【北京特級教師】2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)必修4課后練習(xí)：三角部分綜合問題-一

學(xué)科：數(shù)學(xué)專題：三角部分綜合問題題1：題面：已知函數(shù)f(x)＝cos2x＋sinx，那么下列命題中是假命題的是()A．f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)B．f(x)在[－π，0]上恰有一個零點C．f(x)是周期函數(shù)D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5,6)π))上是增函數(shù)題2：題面：已知sin(π－α)＝log8eq\f(1,4)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則tan(2π－α)的值為()A．－eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C．±eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(\r(5),2)題3：題面：已知點P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，且α∈[0,2π]，則α的取值范圍是________．題4：題面：已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx的圖象在點A(1，f(1))處的切線的斜率為4，則函數(shù)g(x)＝eq\r(3)sin2x＋bcos2x的最大值和最小正周期為()A．1，π B．2，πC.eq\r(2)，2π D.eq\r(3)，2π題5：題面：已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的圖象與y軸交于點(0，eq\r(3))，在y軸右邊到y(tǒng)軸最近的最高點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，2))，則不等式f(x)>1的解集是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(5,6)π))，k∈ZB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5,6)π))，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,4)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z題6：題面：將函數(shù)y＝cos2x的圖象向右平移eq\f(π,4)個單位，得到函數(shù)y＝f(x)·sinx的圖象，則f(x)的表達式可以是()A．f(x)＝－2cosxB．f(x)＝2cosxC．f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2xD．f(x)＝eq\f(\r(2),2)(sin2x＋cos2x)題7：題面：已知函數(shù)f(x)＝4cosxsin(x＋eq\f(π,6))－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間[－eq\f(π,6)，eq\f(π,4)]上的最大值和最小值．題8：題面：函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的部分圖象如圖所示，則將y＝f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位后，得到的圖象的解析式為()A．y＝sin2x B．y＝cos2xC．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))課后練習(xí)詳解題1：答案：B.詳解：∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝－1，即f(－x)≠f(x)，∴f(x)不是偶函數(shù)．∵x∈R，f(0)＝1≠0，∴f(x)不是奇函數(shù)，故A為真命題；令f(x)＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx＝0，則sin2x－sinx－1＝0，解得sinx＝eq\f(1±\r(5),2)，當(dāng)x∈[－π，0]時，sinx＝eq\f(1－\r(5),2)，由正弦函數(shù)圖象可知函數(shù)f(x)在[－π，0]上有兩個零點，故B為假命題；∵f(x)＝f(x＋2π)，∴T＝2π，故函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，C為真命題；∵f′(x)＝2cosx·(－sinx)＋cosx＝cosx·(1－2sinx)，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))時，cosx<0，eq\f(1,2)<sinx<1，∴f′(x)＝cosx·(1－2sinx)>0，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5,6)π))上是增函數(shù)，D為真命題．故選B.題2：答案：B.詳解：sin(π－α)＝sinα＝log8eq\f(1,4)＝－eq\f(2,3)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，得cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(5),3)，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(2\r(5),5).題3：答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4))).詳解：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα>cosα，,tanα>0，))∴eq\f(π,4)＋2kπ<α<eq\f(π,2)＋2kπ或π＋2kπ<α<eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z.∵0≤α≤2π，∴eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)或π<α<eq\f(5π,4).題4：答案：B.詳解：由題意得f′(x)＝3x2＋b，f′(1)＝3＋b＝4，b＝1.所以g(x)＝eq\r(3)sin2x＋bcos2x＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，故函數(shù)的最大值為2，最小正周期為π.題5：答案：D.詳解：依題意A＝2,2sinφ＝eq\r(3)且|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3).由2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πω,12)＋\f(π,3)))＝2得eq\f(πω,12)＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，∴ω＝2，由f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))>1，得2kπ＋eq\f(π,6)<2x＋eq\f(π,3)<2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，∴kπ－eq\f(π,12)<x<kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．題6：答案：B.詳解：平移后的函數(shù)解析式是y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝sin2x＝2sinxcosx，故函數(shù)f(x)的表達式可以是f(x)＝2cosx.題7：答案：(1)最小正周期為π.(2)最大值2；最小值－1.詳解：(1)由于f(x)＝4cosxsin(x＋eq\f(π,6))－1＝4cosx(eq\f(\r(3),2)sinx＋eq\f(1,2)cosx)－1＝eq\r(3)sin2x＋2cos2x－1＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))，所以f(x)的最小正周期為π.(2)由于－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,4)，所以－eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(2π,3).于是，當(dāng)2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,6)時，f(x)取得最大值2；當(dāng)2x＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)，即x＝－eq\f(π,6)時，f(x)取得最小值－1.題8：答案：D.詳解：由圖象知A＝1，eq\f(3,4)T＝eq\f(11π,2)－eq\f(π,6)＝eq\f(3π,4)，T＝π?ω＝2，由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋φ))＝1，|φ|<eq\f(π,2)得eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)?φ＝eq\f(π,6)?f(x)＝sineq\b\lc\(\r