數值分析-課件-第07章非線性方程求根培訓資料

數值分析NumericalAnalysis機械與汽車工程學院主講人：孔勝利kongsl@2012-09-01數值分析第7章非線性方程求根求根的基本問題及分析方法

迭代法Newton法弦截法與拋物線法數值分析7.1求根的基本問題及分析方法

方程的求根大致包括3個基本問題：根的存在性

方程有沒有根？有的話，有幾個？根的隔離

求出幾個互不相交的區(qū)間，使每個區(qū)間中只有一個根。根的精確化

在求出精度不高的近似根的基礎上，逐步將根精確化，直到滿足預先要求的精度為止?；痉椒ǎ悍治龇ㄋ阉鞣ǘ址〝抵捣治銮蟾幕締栴}及分析方法

例對之根進行隔離。解顯然，，由得駐點。因故分別為極大值和極小值。從而內各有一個實根。由y=f(x)的草圖可以直觀地看到這點。又顯然有因而，三個根的更好的隔離區(qū)間為y=f(x)

的草圖數值分析求根的基本問題及分析方法

2、搜索法如果我們判定方程f(x)=0的某一個根的大致范圍，則可用搜索法加以縮小，使根進一步精確化。設，且，則可判定。不妨設，且。我們從左端開始，按預先選定的步長h，一步一步地向右邊走，每走一步檢查一下終點的函數值是否取正號。如果，則表明根。如果精度不夠，可將看成[a,b]再次進行搜索，并從左端點開始向右搜索，直到滿足精度為止。在具體實施中，步長的選擇是個關鍵，步長較小時精度高，但搜索次數增加。數值分析求根的基本問題及分析方法

例題試求方程的唯一正根，要求誤差不超過0.1。解從x=0開始，取步長h=1,則有故根。再去h=0.2，因，故根從而取近似根為2.1，即即可滿足精度要求。注意：搜索法的實施是很靈活的，哪怕沒有給出根的存在范圍，也可進行搜索。數值分析求根的基本問題及分析方法

3、二分法把搜索的步長取為含有根區(qū)間[a,b]的1/2，便得到二分法。例題用二分法將在（2,3）內的根精確到小數點后第二位。解kakbkxkf(xk)的符號0232.5+122.52.25+222.252.215+322.1252.0625-42.06252.1252.09375-52.093752.1252.109375+62.093752.1093752.1015625+72.093752.10156252.09765625數值分析求解方程的問題，可將方程變形寫成的形式。顯然，前者的根必滿足后者，即。反之亦然。這表明：求方程的根，可轉化為求方程的根。為此，可選定某個初值，按迭代格式進行迭代運算。（*）稱為求方程之根的迭代格式。在中，稱為函數的一個不動點。從而，求方程之根，即求函數的零點，又等價于求迭代函數的不動點。7.2迭代法

數值分析例題1 求方程在0.4附近的有五位有效數字的近似根。解 將方程變形為則迭代格式為取初始值為0.4，可算得各次近似根為

數值分析

收斂迭代格式的建立例題求方程在1.5附近的近似值。解將方程變?yōu)?，建立迭代格式前者是收斂的，后者是發(fā)散的。后者與前者的最大不同點在于后者的導數，而前者的。這表明：迭代格式的收斂性，與迭代函數的導數的大小有關。數值分析

定理設迭代函數，且滿足（1）任給，總有（2）存在正數q<1，使則對于任意初值，當時，迭代格式所得的數列收斂于[a,b]內唯一的實根，并有估計式注意：定理中在函數的整個定義區(qū)間上滿足的條件是相當苛刻的，實際應用中局部收斂即可。數值分析

例題求方程的一個正根，精度為10-3。迭代格式的收斂速度迭代加速公式數值分析7.3Newton法Newton迭代法的基本思想將曲線的問題轉化為直線來解決，即將非線性方程轉化為線性方程來求解。Newton迭代格式由于它是基于切線方程而得到的，因而也叫切線法。數值分析例題 用Newton法求方程在0.5附近的根。解 因為，故迭代格式為取初值，經迭代演算，得到前四次的近似根為數值分析Newton法的應用對于給定的正數C，應用Newton法解二次方程因為故得求的近似值的迭代格式例題計算解凡是迭代算法，初值的選取都會影響到收斂速度。取，利用上面的迭代格式計算4次的結果為數值分析習題應用牛頓法于方程，導出求立方根的迭代公式。數值分析簡化Newton法迭代公式為Newton下山法迭代公式為數值分析7.4弦割法與拋物線法Newton法具有收斂快的優(yōu)點，但也有要計算導數的缺點，這對求導比較麻煩的函數，牛頓迭代格式用起來是不方便的。為避開計算導數，取2個初值點，過作割線，則得到割線的斜率為一般地，用割線的斜率代替牛頓法中切線的斜率，即用則得新的迭代格式用（*）式求近似根稱為雙點弦割法。數值分析

在用雙點弦割法中計算次近似值時，要用到前面兩點的信息，公式啟動時要提供兩個初值。單步迭代法和多步迭代法凡是計算次近似只用到前面一點的信息的迭代法稱為單步迭代法，而要用到前面兩點或兩點以上的信息的迭代法則稱為多步迭代法。有時為了簡化雙步迭代法，可用固定的點代替得迭代格式如下所示，稱為單點弦割法數值分析

習題用雙點弦割法計算在附近的根。根的精確值要求計算結果有四位有效數字。計算時取。數值分析

拋物線法設已知方程的三個近似根，我們以這三點為節(jié)點構造二次插值多項式，并適當選取的一個零點作為新的近似根，這樣確定的迭代過程稱為拋物線法?；舅枷胧怯脪佄锞€與x軸的交點作為所求根的近似值。數值分析

插值多項式有兩個零點：式中注意：根式前正負號的取舍