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文檔簡介
第1講隨機大事的概率[最新考綱]1.了解隨機大事發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)分.2.了解兩個互斥大事的概率加法公式.知識梳理1.頻率與概率(1)在相同的條件S下重復n次試驗,觀看某一大事A是否消滅,稱n次試驗中大事A消滅的次數(shù)nA為大事A消滅的頻數(shù),稱大事A消滅的比例fn(A)=eq\f(nA,n)為大事A消滅的頻率.(2)對于給定的隨機大事A,假如隨著試驗次數(shù)的增加,大事A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上,把這個常數(shù)記作P(A),稱為大事A的概率,簡稱為A的概率.2.大事的關系與運算定義符號表示包含關系假如大事A發(fā)生,則大事B肯定發(fā)生,這時稱大事B包含大事A(或稱大事A包含于大事B)B?A(或A?B)相等關系若B?A且A?BA=B并大事(和大事)若某大事發(fā)生當且僅當大事A發(fā)生或大事B發(fā)生,稱此大事為大事A與大事B的并大事(或和大事)A∪B(或A+B)交大事(積大事)若某大事發(fā)生當且僅當大事A發(fā)生且大事B發(fā)生,則稱此大事為大事A與大事B的交大事(或積大事)A∩B(或AB)互斥大事若A∩B為不行能大事,則稱大事A與大事B互斥A∩B=?對立大事若A∩B為不行能大事,A∪B為必定大事,那么稱大事A與大事B互為對立大事A∩B=?P(A∪B)=P(A)+P(B)=13.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍:0≤P(A)≤1.(2)必定大事的概率P(E)=1.(3)不行能大事的概率P(F)=0.(4)互斥大事概率的加法公式①假如大事A與大事B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B).②若大事B與大事A互為對立大事,則P(A)=1-P(B).辨析感悟1.對隨機大事概念的理解(1)“物體在只受重力的作用下會自由下落”是必定大事.(√)(2)“方程x2+2x+8=0有兩個實根”是不行能大事.(√)(3)(2022·廣州調(diào)研C項)“下周六會下雨”是隨機大事.(√)2.對互斥大事與對立大事的理解(4)對立大事肯定是互斥大事,互斥大事不肯定是對立大事.(√)(5)(2022·鄭州調(diào)研B項)從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數(shù)從1~10各10張)中,任取一張,“抽取黑桃”與“抽取方塊”是對立大事.(×)3.對頻率與概率的理解(6)(教材練習改編)在大量重復試驗中,概率是頻率的穩(wěn)定值.(√)(7)(教材習題改編)集合A={2,3},B={1,2,3},從A,B中各任意取一個數(shù),則這兩數(shù)之和等于4的概率為eq\f(1,3).(√)(8)(2022·臨沂調(diào)研改編)甲、乙二人下棋,甲獲勝的概率是0.3,甲不輸?shù)母怕蕿?.8,則甲、乙二人下成和棋的概率為0.5.(√)[感悟·提升]兩個區(qū)分一是“互斥大事”與“對立大事”的區(qū)分:對立大事是互斥大事,是互斥中的特殊狀況,但互斥大事不肯定是對立大事,“互斥”是“對立”的必要不充分條件,如(5)中為互斥大事.二是“頻率”與“概率”:頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)分,不行混為一談.頻率隨著試驗次數(shù)的轉(zhuǎn)變而變化,概率卻是一個常數(shù),它是頻率的科學抽象.當試驗次數(shù)越來越多時,頻率向概率靠近,只要次數(shù)足夠多,所得頻率就可以近似地當作隨機大事的概率.同學用書第179頁考點一大事的關系與運算【例1】一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標以數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次,設大事A表示向上的一面消滅奇數(shù)點,大事B表示向上的一面消滅的點數(shù)不超過3,大事C表示向上的一面消滅的點數(shù)不小于4,則().A.A與B是互斥而非對立大事B.A與B是對立大事C.B與C是互斥而非對立大事D.B與C是對立大事解析依據(jù)互斥與對立的定義作答,A∩B={消滅點數(shù)1或3},大事A,B不互斥更不對立;B∩C=?,B∪C=Ω(Ω為必定大事),故大事B,C是對立大事.答案D規(guī)律方法對互斥大事要把握住不能同時發(fā)生,而對于對立大事除不能同時發(fā)生外,其并大事應為必定大事,這些也可類比集合進行理解,具體應用時,可把全部試驗結(jié)果寫出來,看所求大事包含哪些試驗結(jié)果,從而斷定所給大事的關系.【訓練1】對飛機連續(xù)射擊兩次,每次放射一枚炮彈.設A={兩次都擊中飛機},B={兩次都沒擊中飛機},C={恰有一次擊中飛機},D={至少有一次擊中飛機},其中彼此互斥的大事是________,互為對立大事的是________.解析設I為對飛機連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的全部狀況,由于A∩B=?,A∩C=?,B∩C=?,B∩D=?.故A與B,A與C,B與C,B與D為彼此互斥大事,而B∩D=?,B∪D=I,故B與D互為對立大事.答案A與B,A與C,B與C,B與DB與D考點二隨機大事的概率與頻率【例2】某小型超市發(fā)覺每天營業(yè)額Y(單位:萬元)與當天進超市顧客人數(shù)X有關.據(jù)統(tǒng)計,當X=700時,Y=4.6;當X每增加10,Y增加0.05.已知近20天X的值為:1400,1100,1900,1600,1400,1600,2200,1100,1600,1600,1900,1400,1100,1600,2200,1400,1600,1600,1900,700.