高考數(shù)學(xué)難點突破專題訓(xùn)練五：立體幾何

2023高考數(shù)學(xué)難點突破專題訓(xùn)練（5）

立體幾何

★熱身訓(xùn)練

1.（廣東省深圳市高級中學(xué)（集團(tuán)）2022?2023學(xué)年高三上學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題）

如圖，棱長為4的正方體A3C￡>-，點A在平面a內(nèi)，平面ASCD與平面a所成的

二面角為30°,則頂點G到平面。的距離的最大值是（）

A.2(2+揚B.2(73C.2(6+1)D.2(72+1)

【解答】解：如圖所示，過G作CO_La,垂足為E,

則GE為所求，NAC花=30°，

由題意，設(shè)CO=x,則AO=4夜-x,

C,O=Vl6+x2,OE=-OA=2s/2--x,

2

:.ClE=yJ16+x+2x/2--x,

令y=V16+X2+2x/2~~x)

故選：B.

2.（江蘇省常州高級中學(xué)2022.2023學(xué)年高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題）

（多選題）如圖，點。是正四面體P43C底面A8C的中心，過點。且平行于平面的直

線分別交AC,5c于點M,N,S是棱PC上的點，平面SMN與棱R4的延長線相交于點

Q,與棱M的延長線相交于點R,則（）

A.若MN〃平面則AB〃RQ

B.存在點S與直線MN,使PS（PQ+PR）=0

C.存在點S與直線MN,使PC_L平面SR。

1113

D，網(wǎng)+網(wǎng)+網(wǎng)-網(wǎng)

ACD

【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可判斷A；由空間向量數(shù)量積可判斷B；當(dāng)直線MN平

行于直線A8,SC=g/>C時，通過線面垂直的判定定理可判斷C,由共面向量定理可判斷

D.

【解析】對于A,「MN〃平面PA8,平面SMN與棱始的延長線相交于點。，與棱尸8的

延長線相交于點R，

平面SMNc平面PAB=RQ,

又MNu平面SMN,MN”平面PAB,：.MN/，RQ,

.,點。在面4BC上，過點。的直段交4C,BC于點、M,N,，MVu平面ABC,

又MN〃平面PAB,平面ABCC平面以8=/3,MN〃A8,

:.ABHRQ,故A正確：

對于B,設(shè)正四面體P—ABC的棱長為。，.?.PS(PQ+PR)=PSPQ+PSPR

=Ips|-|Pc|cos600+1P5|-|P/?|cos600=a2>0,故B錯誤；

對于C,當(dāng)直線MN平行于直線48,S為線段PC上靠近C的三等分點，即SC=；PC,此

時PC_L平面SRQ,

以下給出證明：在正四面體中，設(shè)各棱長為。，

?.^ABC,NBC,△RAC,△BW均為正三角形，

,,點。為-ABC的中心，MNHAB,

2

???由正三角形中的性質(zhì)，易得CN=CM=§a,

在sCNS中，'：CN=-a,SC=-a,ZSCN=-

333t

???由余弦定理得，SN=J0+(為12.幺即cos&=旦,

VUJI3J3333

2222

/.SC+SN=^a=CNf則SN_LPC,

同理，SM_LPC,又SMrN=S,SMu平面SR。，SNu平面SRQ,

??.PC_L平面SRQ,???存在點S與直線MM使PC_L平面SRQ,故C正確;

對于D,設(shè)。為6C的中點，則

221

PO=PA+AO=PA+-AD=PA+-(PD-PA)=-(PA+PB+PC)f

PAPB

又",A,。三點共線,APA=PQ,VP,B,R三點共線，，PB=——PR,?:P,

~PQPR

S,C三點共線，???PC=——PS,設(shè)|閣="，|網(wǎng)=y,|PS|二z,則

PS

\PA附\pc\

PO=1~IpQ+J_IpR+l_IPS，

3x3y3z

?：0,Q,R,S四點共面，???畫+網(wǎng)+匹1=1

又???卜4卜,8卜卜4,

3x3y3z

11111113

,1-----1=ir,-I---1—=1—j

,,3x3y3z網(wǎng)―ryz網(wǎng)，

1113

即同f網(wǎng)+網(wǎng)=網(wǎng)，故口正確?

