增大系統(tǒng)阻尼，減小階躍響應(yīng)的超調(diào)量，縮短調(diào)節(jié)時(shí)間；（2）允許選取較高的開(kāi)環(huán)增益，減小穩(wěn)態(tài)誤差；（3）微分對(duì)于噪聲（高頻噪聲）有放大作用，在輸入端噪聲較強(qiáng)時(shí)，不用比例-微分控制。高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)

高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可表示為如下普通形式將分子和分母分解成因式，上式可寫(xiě)成式中——系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；——系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)單位階躍響應(yīng)為

從分析高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)表達(dá)式還可以得出如下結(jié)論。（1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部在s平面左側(cè)離虛軸越遠(yuǎn)，則相應(yīng)的分量衰減越快。反之，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部越小，即在s平面左側(cè)離虛軸越近，則相應(yīng)的分量衰減越慢。

（2）高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的系數(shù)不僅和極點(diǎn)在s平面中的位置有關(guān)，并且與零點(diǎn)的位置有關(guān)。（3）如果高階系統(tǒng)中距離虛軸最近的極點(diǎn)，其實(shí)部小于其它極點(diǎn)的實(shí)部的1/5，并且附近不存在零點(diǎn)，可以認(rèn)為系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)主要由這一極點(diǎn)決定。這些對(duì)暫態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的閉環(huán)極點(diǎn)，叫作主導(dǎo)極點(diǎn)，是所有閉環(huán)極點(diǎn)中最重要的極點(diǎn)。在設(shè)計(jì)一個(gè)高階控制系統(tǒng)時(shí)，我們常常利用主導(dǎo)極點(diǎn)這一概念選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣就可以近似地用一階或二階系統(tǒng)的指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)。

胡爾維茨判據(jù)

設(shè)所研究的代數(shù)方程仍為構(gòu)造胡爾維茨行列式D：

胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：特征方程式的全部根都在左半復(fù)平面的充分必要條件是上述行列式的各階主子式均大于0，即四、參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響應(yīng)用代數(shù)穩(wěn)定判椐可以用來(lái)判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還可以方便地用于分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。

例如系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)特征方程為根據(jù)代數(shù)穩(wěn)定判椐，穩(wěn)定的充要條件得穩(wěn)態(tài)誤差

在穩(wěn)態(tài)條件下輸出量的期望值與穩(wěn)態(tài)值之間存在的誤差，稱(chēng)為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的大小是衡量系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的重要指標(biāo)。影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素很多，如系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)的參數(shù)以及輸入量的形式等。必須指出的是，這里所說(shuō)的穩(wěn)態(tài)誤差并不考慮由于元件的不靈敏區(qū)、零點(diǎn)漂移、老化等原因所造成的永久性的誤差。

本節(jié)將討論計(jì)算和減少穩(wěn)態(tài)誤差的方法。給定穩(wěn)定誤差和誤差系數(shù)

圖（a）所示為控制系統(tǒng)的典型動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。圖中為主反饋檢測(cè)元件的傳遞函數(shù)，不包括為改善被控制對(duì)象性能的局部反饋環(huán)節(jié)在內(nèi)。系統(tǒng)的期望值是給定信號(hào)誤差定義為這個(gè)誤差是可以量測(cè)的，但是這個(gè)誤差并不一定反映輸出量的實(shí)際值與期望值之間的偏差。另一種定義誤差的方法是取系統(tǒng)輸出量的實(shí)際值與期望值的差，但這一誤差在實(shí)際系統(tǒng)中有時(shí)無(wú)法量測(cè)。

誤差傳遞函數(shù)為由此得誤差的拉氏變換為給定穩(wěn)態(tài)誤差為根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)，可將系統(tǒng)分為幾種不同類(lèi)型。單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為

1．典型輸入情況下系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差分析（1）單位階躍函數(shù)輸入令，稱(chēng)為位置誤差系數(shù)，則（2）單位斜坡函數(shù)輸入

令，稱(chēng)為速度誤差系數(shù)。則

（3）拋物線函數(shù)輸入令，稱(chēng)為加速度誤差系數(shù)。則

2．動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)

上面所介紹的計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的方法，只能根據(jù)終值定理求得穩(wěn)態(tài)誤差值，而不能了解進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后誤差的變化規(guī)律。下面介紹另一計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的方法，根據(jù)這一方法不但可以求出穩(wěn)態(tài)值，而且不必通過(guò)解微分方程，可以簡(jiǎn)便地了解到進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，誤差隨時(shí)間變化的規(guī)律。單位反饋系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為如果將分子和分母中的冪次相同的各項(xiàng)合并，則可寫(xiě)成用分母多項(xiàng)式除分子多項(xiàng)式，可把上式寫(xiě)為如下的s的升冪級(jí)數(shù)由此可得誤差的拉氏變換為可以求得穩(wěn)態(tài)誤差值。

將k0，k1，k2分別定義為：k0——?jiǎng)討B(tài)位置誤差系數(shù)；

k1——?jiǎng)討B(tài)速度誤差系數(shù)；

k2——?jiǎng)討B(tài)加速度誤差系數(shù)。設(shè)初始條件為零，并忽略時(shí)系統(tǒng)的脈沖值，則進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)的系統(tǒng)誤差為如果已知各動(dòng)態(tài)系數(shù)和輸入量的各階導(dǎo)數(shù)，即可求出時(shí)誤差的變化規(guī)律。

三、減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法

為了進(jìn)一步減小給定和擾動(dòng)誤差，可以采用補(bǔ)償?shù)姆椒?。所謂補(bǔ)償是指作用于控制對(duì)象的控制信號(hào)中，除了偏差信號(hào)外，還引入與擾動(dòng)或給定量有關(guān)的補(bǔ)償信號(hào)，以提高系統(tǒng)的控制精度，減小誤差。這種控制稱(chēng)為復(fù)合控制或前饋控制。如圖所示的控制系統(tǒng)

給定量通過(guò)補(bǔ)償校正裝置，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行開(kāi)環(huán)控制。這樣，引入的補(bǔ)償信號(hào)與偏差信號(hào)一起，對(duì)控制對(duì)象進(jìn)行復(fù)合控制。這種系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為由此得到給定誤差的拉氏變換為如果補(bǔ)償校正裝置的傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)補(bǔ)償后的誤差又如在圖所示的結(jié)構(gòu)圖中，為了補(bǔ)償外部擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的作用，引入了擾動(dòng)的補(bǔ)償信號(hào)，補(bǔ)償校正裝置。此時(shí)，系統(tǒng)的擾動(dòng)誤差就是給定量為零時(shí)系統(tǒng)的輸出量如果選取則得到小結(jié)時(shí)域分析是通過(guò)直接求解系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的時(shí)域響應(yīng)來(lái)分析系統(tǒng)的性能的。通常是以系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量、調(diào)整時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的優(yōu)劣。二階系統(tǒng)在欠阻尼時(shí)的響應(yīng)雖有振蕩，但只要阻尼比取值適當(dāng)（如左右），則系統(tǒng)既有響應(yīng)的快速性，又有過(guò)渡過(guò)程的平穩(wěn)性，因而在控制工程中常把二階系統(tǒng)設(shè)計(jì)為欠阻尼。如果高階系統(tǒng)中含有一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，則該系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)就可以近似地用這對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)所描述的二階系統(tǒng)