全程方略2021屆高考數(shù)學(xué)專項精析精煉：2014年考點(diǎn)48-隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型

溫馨提示：此題庫為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，關(guān)閉Word文檔返回原板塊?？键c(diǎn)48隨機(jī)大事的概率、古典概型、幾何概型一、選擇題1.(2022·湖北高考文科·T5)隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率記為p1,點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為p2,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3,則()A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p2【解題提示】考查古典概型及其概率計算公式.首先列表,然后依據(jù)表格點(diǎn)數(shù)之和不超過5,點(diǎn)數(shù)之和大于5,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)狀況,再依據(jù)概率公式求解即可.【解析】選C.列表得:(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)所以一共有36種等可能的結(jié)果,兩個骰子點(diǎn)數(shù)之和不超過5的有10種狀況,點(diǎn)數(shù)之和大于5的有26種狀況,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的有18種狀況,所以向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率p1=QUOTE=QUOTE,點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率p2==,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3=QUOTE=QUOTE.2.（2022·湖北高考理科·Ｔ7）由不等式確定的平面區(qū)域記為，不等式，確定的平面區(qū)域記為，在中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在內(nèi)的概率為（）B.C.D.【解題提示】首先依據(jù)給出的不等式組表示出平面區(qū)域，然后利用面積型的幾何概型公式求解【解析】選D.依題意，不等式組表示的平面區(qū)域如圖，由幾何概型概率公式知，該點(diǎn)落在內(nèi)的概率為.3.（2022·湖南高考文科·Ｔ5）在區(qū)間上隨機(jī)選取一個數(shù)，則的概率為（）【解題提示】利用幾何概型的學(xué)問解決.【解析】選B.基本大事空間為區(qū)間它的度量是長度5，的度量是3，所以所求概率為。4.（2022·遼寧高考文科·Ｔ6）將一個質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長方形中，則質(zhì)點(diǎn)落在以為直徑的半圓內(nèi)的概率是【解題提示】求出陰影部分面積，利用幾何概型求概率【解析】選B.陰影部分為半圓，其面積，正方形面積所以由幾何概型知質(zhì)點(diǎn)落在以為直徑的半圓內(nèi)的概率是5.(2022·陜西高考文科·T6同理科)從正方形四個頂點(diǎn)及其中心這5個點(diǎn)中,任取2個點(diǎn),則這2個點(diǎn)的距離小于該正方形邊長的概率為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解題指南】依據(jù)古典概型的概率公式分別進(jìn)行計算即可得到結(jié)論.【解析】選B.從邊長為1的正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中,隨機(jī)(等可能)取兩點(diǎn),共有QUOTE=10條線段,滿足該兩點(diǎn)間的距離小于1的有AO,BO,CO,DO共6條線段,則依據(jù)古典概型的概率公式可知隨機(jī)(等可能)取兩點(diǎn),則該兩點(diǎn)間的距離小于1的概率P=QUOTE=QUOTE.6.(2022·新課標(biāo)全國卷Ⅱ高考理科數(shù)學(xué)·T5)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45【解題提示】設(shè)出所求概率為p,然后依據(jù)已知條件列出關(guān)于p的方程,求得p.【解析】選A.設(shè)某天空氣質(zhì)量優(yōu)良,則隨后一天空氣質(zhì)量也優(yōu)良的概率為p,則據(jù)題有0.6=0.75·p,解得p=0.8,故選A.二、填空題7.(2022·廣東高考文科·T12)從字母a,b,c,d,e中任取兩個不同字母,則取到字母a的概率為.【解析】由于從字母a,b,c,d,e中任取兩個不同字母,不考慮先后挨次共有10種取法,分別是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中取到字母a的有4種:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),所求概率為P==.答案:【誤區(qū)警示】有無挨次是最簡潔出錯的,列10種取法部分同學(xué)會遺漏或重復(fù).8.(2022·廣東高考理科)從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取7個不同的數(shù),則這7個數(shù)的中位數(shù)是6的概率為.