【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教B版)基礎(chǔ)鞏固：第7章-第2節(jié)-基本不等式

第七章其次節(jié)一、選擇題1．(文)(2022·福州模擬)已知a>0，b>0，則eq\f(1＋a2b2,ab)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．5[答案]A[解析]∵a>0，b>0，∴ab>0，∴eq\f(1＋a2b2,ab)＝eq\f(1,ab)＋ab≥2等號(hào)成立時(shí)eq\f(1,ab)＝ab，∴ab＝1，故選A.(理)(2022·湖北隨州中學(xué)模擬)函數(shù)y＝log2x＋logx2x的值域是()A．(－∞，－1] B．[3，＋∞)C．[－1,3] D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)[答案]D[解析]由條件知x>0，且x≠1，y＝log2x＋logx2＋1，當(dāng)x>1時(shí)，log2x>0，y≥2eq\r(log2x·logx2)＋1＝3，等號(hào)成立時(shí)，x＝2；當(dāng)0<x<1時(shí)，log2x<0，y≤－2eq\r(log2x·logx2)＋1＝－1，等號(hào)成立時(shí)，x＝eq\f(1,2).∴函數(shù)的值域?yàn)?－∞，－1]∪[3，＋∞)．2．(2021·唐山一中月考)已知a、b是實(shí)數(shù)，則“a>1，b>1”是“a＋b>2且ab>1”A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]∵a>1，b>1，∴a＋b>2，且ab>1；當(dāng)a＝eq\f(10,3)，b＝eq\f(9,10)時(shí)，a＋b>2且ab>1，但“a>1，b>1”不成立，故選A.3．(2022·安徽五模)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，則9x＋3y的最小值為()A．2 B．2eq\r(3)C．6 D．9[答案]C[解析]由題意知a·b＝4(x－1)＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2eq\r(32x＋y)＝6，等號(hào)成立時(shí)，x＝eq\f(1,2)，y＝2，故選C.4．(文)(2021·濟(jì)寧模擬)已知a>0，b>0，若不等式eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,2a＋b)恒成立，則m的最大值等于()A．10 B．9C．8 D．7[答案]B[解析]由條件知m≤eq\f(a＋2b2a＋b,ab)恒成立，∵eq\f(a＋2b2a＋b,ab)＝eq\f(2a2＋b2＋5ab,ab)≥eq\f(4ab＋5ab,ab)＝9.等號(hào)在a＝b時(shí)成立，∴m≤9，故選B.(理)(2022·天津五校聯(lián)考)已知a，b為正實(shí)數(shù)且ab＝1，若不等式(x＋y)(eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))>m對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[4，＋∞) B．(－∞，1]C．(－∞，4] D．(－∞，4)[答案]D[解析]由于(x＋y)(eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2≥2eq\r(ab)＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，eq\f(ay,x)＝eq\f(bx,y)時(shí)等號(hào)成立，即a＝b，x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立，故只要m<4即可，正確選項(xiàng)為D.5．(文)設(shè)x、y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝2，a＋eq\r(b)＝4，則eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的最大值為()A．4 B．3C．2 D．1[答案]A[解析]依題意得4＝a＋eq\r(b)≥2eq\r(a·\r(b))(當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\r(b)時(shí)，等號(hào)成立)，則aeq\r(b)≤4，a2b≤16，又x＝loga2，y＝logb2，所以eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝2log2a＋log2b＝log2(a2b)≤log216＝4，即eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的最大值是4，故選A.(理)設(shè)a>0，b>0，eq\r(3)是a與b的等差中項(xiàng)，ax＝by＝3，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值等于()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2[答案]B[解析]由條件知a＋b＝2eq\r(3)，x＝loga3，y＝logb3，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝log3a＋log3b＝log3(ab)≤log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝1，等號(hào)在a＝b＝eq\r(3)時(shí)成立，故選B.[點(diǎn)評(píng)]將基本不等式與其他學(xué)問結(jié)合命制求最值的問題是高考命題中常見的一種方式，解題時(shí)先依據(jù)其他學(xué)問將條件與待求最值的表達(dá)式作適當(dāng)變形、等價(jià)轉(zhuǎn)化，使其具備應(yīng)用基本不等式的條件是解題的關(guān)鍵．6．(2022·上海松江期末)已知0<a<b，且a＋b＝1，則下列不等式中，正確的是()A．log2a>0 B．2a－b<eq\f(1,2)C．log2a＋log2b<－2 D．2eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)<eq\f(1,2)[答案]C[解析]由條件知0<a<1，∴l(xiāng)og2a<0，A錯(cuò)誤；∵0<a<b，a＋b＝1，∴0<a<eq\f(1,2)，eq\f(1,2)<b<1，∴a－b>－1，此時(shí)2a－b>eq\f(1,2)，B錯(cuò)誤；由eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)>2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝2,2eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)>22＝4，D錯(cuò)誤；由a＋b＝1>2eq\r(ab)，即ab<eq\f(1,4)，因此log2a＋log2b＝log2(ab)<log2eq\f(1,4)＝－2.故選C.二、填空題7．設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，a>0，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A、B、C三點(diǎn)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是________．[答案]8[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－b－1,2)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1.