(1)完成如下的頻率分布表:近20天每天進超市顧客人數(shù)頻率分布表人數(shù)70011001400160019002200頻率eq\f(1,20)eq\f(4,20)(2)假定今日進超市顧客人數(shù)與近20天進超市顧客人數(shù)的分布規(guī)律相同,并將頻率視為概率,求今日營業(yè)額低于10.6萬元高于4.6萬元的概率.解(1)在所給數(shù)據(jù)中,進超市顧客人數(shù)為1100的有3個,為1600的有7個,為1900的有3個,為2200的有2個.故近20天每天進超市顧客人數(shù)頻率分布表為人數(shù)70011001400160019002200頻率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(4,20)eq\f(7,20)eq\f(3,20)eq\f(2,20)(2)由已知可得Y=4.6+eq\f(X-700,10)×0.05=eq\f(1,200)X+1.1,∵4.6<Y<10.6,∴4.6<eq\f(X,200)+1.1<10.6,∴700<X<1900.∴P(4.6<Y<10.6)=P(700<X<1900)=P(X=1100)+P(X=1400)+P(X=1600)=eq\f(3,20)+eq\f(4,20)+eq\f(7,20)=eq\f(14,20)=eq\f(7,10).即今日營業(yè)額低于10.6萬元高于4.6萬元的概率為eq\f(7,10).規(guī)律方法利用概率的統(tǒng)計定義求大事的概率,即通過大量的重復試驗,大事發(fā)生的頻率會漸漸趨近于某一個常數(shù),這個常數(shù)就是概率.【訓練2】某市統(tǒng)計的2010~2021年新生嬰兒數(shù)及其中男嬰數(shù)(單位:人)見下表:時間2010年2011年2022年2021年新生嬰兒數(shù)21840230702009419982男嬰數(shù)11453120311029710242(1)試計算男嬰各年的誕生頻率(精確到0.001);(2)該市男嬰誕生的概率約是多少?解(1)2010年男嬰誕生的頻率為fn(A)=eq\f(nA,n)=eq\f(11453,21840)≈0.524.同理可求得2011年、2022年和2021年男嬰誕生的頻率分別約為0.521,0.512,0.513.(2)由以上計算可知,各年男嬰誕生的頻率在0.51~0.53之間,所以該市男嬰誕生的概率約為0.52.同學用書第180頁考點三互斥大事、對立大事的概率【例3】(2022·洛陽模擬)經(jīng)統(tǒng)計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應的概率如下:排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排隊等候的概率是多少?(2)至少3人排隊等候的概率是多少?審題路線(1)分別求等候人數(shù)為0人、1人、2人的概率?依據(jù)互斥大事的概率求和公式可求.(2)思路一:分別求等候人數(shù)為3人、4人、5人及5人以上的概率?依據(jù)互斥大事的概率求和公式可得.思路二:轉(zhuǎn)化為求其對立大事的概率?依據(jù)P(A)=1-P(eq\x\to(A))可求.解記“無人排隊等候”為大事A,“1人排隊等候”為大事B,“2人排隊等候”為大事C,“3人排隊等候”為大事D,“4人排隊等候”為大事E,“5人及5人以上排隊等候”為大事F,則大事A,B,C,D,E,F(xiàn)互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為大事G,則G=A+B+C,所以P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)法一記“至少3人排隊等候”為大事H,則H=D+E+F,所以P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.法二記“至少3人排隊等候”為大事H,則其對立大事為大事G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.規(guī)律方法求簡單的互斥大事的概率一般有兩種方法:一是直接求解法,將所求大事的概率分解為一些彼此互斥的大事的概率的和,運用互斥大事的求和公式計算.二是間接求法,先求此大事的對立大事的概率,再用公式P(A)=1-P(eq\x\to(A)),即運用逆向思維(正難則反),特殊是“至多”,“至少”型題目,用間接求法就顯得較簡便.【訓練3】一盒中裝有12個球,其中5個紅球,4個黑球,2個白球,1個綠球.從中隨機取出1球,求:(1)取出1球是紅球或黑球的概率;(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率.解法一(利用互斥大事求概率)記大事A1={任取1球為紅球},A2={任取1球為黑球},A3={任取1球為白球},A4={任取1球為綠球},則P(A1)=eq\f(5,12),P(A2)=eq\f(4,12)=eq\f(1,3),P(A3)=eq\f(2,12)=eq\f(1,6),P(A4)=eq\f(1,12).依據(jù)題意知,大事A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥大事的概率公式,得(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=eq\f(5,12)+eq\f(4,12)=eq\f(3,4);(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=eq\f(5,12)+eq\f(4,12)+eq\f(2,12)=eq\f(11,12).