【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2021年高考數(shù)學(xué)(四川專用-理)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破：第11篇-第1講-隨機(jī)事件的概率

第1講隨機(jī)大事的概率[最新考綱]1．了解隨機(jī)大事發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)分．2．了解兩個(gè)互斥大事的概率加法公式.知識(shí)梳理1．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀看某一大事A是否消滅，稱n次試驗(yàn)中大事A消滅的次數(shù)nA為大事A消滅的頻數(shù)，稱大事A消滅的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為大事A消滅的頻率．(2)對(duì)于給定的隨機(jī)大事A，假如隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，大事A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為大事A的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率．2．大事的關(guān)系與運(yùn)算定義符號(hào)表示包含關(guān)系假如大事A發(fā)生，則大事B肯定發(fā)生，這時(shí)稱大事B包含大事A(或稱大事A包含于大事B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?BA＝B并大事(和大事)若某大事發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)大事A發(fā)生或大事B發(fā)生，稱此大事為大事A與大事B的并大事(或和大事)A∪B(或A＋B)交大事(積大事)若某大事發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)大事A發(fā)生且大事B發(fā)生，則稱此大事為大事A與大事B的交大事(或積大事)A∩B(或AB)互斥大事若A∩B為不行能大事，則稱大事A與大事B互斥A∩B＝?對(duì)立大事若A∩B為不行能大事，A∪B為必定大事，那么稱大事A與大事B互為對(duì)立大事A∩B＝?P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝13.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必定大事的概率P(E)＝1.(3)不行能大事的概率P(F)＝0.(4)互斥大事概率的加法公式①假如大事A與大事B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若大事B與大事A互為對(duì)立大事，則P(A)＝1－P(B)．辨析感悟1．對(duì)隨機(jī)大事概念的理解(1)“物體在只受重力的作用下會(huì)自由下落”是必定大事．(√)(2)“方程x2＋2x＋8＝0有兩個(gè)實(shí)根”是不行能大事．(√)(3)(2022·廣州調(diào)研C項(xiàng))“下周六會(huì)下雨”是隨機(jī)大事．(√)2．對(duì)互斥大事與對(duì)立大事的理解(4)對(duì)立大事肯定是互斥大事，互斥大事不肯定是對(duì)立大事．(√)(5)(2022·鄭州調(diào)研B項(xiàng))從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中，任取一張，“抽取黑桃”與“抽取方塊”是對(duì)立大事．(×)3．對(duì)頻率與概率的理解(6)(教材練習(xí)改編)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(√)(7)(教材習(xí)題改編)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率為eq\f(1,3).(√)(8)(2022·臨沂調(diào)研改編)甲、乙二人下棋，甲獲勝的概率是0.3，甲不輸?shù)母怕蕿?.8，則甲、乙二人下成和棋的概率為0.5.(√)[感悟·提升]兩個(gè)區(qū)分一是“互斥大事”與“對(duì)立大事”的區(qū)分：對(duì)立大事是互斥大事，是互斥中的特殊狀況，但互斥大事不肯定是對(duì)立大事，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，如(5)中為互斥大事．二是“頻率”與“概率”：頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)分，不行混為一談．頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的轉(zhuǎn)變而變化，概率卻是一個(gè)常數(shù)，它是頻率的科學(xué)抽象．當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)，頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就可以近似地當(dāng)作隨機(jī)大事的概率.同學(xué)用書(shū)第179頁(yè)考點(diǎn)一大事的關(guān)系與運(yùn)算【例1】一個(gè)均勻的正方體玩具的各個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個(gè)玩具向上拋擲1次，設(shè)大事A表示向上的一面消滅奇數(shù)點(diǎn)，大事B表示向上的一面消滅的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3，大事C表示向上的一面消滅的點(diǎn)數(shù)不小于4，則()．A．A與B是互斥而非對(duì)立大事B．A與B是對(duì)立大事C．B與C是互斥而非對(duì)立大事D．B與C是對(duì)立大事解析依據(jù)互斥與對(duì)立的定義作答，A∩B＝{消滅點(diǎn)數(shù)1或3}，大事A，B不互斥更不對(duì)立；B∩C＝?，B∪C＝Ω(Ω為必定大事)，故大事B，C是對(duì)立大事．答案D規(guī)律方法對(duì)互斥大事要把握住不能同時(shí)發(fā)生，而對(duì)于對(duì)立大事除不能同時(shí)發(fā)生外，其并大事應(yīng)為必定大事，這些也可類比集合進(jìn)行理解，具體應(yīng)用時(shí)，可把全部試驗(yàn)結(jié)果寫(xiě)出來(lái)，看所求大事包含哪些試驗(yàn)結(jié)果，從而斷定所給大事的關(guān)系．【訓(xùn)練1】對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次放射一枚炮彈．設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一次擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一次擊中飛機(jī)}，其中彼此互斥的大事是________，互為對(duì)立大事的是________．解析設(shè)I為對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的全部狀況，由于A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?.故A與B，A與C，B與C，B與D為彼此互斥大事，而B(niǎo)∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對(duì)立大事．