∵a>0，b>0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))(2a＋b)＝4＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥4＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即b＝eq\f(1,2)，a＝eq\f(1,4)時(shí)等號(hào)成立．8．(文)設(shè)圓x2＋y2＝1的一條切線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，則AB的最小值為______．[答案]2[解析]由條件知切線在兩軸上的截距存在，且不為零，故設(shè)切線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，則eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝1，∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切線與兩軸交于點(diǎn)A(a,0)和(0，b)，不妨設(shè)a>0，b>0，∴ab≥2，則AB＝|AB|＝eq\r(a2＋b2)≥eq\r(2ab)≥2.(理)在等式“1＝eq\f(1,)＋eq\f(9,)”的兩個(gè)括號(hào)內(nèi)各填入一個(gè)正整數(shù)，使它們的和最小，則填入的兩個(gè)數(shù)是________．[答案]4和12[解析]設(shè)兩個(gè)括號(hào)中的正整數(shù)分別為x，y，則x>0，y>0，eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，x＋y＝(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(9,y))＝10＋eq\f(y,x)＋eq\f(9x,y)≥10＋2eq\r(\f(y,x)·\f(9x,y))＝16，等號(hào)在eq\f(y,x)＝eq\f(9x,y)，即y＝3x時(shí)成立，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(9,y)＝1,y＝3x))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝12.))9．(文)已知c是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的半焦距，則eq\f(c,a＋b)的取值范圍是________．[答案][eq\f(\r(2),2)，1)[解析]由題設(shè)條件知，a＋b>c，∴eq\f(c,a＋b)<1，∵a2＋b2＝c2，∴(eq\f(c,a＋b))2＝eq\f(c2,a2＋b2＋2ab)≥eq\f(c2,2a2＋b2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(c,a＋b)≥eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2)≤eq\f(c,a＋b)<1.(理)(2022·咸陽(yáng)專題訓(xùn)練)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的最小值是________．[答案]4[解析]由題意，P、Q關(guān)于(0,0)對(duì)稱，設(shè)直線PQ：y＝kx(k>0)，從而P(eq\r(\f(2,k))，eq\r(2k))，Q(－eq\r(\f(2,k))，－eq\r(2k))．則PQ＝eq\r(\f(8,k)＋8k)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)，(PQ)min＝4.[點(diǎn)評(píng)]1.用基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)求最值時(shí)，要留意“一正、二定、三相等”，確定要明確什么時(shí)候等號(hào)成立．2．應(yīng)用基本不等式求最值，要留意歸納常見的變形技巧，代入消元，配系數(shù)，“1”的代換等等3．留意到P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可設(shè)P(x0，eq\f(2,x0))，x0>0，則|PQ|＝2|OP|＝2eq\r(x\o\al(2,0)＋\f(4,x\o\al(2,0)))≥4，x0＝eq\r(2)時(shí)取等號(hào)，更簡(jiǎn)捷的獲解．三、解答題10．(2022·江蘇鹽城一中檢測(cè))某單位擬建一個(gè)扇環(huán)面外形的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后通過點(diǎn)O的兩條線段圍成．按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)面的周長(zhǎng)為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米．設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x米，圓心角為θ(弧度)．(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知在花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時(shí)，直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x為何值時(shí)，y取得最大值．[解析](1)由題意，得30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝eq\f(10＋2x,10＋x)(0<x<10)．(2)花壇的面積為eq\f(1,2)θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0<x<10)，花壇面積與裝飾總費(fèi)用的比為y＝eq\f(－x2＋5x＋50,170＋10x)＝－eq\f(x2－5x－50,1017＋x)令t＝17＋x，則y＝eq\f(39,10)－eq\f(1,10)(t＋eq\f(324,t))≤eq\f(3,10)，當(dāng)且僅當(dāng)t＝18時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x＝1，θ＝eq\f(12,11).故當(dāng)x＝1時(shí)，花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比最大.一、選擇題11．(2022·浙江嘉興調(diào)研)已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋2b＝1，則a2＋4b2＋eq\f(1,ab)的最小值為()A.eq\f(7,2) B．4C.eq\f(161,36) D．eq\f(17,2)[答案]D[解析]由于a>0，b>0,1＝a＋2b≥2eq\r(2ab)，所以ab≤eq\f(1,8)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．又由于a2＋4b2＋eq\f(1,ab)≥2a·(2b)＋eq\f(1,ab)＝4ab＋eq\f(1,ab)，令t＝ab，所以f(t)＝4t＋eq\f(1,t)，由于f(t)在(0，eq\f(1,8)]上單調(diào)遞減，所以f(t)min＝f(eq\f(1,8))＝eq\f(17,2)，此時(shí)a＝2b＝eq\f(1,2)，故選D.12．(文)(2022·廣東南雄黃坑中學(xué)月考)已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值是()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D．4＋2eq\r(3)[答案]D[解析]由已知lg2x＋lg8y＝lg2得lg2x＋3y＝lg2，所以x＋3y＝1，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝(eq\f(1,x)＋eq\f(1,y))(x＋3y)＝4＋eq\f(3y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(3).