【全程復(fù)習(xí)方略】2020年人教A版數(shù)學(xué)理(廣東用)課時作業(yè)：第四章-第三節(jié)平面向量的數(shù)量積

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(二十七)一、選擇題1.有下列四個命題:①(a·b)2=a2·b2;②|a+b|>|a-b|;③|a+b|2=(a+b)2;④若a∥b,則a·b=|a|·|b|.其中真命題的個數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)42.(2022·遼寧高考)已知兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則下面結(jié)論正確的是()(A)a∥b(B)a⊥b(C)|a|=|b|(D)a+b=a-b3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中作矩形OABC,已知|OA|=4,|AB|=3,則QUOTE·QUOTE的值為()(A)0(B)7(C)25(D)-74.(2021·湛江模擬)已知a,b均為單位向量,它們的夾角為QUOTE,那么|a+3b|等于()(A)(B)(C)(D)45.在△ABC中,QUOTE=1,QUOTE=2,則AB邊的長度為()(A)1(B)3(C)5(D)96.已知向量a,b滿足|a|=|b|=2,a·b=0,若向量c與a-b共線,則|a+c|的最小值為()(A)1(B)QUOTE(C)QUOTE(D)27.設(shè)a,b是不共線的兩個向量,其夾角是θ,若函數(shù)f(x)=(xa+b)·(a-xb)(x∈R)在(0,+∞)上有最大值,則()(A)|a|<|b|,且θ是鈍角(B)|a|<|b|,且θ是銳角(C)|a|>|b|,且θ是鈍角(D)|a|>|b|,且θ是銳角8.(2021·江門模擬)若向量a,b滿足|a|=|b|=1,且(a+b)·b=QUOTE,則向量a與b的夾角為()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°9.(2021·清遠(yuǎn)模擬)設(shè)a,b是非零向量,若函數(shù)f(x)=(xa+b)·(a-xb)的圖象是一條直線,則必有()(A)a⊥b(B)a∥b(C)|a|=|b|(D)|a|≠|(zhì)b|10.(力氣挑戰(zhàn)題)如圖,已知點A(1,1)和單位圓上半部分上的動點B.且QUOTE⊥QUOTE,則向量QUOTE的坐標(biāo)為()(A)(-QUOTE,QUOTE)(B)(-QUOTE,QUOTE)(C)(-QUOTE,QUOTE)(D)(-QUOTE,QUOTE)二、填空題11.已知平面對量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,則QUOTE=.12.如圖,半圓的直徑AB=6,O為圓心,C為半圓上不同于A,B的任意一點,若P為半徑OC上的動點,則(QUOTE+QUOTE)·QUOTE的最小值是.13.(2021·潮州模擬)以下命題:①若|a·b|=|a|·|b|,則a∥b;②a=(-1,1)在b=(3,4)方向上的投影為QUOTE;③若△ABC中,a=5,b=8,c=7,則QUOTE·QUOTE=20;④若非零向量a,b滿足|a+b|=|b|,則|2b|>|a+2b|.其中全部真命題的序號是.14.(力氣挑戰(zhàn)題)給定兩個長度為1的平面對量QUOTE和QUOTE,它們的夾角為90°.如圖所示,點C在以O(shè)為圓心的圓弧QUOTE上運動,若QUOTE=xQUOTE+yQUOTE,其中x,y∈R,則xy的范圍是.三、解答題15.在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量a=(-1,2),又點A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t)(0≤θ≤QUOTE).(1)若QUOTE⊥a,且|QUOTE|=QUOTE|QUOTE|(O為坐標(biāo)原點),求向量QUOTE.(2)若向量QUOTE與向量a共線,當(dāng)k>4,且tsinθ取最大值4時,求QUOTE·QUOTE.答案解析1.【解析】選A.①(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2<a,b>≤|a|2·|b|2=a2·b2;②|a+b|與|a-b|大小不確定;③正確;④a∥b,當(dāng)a,b同向時有a·b=|a|·|b|;當(dāng)a,b反向時有a·b=-|a|·|b|.故不正確.2.【思路點撥】將所給等式兩邊平方,找到兩個向量的關(guān)系.【解析】選B.|a+b|=|a-b|?|a+b|2=|a-b|2?a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2?a·b=0?a⊥b.【變式備選】已知非零向量a,b滿足向量a+b與向量a-b的夾角為QUOTE,那么下列結(jié)論中確定成立的是()(A)a=b (B)|a|=|b|(C)a⊥b (D)a∥b【解析】選B.由條件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|.3.【解析】選D.QUOTE·QUOTE=(QUOTE-QUOTE)·(QUOTE+QUOTE)=|QUOTE|2-|QUOTE|2=32-42=-7.4.