【解析】6之前6個數(shù)中取3個,6之后3個數(shù)中取3個,所求概率為p==.答案:【誤區(qū)警示】考慮中位數(shù)是6時,7,8,9是必選的,再從0~5中選3個數(shù)字從小到大排在6的左邊即可.9.（2022·上海高考理科·Ｔ10）為強(qiáng)化平安意識，某商場擬在將來的連續(xù)10天中隨機(jī)選擇3天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的3天恰好為連續(xù)3天的概率是________（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）.【解題提示】選擇的3天恰好為連續(xù)的3天共有8種選法，而總的選法為,依據(jù)古典概率公式易得.【解析】基本大事總數(shù)為，3天恰好連續(xù)共有8種選法，所以所求的概率為10.（2022·上海高考文科·Ｔ13）為強(qiáng)化平安意識，某商場擬在將來的連續(xù)10天中隨機(jī)選擇3天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的3天恰好為連續(xù)3天的概率是________（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）.【解題提示】選擇的3天恰好為連續(xù)的3天共有8種選法，而總的選法為,依據(jù)古典概率公式易得.【解析】基本大事總數(shù)為，3天恰好連續(xù)共有8種選法，所以所求的概率為11.（2022·福建高考文科·Ｔ13）13．如圖，在邊長為1的正方形中，隨機(jī)撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估量陰影部分的面積為___________【解題指南】由幾何概型概率公式求解．【解析】由幾何概型可知，所以．答案：．12.（2022·浙江高考文科·Ｔ14）在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎，甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎的概率是______________；【解析】基本大事總數(shù)是，甲、乙兩人各一張，兩人中獎只有兩種狀況，由古典概型的公式知，所求的概率答案：13.（2022·遼寧高考理科·Ｔ1４）正方形的四個頂點(diǎn)分別在拋物線和上，如圖所示，若將一個質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是【解析】陰影部分面積等于正方形面積減去其內(nèi)部的非陰影部分的面積，由對稱性可知，．依據(jù)幾何概型知，質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是答案：【誤區(qū)警示】結(jié)合對稱性，正方形內(nèi)部的非陰影部分的面積的計算，要防止簡單化，導(dǎo)致增加計算量計算14.(2022·江西高考理科·T12)10件產(chǎn)品中有7件正品,3件次品,從中任取4件,則恰好取到1件次品的概率是.【解題指南】依據(jù)組合的學(xué)問及古典概型概率公式求解.【解析】從10件產(chǎn)品中取4件所包含的全部結(jié)果為種,恰好取到1件次品所包含的結(jié)果有種,故所求概率為,計算得.答案:15.(2022·新課標(biāo)全國卷Ⅱ高考文科數(shù)學(xué)·T13)甲、乙兩名運(yùn)動員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動服中選擇1種,則他們選擇相同顏色運(yùn)動服的概率為.【解題提示】將“相同顏色”的狀況分清楚,利用獨(dú)立大事的概率求法求解.【解析】先求出基本大事的個數(shù)，再利用古典概型概率公式求解.甲、乙兩名運(yùn)動員選擇運(yùn)動服顏色有（紅，紅），（紅，白），（紅，藍(lán)），（白，白），（白，紅），（白，藍(lán)），（藍(lán)，藍(lán)），（藍(lán)，白），（藍(lán)，紅），共9種.而同色的有（紅，紅），（白，白），（藍(lán)，藍(lán)），共3種.所以所求概率P＝＝.答案:16.（2022·重慶高考文科·Ｔ15）某校早上8:00開頭上課,假設(shè)該校同學(xué)小張與小王在早上7:30～7:50之間到校,且每人在該時間段內(nèi)的任何時刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為.(用數(shù)字作答)【解題提示】可設(shè)出兩人到校的時刻,列出兩人到校時刻滿足的關(guān)系式,再依據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行求解.【解析】設(shè)小張與小王到校的時刻分別為7：30之后分鐘，則由題意知小張比小王至少早5分鐘到校需滿足，其中全部的基本大事構(gòu)成的區(qū)域為一個邊長為20的正方形，隨機(jī)大事“小張比小王至少早5分鐘到校”構(gòu)成的區(qū)域為陰影部分.由幾何概型的概率公式可知，其概率為答案：三、解答題17.（2022·湖南高考文科·Ｔ17）（本小題滿分12分）某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩個小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：其中分別表示甲組研發(fā)成功和失??；分別表示乙組研發(fā)成功和失敗.（1）若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給改組記1分，否記0分，試計算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成果的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平；（2）若該企業(yè)支配甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估算恰有一組研發(fā)成功的概率.