故選：ACD.

【注意】關(guān)鍵點注意：本題考查了線面平行的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理，考查了空間

向量數(shù)量積和共面向量定理，解題的關(guān)鍵是熟悉利用空間向量的共面定理，考查了轉(zhuǎn)化能力

與探究能力，屬于難題.

3.（江蘇省蘇北四市（徐州、淮安、宿遷、連云港）2022?2023學(xué)年度高三年級第一次調(diào)研

測試數(shù)學(xué)試題）

如圖，在四棱錐S—A8CD中，側(cè)面SAD_L底面ABC。，SALAD,且四邊形48co為

平行四邊形，AB=\,3c=2,Z.ABC=1,SA=3.

（1）求二面角S-CD-A的大?。?/p>

⑵點P在線段SO上且滿足天=后方，試確定2的值，使得直線期與面PCO所成角最大.

19.(1)連接力C,在△ABC,AB=1,BC=2,

ZABC-^,由余弦定理得ZC=#,所以NA4C-]..................................2分

因為側(cè)面"OJ■底面48CD,illS^DD]^ABCD=AD,SA±AD,

所以-，面以CD,所以S4JLNC.....................................................................4分

法1：以/為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則8(1,0,0),C(0,G,0),S(0,0,3),0(TG,0),CD=(-1,0,0),SC=.

設(shè)平面SCD的法向量為n=(x,y,z),

n?CD=0,\x=Q__

叫〃阮二。，得，可取〃=(。㈤)?

易知蔡=(0,0,1)為而48。的法向量................6分

j,C11

所以8，。=麗=布=5?

因為二面角S-CO-/1為銳角，

所以。?即二面角S—CD—力的大小為3............................

法2：因為弘J.血力8c。，所以S4_LCD.

因為四邊形力88為平行四邊形，所以4cd.cD,

又&ic4C=4,所以8_L面”C,所以CD_LSC.

又面/COc面SC。=CO，所以乙4cs為二面角S-CD-A的平面角..........6分

因為ianN/CS=^=6二面角S-C0-4為銳角，所以g.

即二面角S-C。-/的大小為j.....................................................................8分

(2)設(shè)P區(qū),乂,馬)，SP=ASDt得區(qū),凹,馬-3)=/1(-1,6,-3),

玉=-4,兇=&,4=3-34,所以尸(一2,九3-3/1),所以而=(-4-1,⑨,3-3/1).

...............................................10分

由(1)知平面PCO的法向量為7=(0,0,1).

麗?〃32+3-313

因為cosa=—■—=—/=-

18P|〃|2yJ.+1)2+(8>+(3-3A)22J13萬一164+10'

QQ

所以當(dāng)丸噬時，cosa值最大，即當(dāng);I噬時，8尸與平面PCO所成角最大.

................................................12分

4.（江蘇省常州高級中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題）

如圖，空間幾何體AOE-8c/中，四邊形A8CO是梯形，ABHCD,四邊形C力四是矩形,

且平面ABCD1平面CDEF,AD1DC,AB=AD=DE=ZEF=4,M是線段AE上的動點.

（1）試確定點M的位置，使AC，/平面ME萬，并說明理由；（7分）

（2）在（1）的條件下,平面戶將幾何體ADE-BCF分成兩部分，求空間幾何體M-DEF

與空間兒何體ADM-8C”的體積的比值.（7分）

（1）當(dāng)M是線段AE的中點時，AC〃平面M/邛，理由見解析：（2）

【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理確定M是線段AE的中點，然后根據(jù)線面平行的判定定

理證明.

（2）將幾何體APE-BC產(chǎn)補成三棱柱，由三棱柱和三棱錐體積得幾何體AB-CDb的體積,

再求得三棱錐尸-。歷E的體積后可得所求比值.