【解析】選C.由于|a+3b|2=|a|2+|3b|2+2a·3b,所以|a+3b|2=1+9+2×3cosQUOTE=13,所以|a+3b|=QUOTE.5.【思路點撥】依據(jù)數(shù)量積的定義計算,并結(jié)合解三角形的學(xué)問得到結(jié)果.【解析】選B.過點C作AB的垂線,垂足為D.由條件得QUOTE=QUOTE=|QUOTE|cosA=AD=1,同理BD=2.故AB=AD+DB=3.6.【解析】選B.由于c與a-b共線,且a-b≠0,所以設(shè)c=λ(a-b)(λ∈R),于是a+c=a+λ(a-b)=(λ+1)a-λb,所以|a+c|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因此當(dāng)λ=-QUOTE時,|a+c|取最小值QUOTE.7.【解析】選D.f(x)=-a·bx2+(a2-b2)x+a·b,若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有最大值,則可知函數(shù)為二次函數(shù),且圖象的開口向下,且對稱軸在y軸右側(cè),即QUOTE所以a,b的夾角為銳角,且|a|>|b|.【誤區(qū)警示】解答本題時簡潔因看不懂題意,不能將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為向量問題而導(dǎo)致錯解或無法解題.8.【解析】選C.由|a|=|b|=1,(a+b)·b=|a|·|b|cos<a,b>+|b|2=cos<a,b>+1=QUOTE,可得cos<a,b>=QUOTE.又由0°≤<a,b>≤180°,可得向量a與b的夾角為60°.9.【解析】選A.f(x)=(xa+b)·(a-xb)的圖象是一條直線,即f(x)的表達(dá)式是關(guān)于x的一次函數(shù).而(xa+b)·(a-xb)=x|a|2-x2a·b+a·b-x|b|2故a·b=0,又∵a,b為非零向量,∴a⊥b,故應(yīng)選A.10.【解析】選B.依題意設(shè)B(cosθ,sinθ),0≤θ≤π.則QUOTE=(1,1),QUOTE=(cosθ,sinθ).由于QUOTE⊥QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=0,即cosθ+sinθ=0,解得θ=QUOTE,所以QUOTE=(-QUOTE,QUOTE).【方法技巧】解題時引入恰當(dāng)?shù)膮?shù)θ是解題的關(guān)鍵,進(jìn)而可利用三角函數(shù)的定義求得點B的坐標(biāo),可將問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運算問題來解決.11.【思路點撥】依據(jù)條件求出向量的夾角,進(jìn)而尋求向量坐標(biāo)間的關(guān)系,化簡求值即可.【解析】設(shè)a,b的夾角為θ,則a·b=|a||b|cosθ=-6,∴cosθ=-1,∴θ=180°.即a,b共線且反向.又∵|a|=2,|b|=3,∴a=-QUOTEb,x1=-QUOTEx2,y1=-QUOTEy2,∴QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE12.【思路點撥】設(shè)PO=x(0≤x≤3),運用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為函數(shù)學(xué)問求解.【解析】設(shè)PO=x,則PC=3-x(0≤x≤3),則(QUOTE+QUOTE)·QUOTE=2QUOTE·QUOTE=2·x·(3-x)·cosπ=2x(x-3)=2(x-QUOTE)2-QUOTE.∵0≤x≤3,∴當(dāng)x=QUOTE時,(QUOTE+QUOTE)·QUOTE有最小值-QUOTE.答案:-QUOTE13.【解析】①中,由|a·b|=|a||b||cos<a,b>|=|a||b|,知cos<a,b>=±1,故<a,b>=0或<a,b>=π,所以a∥b,故正確;②中a在b方向上的投影為|a|·cos<a,b>=|a|·故正確;③中,由余弦定理得cosC=QUOTE=QUOTE,故QUOTE·QUOTE=-QUOTE·QUOTE=-5×8×QUOTE=-20,故錯誤.④中,由|a+b|=|b|知|b|+|a+b|=|b|+|b|,∴|2b|=|b|+|a+b|≥|b+a+b|=|a+2b|,故錯誤.答案:①②14.【解析】由QUOTE=xQUOTE+yQUOTE,得QUOTE+2xyQUOTE·QUOTE.又|QUOTE|=|QUOTE|=|QUOTE|=1,QUOTE·QUOTE=0,∴1=x2+y2≥2xy,得xy≤QUOTE,而點C在以O(shè)為圓心的圓弧QUOTE上運動,得x,y∈[0,1],于是0≤xy≤QUOTE.答案:[0,QUOTE]15.【解析】(1)可得QUOTE=(n-8,t),∵QUOTE⊥a,∴QUOTE·a=(n-8,t)·(-1,2)=0,得n=2t+8,則QUOTE=(2t,t).又|QUOTE|=QUOTE|QUOTE|,|QUOTE|=8.∴(2t)2+t2=5×64,解得t=±8,當(dāng)t=8時,n=24;當(dāng)t=-8時,n=-8.∴QUOTE=(24,8)或QUOTE=(-8,-8).(2)∵向量QUOTE與向量a共