法二(利用對立大事求概率)(1)由法一知,取出1球為紅球或黑球的對立大事為取出1球為白球或綠球,即A1∪A2的對立大事為A3∪A4,所以取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-eq\f(2,12)-eq\f(1,12)=eq\f(3,4).(2)由于A1∪A2∪A3的對立大事為A4,所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-eq\f(1,12)=eq\f(11,12).1.對于給定的隨機大事A,由于大事A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用頻率fn(A)來估量概率P(A).2.從集合角度理解互斥和對立大事從集合的角度看,幾個大事彼此互斥,是指由各個大事所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集,大事A的對立大事eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由大事A所含的結(jié)果組成的集合的補集.創(chuàng)新突破11——全面突破概率與其它學問的綜合問題【典例】(2021·新課標全國Ⅱ卷)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每1t虧損300元.依據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.(1)將T表示為X的函數(shù);(2)依據(jù)直方圖估量利潤T不少于57000元的概率;(3)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值,需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),則取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率).求T的數(shù)學期望.突破1:購進130t農(nóng)產(chǎn)品全部售出還是有剩余是解題的關鍵;突破2:T為X的函數(shù)是分段函數(shù);突破3:由函數(shù)求得利潤T不少于57000元時的X的范圍;突破4:依據(jù)直方圖估量概率;突破5:找出全部的T的取值,列出分布列,求出數(shù)學期望.解(1)當X∈[100,130)時,T=500X-300(130-X)=800X-39000.當X∈[130,150]時,T=500×130=65000.所以T=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(800X-39000,100≤X<130,,65000,130≤X≤150.))(2)由(1)知利潤T不少于57000元當且僅當120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57000元的概率的估量值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E(T)=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.[反思感悟](1)本題是一道分段函數(shù)、頻率直方圖、隨機大事概率的綜合問題,解本題的關鍵所在是“購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品”是否全部售出.考查了考生的規(guī)律思維力量、數(shù)據(jù)處理力量.(2)在頻率分布直方圖中,縱軸上的數(shù)據(jù)表示“頻率÷組距”,不能與“頻率”混淆.(3)可以用頻率來估量概率的值.【自主體驗】(2021·四川卷)某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量x在1,2,3,…,24這24個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生.(1)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi(i=1,2,3);(2)甲、乙兩同學依據(jù)自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復運行n次后,統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻數(shù).以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù).甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)運行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)3014610…………21001027376697乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)運行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)3012117…………21001051696353當n=2100時,依據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率(用分數(shù)表示),并推斷兩位同學中哪一位所編程序符合算法要求的可能性較大.(3)將按程序框圖正確編寫的程序運行3次,求輸出y的值為2的次數(shù)X的分布列及數(shù)學期望.解(1)變量x是在1,2,3,…,24這24個整數(shù)中隨機產(chǎn)生的一個數(shù),共有24種可能.當x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數(shù)中產(chǎn)生時,輸出y的值為1,故P1=eq\f(1,2);當x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數(shù)中產(chǎn)生時,輸出y的值為2,故P2=eq\f(1,3);當x從6,12,18,24這4個數(shù)中產(chǎn)生時,輸出y的值為3,故P3=eq\f(1,6).