多元函數(shù)的極值及其求法

多元函數(shù)的極值及其求法一、二元函數(shù)的極值定義1

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某個鄰域內(nèi)有定義，若對于該鄰域內(nèi)異于(x0,y0)的點(x,y)，都有則稱函數(shù)在點(x0,y0)有極大值（或極小值）.極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.一、二元函數(shù)的極值例如，函數(shù)（見圖8-20a）在點0,0處有極大值1.又如，函數(shù)(見圖8-20b）在點（0，0）處有極小值0.在一般情況下，極值不容易看出，因此必須給出判定極值的方法.與一元函數(shù)類似，二元函數(shù)的極值點也與駐點有關(guān).圖8-20一、二元函數(shù)的極值定義2

使fx(x,y)=0,fy(x,y)=0同時成立的點(x0,y0)稱為函數(shù)z=f(x,y)的駐點.

（必要條件）設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(x0,y0)處有極值，則點(x0,y0)必為函數(shù)的駐點，即定理1一、二元函數(shù)的極值由定理1可知，具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點必定是駐點，但是函數(shù)的駐點不一定是極值點.例如，點（0，0）是函數(shù)z=xy的駐點，但是函數(shù)在該點并無極值.因為在點(0,0)處的函數(shù)值為0,而在點（0,0）的任一鄰域內(nèi)，總有使函數(shù)值為正的點，也有使函數(shù)值為負(fù)的點.注意一、二元函數(shù)的極值不妨設(shè)z=f(x,y)在點（x0,y0）處有極大值.依極大值的定義，在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)異于(x0,y0)的點都適合不等式f(x,y)<f(x0,y0).特別地，在該鄰域內(nèi)取x≠x0，y=y0的點，也應(yīng)適合不等式f(x,y0)<f(x0,y0)，這表明一元函數(shù)f(x,y0)在x=x0處取得極大值，因此必有

fx(x0,y0)=0.類似地可證fy(x0,y0)=0.證明一、二元函數(shù)的極值

怎樣判定一個駐點是否是極值點呢？一、二元函數(shù)的極值

（充分條件）設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且點(x0,y0)是f(x,y)的駐點，令則(1)AC－B2>0時具有極值，且當(dāng)A<0時有極大值，當(dāng)A>0時有極小值.(2)AC－B2<0時沒有極值.(3)AC－B2=0時可能有極值，也可能沒有極值，需另行討論.證明略.定理2一、二元函數(shù)的極值求函數(shù)

的極值和極值點．

解定義域聯(lián)立方程組求得駐點為（1,1）,（－1,1）,（0,0）,（0,2）.【例1】一、二元函數(shù)的極值再求出二階偏導(dǎo)數(shù)在點1,1處，，所以點1,1不是極值點;在點－1,1處，，所以點－1,1不是極值點;在點0,0處所以點0,0為fx,y的極大值點，極大值為f0,0=2;在點0,2處,所以點0,2為fx,y的極小值點，極小值為f0,2=－2.一、二元函數(shù)的極值與一元函數(shù)的情形相同，函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點上也有可能取得極值.例如，

在點（0，0）沒有偏導(dǎo)數(shù)，但f(0,0)=0是它的極小值.因此，在考慮函數(shù)的極值問題時，除了考慮函數(shù)的駐點外，也應(yīng)考慮使偏導(dǎo)數(shù)不存在的點.二、最大值與最小值有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值.這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點可能在D的內(nèi)部，也可能在D的邊界上.假定函數(shù)在D上連續(xù)、在D內(nèi)可微分且只有有限個駐點，這時如果函數(shù)在D的內(nèi)部取得最大值（最小值），則這個最大值（最小值）也是函數(shù)的極大值（極小值）.因此，在上述假設(shè)下，求函數(shù)最值的方法是:將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.二、最大值與最小值求函數(shù)在區(qū)域上的最值.