【解析】（1）當(dāng)M是線段AE的中點時，AC〃平面凡

證明如下：連接CE交D尸于點N,連接MN,如圖，由于M、N分別是AE、CE的中點，

所以MN//4C,又在平面MDF內(nèi)，且AC不在平面MDF內(nèi)，所以467/平面MDP.

（2）:四邊形CD￡尸是矩形，???。。_1。區(qū)又。。_14。，且4）cZ）￡=。，

???CDJ_平面ADE.

平面ABC。1平面COE/"平面A8C￡>c平面。￡>律=。0，AZ）u平面A8CO,AD1CD,

所以ADJL平面又OEu平面8￡尸，所以AO_LOE,

將幾何體ADE-4（不補成三棱柱3'C/,

三棱柱尸的體積丫=SmEC￡>=3x2x2x4=8，

則幾何體ADE-8b的體積匕=V-VB.^CF=8-1xf|x2x2Jx（4-2）=y,

又三棱錐產(chǎn)一OEM的體積匕=（x（；x2x2x；［x4=；.

D\乙乙）D

44、1

:.空間幾何體M-DEF與空間幾何體ADM-BCF的體積的比為不［1-§J=［

★高考引領(lǐng)

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷文科第19題

【試題】

小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個

封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示：底面4BCD

是邊長為8（單位：cm）的正方形，AEAB,

△FBC,AGCD,△HOA均為正三角形，且它

們所在的平面都與平面ABCI）垂直.

（1）證明：EF〃平面4BCD；

（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的

厚度）.

【試題分析】

考查目標(biāo)試題的情境源于生活中的求喜糖包裝盒容積的問題，依

據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，將其設(shè)計為求“不規(guī)則”幾何體的體積計算問題.試

題考查棱錐、直四棱柱等空間幾何體的基本概念,考查不規(guī)則幾何體的

割補方法，考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識和基本方法.試題重點考查考生的空間想象能力、邏輯推理

能力和運算求解能力，以及應(yīng)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.

解題思路求解不規(guī)則幾何體的體積時，如果幾何體是組合體，_

股將其分解為若干個“球、柱、錐、臺”的體積的和或差，從而將不規(guī)

則幾何體轉(zhuǎn)化為常見的簡單幾何體的形式，再運用常見幾何體的體積公

式就能求出結(jié)果.

(1)設(shè)48,8C的中點分別為￡，，尸，可得平面48C。，

平面48CD,且￡￡=F尸，從而￡￡'尸產(chǎn)為矩形，所以￡/〃￡，尸，因此

￡F〃平面ABCD.

(2)思路1點E.￡G,，到平面48co的距離都為46，且平面

EFGH〃平面ABCD.故該包裝盒可由底面邊長為8,高為4右的正四棱柱

ABCD-A.B^D,截去四個體積相等的三棱錐B-B、EF,

C-GFC,得到.且￡,F.c.〃分別為正四棱柱上底面各棱的

中點.

思路2設(shè)48,BC,CD,"的中點分別為9，C,點

E,F,C,，到平面4BC。的距離都為4旺，且平面)6〃〃平面48CD.

故該包裝盒可由底面邊長為4&,高為48的正四棱柱，￡/G-/TE'尸G'

和四個體積相等的四棱錐4-HEE夕，B-EFFE,C-FGG下,D-

CHH'C'組合得到.

試題亮點試題落實立德樹人根本任務(wù)，從引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全

面發(fā)展的角度，以勞動實踐中的實際問題出發(fā)，以考生熟悉的正四棱柱

和棱錐的組合體為載體，設(shè)計了空間直線與平面的位置關(guān)系和平面與平

面的位置關(guān)系的證明問題及計算問題.考生對試題中的空間圖形會有似

曾相識的感覺，貼近廣大考生的學(xué)習(xí)實際.試題給出的信息量是多樣的，

給不同基礎(chǔ)的考生提供了想象的空間和多維度的思維平臺，同時為考生

分析問題和解決問題提供了發(fā)揮能力水平的空間.試題在全面考查考生

對立體幾何基礎(chǔ)知識理解與掌握的同時，著重考查了考生的化歸與轉(zhuǎn)化

思想.試題重基礎(chǔ)、重應(yīng)用、重能力，體現(xiàn)出較好的區(qū)分度和選拔功能，

對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有積極的引導(dǎo)作用和很好的指導(dǎo)意義.