(理)(2021·山東魚臺(tái)一中質(zhì)檢)若a>b>0，則下列不等式確定不成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．log2a>log2C．a(chǎn)2＋b2≤2a＋2b－D．b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<a[答案]C[解析]y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，a>b>0，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，故A成立；∵y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴l(xiāng)og2a>log2b，∴B成立；∵a>b>0，∴a＝eq\f(2a,2)>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>eq\r(b2)＝b，∴D成立；∵a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2>0，∴a2＋b2>2a＋2b－2，∴C不成立．13．(2022·沈陽(yáng)、云浮、佳木斯一中模擬、長(zhǎng)春調(diào)研)若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－2)∪(4，＋∞)B．(－∞，－4)∪[2，＋∞)C．(－2,4)D．(－4,2)[答案]D[解析]∵x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)(eq\f(2,x)＋eq\f(1,y))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝2y時(shí)取等號(hào)．又∵eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＝4，y＝2時(shí)，(x＋2y)min＝8.要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.14．已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a、b、A．c≥b>a B．a(chǎn)>c≥bC．c>b>a D．a(chǎn)>c>b[答案]A[解析]解法1：特值法：令a＝0，則b＝1，c＝5，∴c>b>a，排解B、D；令c＝b，則a＝2，∴b＝c＝5，也滿足b>a，排解C，選A.解法2：c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥∴c≥b，已知兩式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2∵1＋a2－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴1＋a2>a，∴b>a，∴c≥b>a.二、填空題15．(2022·沈陽(yáng)模擬)已知點(diǎn)A(m，n)在直線x＋2y－2＝0上，則2m＋4n的最小值為________[答案]4[解析]由條件知m＋2n＝2，2m＋4n＝2m＋22n≥2eq\r(2m＋2n)＝4，等號(hào)成立時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＝22n，,m＋2n＝2，))∴m＝1，n＝eq\f(1,2).∴所求最小值為4.16．(2021·廣東揭陽(yáng)一中期中)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足lnx＋lny＝0，且k(x＋2y)≤x2＋4y2恒成立，則k的最大值是________．[答案]eq\r(2)[解析]由條件知x>0，y>0，xy＝1，∴x＋2y≥2eq\r(2xy)＝2eq\r(2)，要使k(x＋2y)≤x2＋4y2恒成立，只要k≤(eq\f(x2＋4y2,x＋2y))min，∵eq\f(x2＋4y2,x＋2y)＝(x＋2y)－eq\f(4,x＋2y)≥2eq\r(2)－eq\f(4,2\r(2))＝eq\r(2)，等號(hào)成章地，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝2\r(2)，,x＝2y，))∴x＝eq\r(2)，y＝eq\f(\r(2),2)，∴k≤eq\r(2).三、解答題17．(2022·湖南省五市十校聯(lián)合檢測(cè))某化工企業(yè)2021年年底投入100萬(wàn)元，購(gòu)入一套污水處理設(shè)備．該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)確定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元．設(shè)該企業(yè)使用該設(shè)備x年的年平均污水處理費(fèi)用為y(單位：萬(wàn)元)．(1)用x表示y；(2)當(dāng)該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低時(shí)，企業(yè)需重新更換新的污水處理設(shè)備．則該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備．[解析](1)由題意得，y＝eq\f(100＋0.5x＋2＋4＋6＋…＋2x,x)，則y＝x＋eq\f(100,x)＋1.5(x∈N*)．(2)由基本不等式得：y＝x＋eq\f(100,x)＋1.5≥2eq\r(x·\f(100,x))＋1.5＝21.5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(100,x)，即x＝10時(shí)取等號(hào)．故該企業(yè)10年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備．18．(文)已知α、β都是銳角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．(1)當(dāng)α＋β＝eq\f(π,4)，求tanβ的值；(2)當(dāng)tanβ取最大值時(shí)，求tan(α＋β)的值．[解析](1)∵由條件知，sinβ＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))，整理得eq\f(3,2)sinβ－eq\f(1,2)cosβ＝0，∵β為銳角，∴tanβ＝eq\f(1,3).(2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，∴tanβ＝eq\f(sinαcosα,1＋sin2α)＝eq\f(sinαcosα,2sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,2tan2α＋1)＝eq\f(1,2tanα＋\f(1,tanα))≤eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,tanα)＝2tanα?xí)r，取“＝”號(hào)，∴tanα＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，tanβ取得最大值eq\f(\r(2),4)，此時(shí)，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(2).(理)(2022·上海嘉定一模)已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(m,x)＋2(m為實(shí)常數(shù))．(1)若函數(shù)f(x)圖象上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為eq\r(2)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2，