解令，解得駐點為(1,2)，則f(1,2)=－1.在邊界駐點為y=1,則f(0,1)=2;在邊界沒有駐點;【例2】二、最大值與最小值在邊界駐點為x=1.8,則f(1.8,4－1.8)=0.2.又f(0,0)=0,f(0,4)=－16,f(4,0)=－24，于是二、最大值與最小值若根據(jù)問題的實際意義，知道函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)存在最大值（或最小值），且函數(shù)在D內(nèi)只有一個駐點，則駐點處的函數(shù)值就是所求的最大值（或最小值）.注意三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法前面討論的極值問題，對于函數(shù)的自變量，除了限制在函數(shù)的定義域內(nèi)以外，并無其他條件.但有時會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件的極值問題.例如，要做一個容積為定數(shù)a且用料最省的長方體鐵皮箱．若以x,y,z表示長方體的三棱長，則此問題化為在約束條件xyz=a下，求表面積s=2(xy+yz+xz)的最小值．這種帶有約束條件的極值問題稱為條件極值，不帶有約束條件的極值問題稱為無條件極值．三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值有時可以將條件代入目標(biāo)函數(shù)，化為無條件極值來求解．例如，上面提出的長方體表面積最小化問題，由約束條件解出z，并代入表面積的表達式，得便化為一個無條件極值問題．但許多條件極值不易化為無條件極值．為了能夠直接求出條件極值，通常采用下面要介紹的拉格朗日乘數(shù)法．現(xiàn)在求函數(shù)三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法

z=f(x,y)（8-21）在條件

φ(x,y)=0（8-22）下的極值.假定函數(shù)（8-21）在(x0,y0)取得所求的極值，在(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)f(x,y)與φ(x,y)均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且φy(x0,y0)≠0.三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法由于函數(shù)（8-21）在(x0,y0)取得所求的極值，所以有

φ(x0,y0)=0,（8-23）因為φ(x,y)滿足隱函數(shù)存在定理的條件，所以方程（8-22）確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=g(x),且

于是，x=x0必定也是z=f［x,g(x)］=h(x)的極值點.由一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件知h′x0=fx(x0,y0)+fy(x0,y0)g′x0=0,（8-24）三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法把

代入式（8-24），得

（8-25）式（8-23）和式（8-25）就是函數(shù)（8-21）在條件（8-22）下在(x0,y0)取得極值的必要條件.設(shè)，上述必要條件就變?yōu)槿?、條件極值拉格朗日乘數(shù)法

（8-26）容易看出，（8-26）中的前兩式的左端正是函數(shù)L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)在(x0,y0)的值.由以上討論，歸納出拉格朗日乘數(shù)法：三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法(1)構(gòu)造輔助函數(shù)（稱為拉格朗日函數(shù)）L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),其中λ稱為拉格朗日乘子.(2)點(x0,y0)為條件極值點的必要條件是x0,y0與λ滿足方程組二、最大值與最小值求函數(shù)在閉區(qū)域上的最值．

解解此題可分兩步進行.（1）求在D內(nèi)部的駐點.令得唯一駐點0,0.(2)求fx,y=e－xy在D的邊界x2+4y2=1上可能的極值點.作拉格朗日函數(shù)【例3】三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法由此可解出x0,y0與λ．

(3)判定(x0,y0)是否為極值點，一般可以由問題的實際意義作出判定．這方法還可以推廣到自變量多于兩個且附加條件多于一個的情形.例如，要求函數(shù)u=f(x,y,z,t)在附加條件

φ(x,y,z,t)=0，ψ(x,y,z,t)=0下的極值，可先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+λ1φ(x,y,z,t)+λ2ψ(x,y,z,t)，其中λ1，λ2均為參數(shù)，求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與附加條件中的兩個方程聯(lián)立起來求解，這樣得到的(x0,y0,z0,t0)就是可能極值點.再判斷該可能極值點是否為極值點.三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法

解方程組由式②，式③得

（8-27）

（8-28）三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法由式（8-27）和式（8-28）相除，得代入式③，得因此，可能的條件極值點為比較的大小知，該函數(shù)在閉區(qū)域D上的最大值為最小值為三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法求拋物線y=x2到直線x－y－2=0的最短距離．

解拋物線上的點x,y到直線x－y－2=0的距離為