答案A與B，A與C，B與C，B與DB與D考點(diǎn)二隨機(jī)大事的概率與頻率【例2】某小型超市發(fā)覺(jué)每天營(yíng)業(yè)額Y(單位：萬(wàn)元)與當(dāng)天進(jìn)超市顧客人數(shù)X有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X＝700時(shí)，Y＝4.6；當(dāng)X每增加10，Y增加0.05.已知近20天X的值為：1400，1100，1900,1600,1400,1600,2200,1100,1600,1600，1900，1400,1100,1600,2200,1400,1600,1600，1900，700.(1)完成如下的頻率分布表：近20天每天進(jìn)超市顧客人數(shù)頻率分布表人數(shù)70011001400160019002200頻率eq\f(1,20)eq\f(4,20)(2)假定今日進(jìn)超市顧客人數(shù)與近20天進(jìn)超市顧客人數(shù)的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今日營(yíng)業(yè)額低于10.6萬(wàn)元高于4.6萬(wàn)元的概率．解(1)在所給數(shù)據(jù)中，進(jìn)超市顧客人數(shù)為1100的有3個(gè)，為1600的有7個(gè)，為1900的有3個(gè)，為2200的有2個(gè)．故近20天每天進(jìn)超市顧客人數(shù)頻率分布表為人數(shù)70011001400160019002200頻率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(4,20)eq\f(7,20)eq\f(3,20)eq\f(2,20)(2)由已知可得Y＝4.6＋eq\f(X－700,10)×0.05＝eq\f(1,200)X＋1.1，∵4.6<Y<10.6，∴4.6<eq\f(X,200)＋1.1<10.6，∴700<X<1900.∴P(4.6<Y<10.6)＝P(700<X<1900)＝P(X＝1100)＋P(X＝1400)＋P(X＝1600)＝eq\f(3,20)＋eq\f(4,20)＋eq\f(7,20)＝eq\f(14,20)＝eq\f(7,10).即今日營(yíng)業(yè)額低于10.6萬(wàn)元高于4.6萬(wàn)元的概率為eq\f(7,10).規(guī)律方法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求大事的概率，即通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，大事發(fā)生的頻率會(huì)漸漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．【訓(xùn)練2】某市統(tǒng)計(jì)的2010～2021年新生嬰兒數(shù)及其中男嬰數(shù)(單位：人)見(jiàn)下表：時(shí)間2010年2011年2022年2021年新生嬰兒數(shù)21840230702009419982男嬰數(shù)11453120311029710242(1)試計(jì)算男嬰各年的誕生頻率(精確到0.001)；(2)該市男嬰誕生的概率約是多少？解(1)2010年男嬰誕生的頻率為fn(A)＝eq\f(nA,n)＝eq\f(11453,21840)≈0.524.同理可求得2011年、2022年和2021年男嬰誕生的頻率分別約為0.521,0.512,0.513.(2)由以上計(jì)算可知，各年男嬰誕生的頻率在0.51～0.53之間，所以該市男嬰誕生的概率約為0.52.同學(xué)用書(shū)第180頁(yè)考點(diǎn)三互斥大事、對(duì)立大事的概率【例3】(2022·洛陽(yáng)模擬)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少？(2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少？審題路線(1)分別求等候人數(shù)為0人、1人、2人的概率?依據(jù)互斥大事的概率求和公式可求．(2)思路一：分別求等候人數(shù)為3人、4人、5人及5人以上的概率?依據(jù)互斥大事的概率求和公式可得．思路二：轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立大事的概率?依據(jù)P(A)＝1－P(eq\x\to(A))可求．解記“無(wú)人排隊(duì)等候”為大事A，“1人排隊(duì)等候”為大事B，“2人排隊(duì)等候”為大事C，“3人排隊(duì)等候”為大事D，“4人排隊(duì)等候”為大事E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為大事F，則大事A，B，C，D，E，F(xiàn)互斥．(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為大事G，則G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一記“至少3人排隊(duì)等候”為大事H，則H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二記“至少3人排隊(duì)等候”為大事H，則其對(duì)立大事為大事G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.規(guī)律方法求簡(jiǎn)單的互斥大事的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求大事的概率分解為一些彼此互斥的大事的概率的和，運(yùn)用互斥大事的求和公式計(jì)算．二是間接求法，先求此大事的對(duì)立大事的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)，特殊是“至多”，“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡(jiǎn)便．【訓(xùn)練3】一盒中裝有12個(gè)球，其中5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．解法一(利用互斥大事求概率)記大事A1＝{任取1球?yàn)榧t球}，A2＝{任取1球?yàn)楹谇騷，A3＝{任取1球?yàn)榘浊騷，A4＝{任取1球?yàn)榫G球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(A3)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(A4)＝eq\f(1,12).依據(jù)題意知，大事A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥大事的概率公式，得(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4)；(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法二(利用對(duì)立大事求概率)(1)由法一知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立大事為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1∪A2的對(duì)立大事為A3∪A4，所以取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4).(2)由于A1∪A2∪A3的對(duì)立大事為A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).1．