所以,輸出y的值為1的概率為eq\f(1,2),輸出y的值為2的概率為eq\f(1,3),輸出y的值為3的概率為eq\f(1,6).(2)當n=2100時,甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率如下:輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻率輸出y的值為3的頻率甲eq\f(1027,2100)eq\f(376,2100)eq\f(697,2100)乙eq\f(1051,2100)eq\f(696,2100)eq\f(353,2100)比較頻率趨勢與概率,可得乙同學所編程序符合算法要求的可能性較大.(3)隨機變量X可能的取值為0,1,2,3.P(X=0)=Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3=eq\f(8,27),P(X=1)=Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2=eq\f(4,9),P(X=2)=Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1=eq\f(2,9),P(X=3)=Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0=eq\f(1,27).故X的分布列為X0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)所以E(X)=0×eq\f(8,27)+1×eq\f(4,9)+2×eq\f(2,9)+3×eq\f(1,27)=1.即X的數(shù)學期望為1.
對應同學用書P365基礎鞏固題組(建議用時:40分鐘)一、選擇題1.若在同等條件下進行n次重復試驗得到某個大事A發(fā)生的頻率f(n),則隨著n的漸漸增加,有().A.f(n)與某個常數(shù)相等B.f(n)與某個常數(shù)的差漸漸減小C.f(n)與某個常數(shù)差的確定值漸漸減小D.f(n)在某個常數(shù)四周搖擺并趨于穩(wěn)定解析隨著n的增大,頻率f(n)會在概率四周搖擺并趨于穩(wěn)定,這也是頻率與概率的關系.答案D2.從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球,那么互斥而不對立的大事是().A.至少有一個紅球與都是紅球B.至少有一個紅球與都是白球C.至少有一個紅球與至少有一個白球D.恰有一個紅球與恰有二個紅球解析對于A中的兩個大事不互斥,對于B中兩個大事互斥且對立,對于C中兩個大事不互斥,對于D中的兩個互斥而不對立.答案D3.從某班同學中任意找出一人,假如該同學的身高小于160cm的概率為0.2,該同學的身高在[160,175](單位:cm)內(nèi)的概率為0.5,那么該同學的身超群過175cm的概率為().A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8解析由題意知該同學的身超群過175cm的概率為1-0.2-0.5=0.3,故選B.答案B4.(2022·沈陽模擬)從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球,則所取的3個球中至少有1個白球的概率是().A.eq\f(1,10)B.eq\f(3,10)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,10)解析從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球通過列舉知共有10個基本大事;所取的3個球中至少有1個白球的反面為“3個球均為紅色”,有1個基本大事,所以所取的3個球中至少有1個白球的概率是1-eq\f(1,10)=eq\f(9,10).答案D5.(2021·陜西卷)對一批產(chǎn)品的長度(單位:毫米)進行抽樣檢測,下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖.依據(jù)標準,產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上為一等品,在區(qū)間[15,20)和[25,30)上為二等品,在區(qū)間[10,15)和[30,35]上為三等品.用頻率估量概率,現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機抽取1件,則其為二等品的概率是().A.0.09B.0.20C.0.25D.0.45解析由頻率分布直方圖可知,一等品的頻率為0.06×5=0.3,三等品的頻率為0.02×5+0.03×5=0.25,所以二等品的頻率為1-(0.3+0.25)=0.45.用頻率估量概率可得其為二等品的概率為0.45.答案D二、填空題6.(2022·鄭州模擬)拋擲一粒骰子,觀看擲出的點數(shù),設大事A為消滅奇數(shù)點,大事B為消滅2點,已知P(A)=eq\f(1,2),P(B)=eq\f(1,6),則消滅奇數(shù)點或2點的概率為________.解析由于大事A與大事B是互斥大事,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=eq\f(1,2)+eq\f(1,6)=eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)7.從一副混合后的撲克牌(52張)中,隨機抽取1張,大事A為“抽得紅桃K”,大事B為“抽得黑桃”,則概率P(A∪B)=________(結(jié)果用最簡分數(shù)表示).