【解題提示】（1）利用平均數(shù)，方差公式計算；（2）利用古典概型的計算公式計算。【解析】（1）甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成果為1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1其平均數(shù)為方差為乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成果為1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均數(shù)為方差為由于，所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組（2）記E={恰有一組研發(fā)成功}在所抽得的15個結(jié)果中，恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是共7個，故大事E發(fā)生的頻率為將頻率視為概率，即得所求概率為18.（2022·山東高考文科·Ｔ16）海關(guān)對同時從三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量（單位：件）如右表所示，工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測.地區(qū)ABC數(shù)量50150100（Ⅰ）求這6件樣品中來自各地區(qū)樣品的數(shù)量；（Ⅱ）若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.【解題指南】(1)本題考查了分層抽樣，利用比例求出求這6件樣品中來自各地區(qū)樣品的數(shù)量；（2）本問考查了古典概型，先將基本大事全部列出，再求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.【解析】：（Ⅰ）由于工作人員是按分層抽樣抽取商品，所以各地區(qū)抽取商品比例為：所以各地區(qū)抽取商品數(shù)為：，，；（Ⅱ）設(shè)各地區(qū)商品分別為：基本時間空間為：，共15個.樣本時間空間為：所以這兩件商品來自同一地區(qū)的概率為：.19.(2022·陜西高考文科·T19)某保險公司利用簡潔隨機(jī)抽樣方法,對投保車輛進(jìn)行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下:賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元,估量賠付金額大于投保金額的概率.(2)在樣本車輛中,車主是新司機(jī)的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中,車主是新司機(jī)的占20%,估量在已投保車輛中,新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率.【解題指南】(1)首先由已知計算賠付金額為3000元及4000元得出頻率,利用頻率估量概率,求和即得所求.(2)利用已知樣本車輛中車主為新司機(jī)的輛數(shù),再利用圖求得賠付金額為4000元的車輛中車主為新司機(jī)的輛數(shù),由頻率估量概率得值.【解析】(1)設(shè)A表示大事“賠付金額為3000元”,B表示大事“賠付金額為4000元”,以頻率估量概率得P(A)=QUOTE=0.15,P(B)=QUOTE=0.12.由于投保金額為2800元,賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是3000元和4000元,所以其概率為P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)設(shè)C表示大事“投保車輛中新司機(jī)獲賠金額為4000元”,由題意知,樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.1×1000=100輛,而賠付金額為4000元的車輛中,車主為新司機(jī)的有0.2×120=24輛.所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為QUOTE=0.24,由頻率估量概率得P(C)=0.24.20.（2022·天津高考文科·Ｔ15）（本小題滿分13分）某校夏令營有3名男同學(xué)和3名女同學(xué)，其班級狀況如下表：一班級二班級三班級男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參與學(xué)問競賽（每人被選到的可能性相同）用表中字母列舉出全部可能的結(jié)果設(shè)為大事“選出的2人來自不同班級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求大事發(fā)生的概率.【解析】(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參與學(xué)問競賽的全部可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15種.(2)選出的2人來自不同班級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的全部可能結(jié)果為{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6種.因此,大事M發(fā)生的概率P(M)=