對(duì)于給定的隨機(jī)大事A，由于大事A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來(lái)估量概率P(A)．2．從集合角度理解互斥和對(duì)立大事從集合的角度看，幾個(gè)大事彼此互斥，是指由各個(gè)大事所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，大事A的對(duì)立大事eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由大事A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．創(chuàng)新突破11——全面突破概率與其它學(xué)問(wèn)的綜合問(wèn)題【典例】(2021·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．依據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)．(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)依據(jù)直方圖估量利潤(rùn)T不少于57000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)．求T的數(shù)學(xué)期望．突破1：購(gòu)進(jìn)130t農(nóng)產(chǎn)品全部售出還是有剩余是解題的關(guān)鍵；突破2：T為X的函數(shù)是分段函數(shù)；突破3：由函數(shù)求得利潤(rùn)T不少于57000元時(shí)的X的范圍；突破4：依據(jù)直方圖估量概率；突破5：找出全部的T的取值，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望．解(1)當(dāng)X∈[100,130)時(shí)，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.當(dāng)X∈[130,150]時(shí)，T＝500×130＝65000.所以T＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(800X－39000，100≤X<130，,65000，130≤X≤150.))(2)由(1)知利潤(rùn)T不少于57000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57000元的概率的估量值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T(mén)45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E(T)＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.[反思感悟](1)本題是一道分段函數(shù)、頻率直方圖、隨機(jī)大事概率的綜合問(wèn)題，解本題的關(guān)鍵所在是“購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品”是否全部售出．考查了考生的規(guī)律思維力量、數(shù)據(jù)處理力量．(2)在頻率分布直方圖中，縱軸上的數(shù)據(jù)表示“頻率÷組距”，不能與“頻率”混淆．(3)可以用頻率來(lái)估量概率的值．【自主體驗(yàn)】(2021·四川卷)某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1,2,3，…，24這24個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生．(1)分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出y的值為i的概率Pi(i＝1,2,3)；(2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解，各自編寫(xiě)程序重復(fù)運(yùn)行n次后，統(tǒng)計(jì)記錄了輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻數(shù)．以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)．甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分)運(yùn)行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)3014610…………21001027376697乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分)運(yùn)行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)3012117…………21001051696353當(dāng)n＝2100時(shí)，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫(xiě)出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示)，并推斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合算法要求的可能性較大．(3)將按程序框圖正確編寫(xiě)的程序運(yùn)行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解(1)變量x是在1,2,3，…，24這24個(gè)整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)數(shù)，共有24種可能．當(dāng)x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為1，故P1＝eq\f(1,2)；當(dāng)x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為2，故P2＝eq\f(1,3)；當(dāng)x從6,12,18,24這4個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為3，故P3＝eq\f(1,6).所以，輸出y的值為1的概率為eq\f(1,2)，輸出y的值為2的概率為eq\f(1,3)，輸出y的值為3的概率為eq\f(1,6).(2)當(dāng)n＝2100時(shí)，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻率如下：輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻率輸出y的值為3的頻率甲eq\f(1027,2100)eq\f(376,2100)eq\f(697,2100)乙eq\f(1051,2100)eq\f(696,2100)eq\f(353,2100)比較頻率趨勢(shì)與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大．(3)隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0＝eq\f(1,27).故X的分布列為X0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)所以E(X)＝0×eq\f(8,27)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,27)＝1.即X的數(shù)學(xué)期望為1.