解析∵P(A)=eq\f(1,52),P(B)=eq\f(13,52),∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=eq\f(1,52)+eq\f(13,52)=eq\f(14,52)=eq\f(7,26).答案eq\f(7,26)8.(2022·成都模擬)某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級,其中乙、丙兩級均屬次品.若生產(chǎn)中消滅乙級品的概率為0.03,丙級品的概率為0.01,則對成品抽查一件抽得正品的概率為________.解析記“生產(chǎn)中消滅甲級品、乙級品、丙級品”分別為大事A,B,C.則A,B,C彼此互斥,由題意可得P(B)=0.03,P(C)=0.01,所以P(A)=1-P(B+C)=1-P(B)-P(C)=1-0.03-0.01=0.96.答案0.96三、解答題9.袋中有12個小球,分別為紅球、黑球、黃球、綠球,從中任取一球,得到紅球的概率是eq\f(1,3),黑球或黃球的概率是eq\f(5,12),綠球或黃球的概率也是eq\f(5,12),求從中任取一球,得到黑球、黃球和綠球的概率分別是多少?解從袋中任取一球,記大事“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”分別為A,B,C,D,則大事A,B,C,D彼此互斥,所以有P(B+C)=P(B)+P(C)=eq\f(5,12),P(D+C)=P(D)+P(C)=eq\f(5,12),P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-eq\f(1,3)=eq\f(2,3),解得P(B)=eq\f(1,4),P(C)=eq\f(1,6),P(D)=eq\f(1,4).故從中任取一球,得到黑球、黃球和綠球的概率分別是eq\f(1,4),eq\f(1,6),eq\f(1,4).10.某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量,質(zhì)量指標值越大表明質(zhì)量越好,且質(zhì)量指標值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗,各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品,并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值,得到下面試驗結(jié)果:A配方的頻數(shù)分布表指標值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表指標值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數(shù)412423210(1)分別估量用A配方,B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率;(2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位:元)與其質(zhì)量指標值t的關系式為y=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-2,t<94,,2,94≤t<102,,4,t≥102.))從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件,其利潤記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學期望.(以試驗結(jié)果中質(zhì)量指標值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值落入相應組的概率).解(1)由試驗結(jié)果知,用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為eq\f(22+8,100)=0.3,所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估量值為0.3.由試驗結(jié)果知,用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為eq\f(32+10,100)=0.42,所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估量值為0.42.(2)用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中,其質(zhì)量指標值落入?yún)^(qū)間[90,94),[94,102),[102,110]的頻率分別為0.04,0.54,0.42,因此P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,即X的分布列為X-224P0.040.540.42X的數(shù)學期望E(X)=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68.力量提升題組(建議用時:25分鐘)一、選擇題1.(2022·大連模擬)某城市2021年的空氣質(zhì)量狀況如下表:污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時,空氣質(zhì)量為優(yōu);50<T≤100時,空氣質(zhì)量為良;100<T≤150時,空氣質(zhì)量為稍微污染,則該城市2021年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為().A.eq\f(3,5)B.eq\f(1,180)C.eq\f(1,19)D.eq\f(5,6
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