【參考答案】

（1）設(shè)A8,8C'的中點分別為F,連結(jié)印,”,由題

設(shè)可知EE'J.平面A8CD,尸尸平面48C0,且￡￡'=尸尸=4吁，故

EE'FF為矩形,所以EF〃E'F',因此"'〃平面48co.

（2）解法1由題設(shè)和（1）可知，點&尸，

G,H到平面4BCD的距離都為4萬，且平面

EFC"〃平面4BCD故該包裝盒可由底面邊長

為8,高為4#的正四棱柱ABCD-4&G，截

去四個體積相等的三棱錐4-4”/,

C-C.FG,0-，GH得到，且E,凡C,H分

別為正四棱柱上底面各樓的中點，如圖所示.

正四校柱的體積Vo=8x8x473=256/3.

三棱錐A-AtEH的體積匕=Jx；x4x4x4G=差3.

因此該包裝盒的容積為匕-4匕二等目（cm、）.

解法2設(shè)4兄BC,C。，%的中點分別

為守，尸,G,F,由題設(shè)和（1）可知，點

E,F,G,，到平面48C。的距離都為46,且

平面EFGH〃平面故該包裝盒可由底

面邊長為4&,高為4邛的正四棱柱H￡FC-

和四個體積相等的四棱錐A-HEEH,

R-EFFE,C-FGG'F'、。一C〃H'C'組合得到.

正四棱柱，EFG-H￡FC的體積%=4&x4含x44=128。.

四棱錐A-〃￡￡'，'的體積匕=：X47JX4〃X2&=￥.

因此該包裝盒的容積為匕+4匕=竺等（cm'）.

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科第18題

【試題】

在四棱錐中底面CD//AB、AD=DC=CB=l

4B=2,DP=73.

（1）證明：BD1PA；

（2）求PD與平面P4B所成的角的正弦值.

【試題分析】

考查目標(biāo)試題以底面為等腰梯形的四棱錐為載體，通過確定兩真

線的位置關(guān)系和計算荏線與平面所成角的正弦值.號行菅生的空間想象

能力、花輯推理能力、運算求解能力，以及綜合應(yīng)用知識分析問題解決

問題的能力,試題第（1）問難度不大,考生具備一定的空間想象能力和

邏輯推理能力即可得證.證明的美健是發(fā)現(xiàn)是在角三角形試題

第（2）向設(shè)計為求宜線與平面所成角的正弦值該問題的求解方法基礎(chǔ)

且多樣，既可以通過向量法求解，也可以通過綜合法求解，為不同思維

水平的考生提供了充分展示的空間?

解題思路（1）根據(jù)已知條件可得80,尸"注意到四邊形48CD是

等腰梯形，容易得到乙。48二60。.利用余弦定理和勾股定理'發(fā)現(xiàn)

△480是直角三角形，從而得到由此可得80,平面P40,于

是BDLPA.

（2）思路］用向量法求解.由題設(shè)及第（1）問得直線08,0P

兩兩垂直，因此自然以。為坐標(biāo)原點，以笳的方向為“軸正方向，建

立空間直角坐標(biāo)系0—qz,于是加=（0,0,73）,運用向量法求與

平面PAB所成角的正弦值，只需要求出平面PAB的一個法向量即可?

思路2用綜合法求解.求P0與平面P4B所成角的正弦值，關(guān)鍵是

求出0到平面PAB的距離.由題設(shè)及第（1）問可得三棱錐P-ABD的體

積為:，利用等體積法，問題轉(zhuǎn)化為求△PHB的面積?

思路3用綜合法求解.求PD與平面以8所成的角的正弦值，只需

找出過。點且與平面山8垂直的直線即可?作。垂足為心連

接PE,作。尸，4E,垂足為F,得到。平面P48,則40P尸即為P。

與平面R4B所成的角.