對(duì)應(yīng)同學(xué)用書(shū)P365基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．若在同等條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)得到某個(gè)大事A發(fā)生的頻率f(n)，則隨著n的漸漸增加，有()．A．f(n)與某個(gè)常數(shù)相等B．f(n)與某個(gè)常數(shù)的差漸漸減小C．f(n)與某個(gè)常數(shù)差的確定值漸漸減小D．f(n)在某個(gè)常數(shù)四周搖擺并趨于穩(wěn)定解析隨著n的增大，頻率f(n)會(huì)在概率四周搖擺并趨于穩(wěn)定，這也是頻率與概率的關(guān)系．答案D2．從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的大事是()．A．至少有一個(gè)紅球與都是紅球B．至少有一個(gè)紅球與都是白球C．至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球D．恰有一個(gè)紅球與恰有二個(gè)紅球解析對(duì)于A中的兩個(gè)大事不互斥，對(duì)于B中兩個(gè)大事互斥且對(duì)立，對(duì)于C中兩個(gè)大事不互斥，對(duì)于D中的兩個(gè)互斥而不對(duì)立．答案D3．從某班同學(xué)中任意找出一人，假如該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身超群過(guò)175cm的概率為()．A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8解析由題意知該同學(xué)的身超群過(guò)175cm的概率為1－0.2－0.5＝0.3，故選B.答案B4．(2022·沈陽(yáng)模擬)從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，則所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是()．A.eq\f(1,10)B.eq\f(3,10)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,10)解析從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球通過(guò)列舉知共有10個(gè)基本大事；所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的反面為“3個(gè)球均為紅色”，有1個(gè)基本大事，所以所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).答案D5．(2021·陜西卷)對(duì)一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位：毫米)進(jìn)行抽樣檢測(cè)，下圖為檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖．依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間[20,25)上為一等品，在區(qū)間[15,20)和[25,30)上為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35]上為三等品．用頻率估量概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，則其為二等品的概率是()．A．0.09B．0.20C．0.25D．0.45解析由頻率分布直方圖可知，一等品的頻率為0.06×5＝0.3，三等品的頻率為0.02×5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的頻率為1－(0.3＋0.25)＝0.45.用頻率估量概率可得其為二等品的概率為0.45.答案D二、填空題6．(2022·鄭州模擬)拋擲一粒骰子，觀看擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)大事A為消滅奇數(shù)點(diǎn)，大事B為消滅2點(diǎn)，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，則消滅奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率為_(kāi)_______．解析由于大事A與大事B是互斥大事，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)7．從一副混合后的撲克牌(52張)中，隨機(jī)抽取1張，大事A為“抽得紅桃K”，大事B為“抽得黑桃”，則概率P(A∪B)＝________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)．解析∵P(A)＝eq\f(1,52)，P(B)＝eq\f(13,52)，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,52)＋eq\f(13,52)＝eq\f(14,52)＝eq\f(7,26).答案eq\f(7,26)8．(2022·成都模擬)某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí)，其中乙、丙兩級(jí)均屬次品．若生產(chǎn)中消滅乙級(jí)品的概率為0.03，丙級(jí)品的概率為0.01，則對(duì)成品抽查一件抽得正品的概率為_(kāi)_______．解析記“生產(chǎn)中消滅甲級(jí)品、乙級(jí)品、丙級(jí)品”分別為大事A，B，C.則A，B，C彼此互斥，由題意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.答案0.96三、解答題9．袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是eq\f(1,3)，黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，綠球或黃球的概率也是eq\f(5,12)，求從中任取一球，得到黑球、黃球和綠球的概率分別是多少？解從袋中任取一球，記大事“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”分別為A，B，C，D，則大事A，B，C，D彼此互斥，所以有P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)，P(D＋C)＝P(D)＋P(C)＝eq\f(5,12)，P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，解得P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,4).故從中任取一球，得到黑球、黃球和綠球的概率分別是eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).10．某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數(shù)412423210(1)分別估量用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；(2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2，t<94，,2，94≤t<102，,4，t≥102.))從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤(rùn)記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．(以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率)．解(1)由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為eq\f(22＋8,100)＝0.3，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估量值為0.3.由試驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為eq\f(32＋10,100)＝0.42，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估量值為0.42.(2)用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間[90,94)，[94,102)，[102,110]的頻率分別為0.04，0.54，0.42，因此P(X＝－2)＝0.04，P(X＝2)＝0.54，P(X＝4)＝0.42，即X的分布列為X－224P0.040.540.42X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.力量提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1．(2022·大連模擬)某城市2021年的空氣質(zhì)量狀況如下表：污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時(shí)，空氣質(zhì)量為良；100＜T≤150時(shí)，空氣質(zhì)量為稍微污染，則該城市2021年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為()．A.eq\f(3,5)B.eq\f(1,180)C.eq\f(1,19)D.eq\f(5,6