試題亮點試題以底面為等腰梯形的四棱錐為載體，通過四棱錐的

各頂點設(shè)計空間兩條直線之間位置關(guān)系的證明問題和直線與平面所成角

的計算問題.試題簡潔清晰，解題思路多樣，給不同基礎(chǔ)的考生提供了

廣闊的想象空間和分析問題解決問題的多維度平臺.試題在全面考查立

體幾何基礎(chǔ)知識的同時，著重考查了考生對化歸與轉(zhuǎn)化思想方法的理解

與掌握?試題準(zhǔn)確把握教材要求，將向量運算以及直線與平面所成角的

構(gòu)建等知識進(jìn)行了很好的融合，使考生的空間想象能力、邏輯推理能力

得到了有效考查.試題重基礎(chǔ)、重能力，符合廣大考生的學(xué)習(xí)實際.

【參考答案)

(1)由題設(shè)得4以8=60。.在△.48°中，由余弦定理得8°=丫3，又

因為43=2,31,從而44=4。+3。,故BDL4D.

因為底面48co.所以BD上PD,故BD工

平面PA0.因為P4U平面。肛所以8。1尸4人

(2)解法1由題設(shè)及第(1)問得。I,見DP

兩兩垂宜.以。為坐標(biāo)原點?面的方向為x軸正/;

方向,建立如圖所示的空間宜角坐標(biāo)系。-4產(chǎn).則/：\\

〃(0,0,0),A(1,0,0).B(0,G,0).

P(0,0,&)./M=(1,0,一門),訶=(0.73.-萬)，而=(0.0.

73).

設(shè)平面PAH的法向fit"=(x,y.z),則

tn?"4=0,[x-^3z=Q,

一即可取

In-PB=0.lV3y-y3z=O.

n=(V3.1.1).

因為co?〈/i,而〉="嵋=￡所以

Ini-\DP\5

PD與平面PAB所成角的正弦值為號.

解法2由題設(shè)及第(1)問得三棱錐尸-48。的體積為V=jxyxlx

yjxyj=—.

又48=2,PA=5/D45+DPr=2,PB=jDB、DP^=R,所以

AB2^PA2-PB2

cosZ.PAB-sinLPAB=

2XABXPA4

設(shè)點D到平面PAB的距離為乙則Y=；x；x2x2x孚xd=

,V15.1.7f5

由丁d=7，得m＜/=二--

oZJ

因此PO與平面P.48所成角的正弦值為葛:g.

解法3如圖所示,作D￡_M8,垂足為&連接尸￡因為POJ■底

面48CO,所以POL4B.故.4B_L平面

作DF_LPE.垂足為廣.因為,481.平面尸?！?DFU平面PDE,所以

DF1AB.

因為ABnPE=￡,所以。尸J.平面PA8.因此

乙DPF即為PD與平面PAB所成的角.

因為;x.48xOE=；x〃Ax/)B,所以?！?g.

故PE=JD￡+〃尸=半.

因此P〃與平面加所成角的正弦值為春與

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷文科第12題

【試題】

已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為°，底面的四個頂點均在球。

的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為

【試題分析】

考查目標(biāo)球與四棱錐是學(xué)生比較熟悉的幾何體，試題巧妙地將兩

者結(jié)合在一起，考查球和四棱錐的基本概念、四棱錐體積的計算等基礎(chǔ)

知識.試題的解決,首先要求考生具有較強(qiáng)的空間想象能力，在此基礎(chǔ)

上.將四棱錐的體積表示為高的函數(shù).解題的關(guān)鍵在于，考生能想到四

棱錐的體積最大時的棱錐一定是正四棱錐,這就對考生的化歸與轉(zhuǎn)化、

邏輯推理等方面的能力提出了較高的要求.試題有效地考查考生的理性

思維、數(shù)學(xué)探索等數(shù)學(xué)學(xué)科索養(yǎng)，考查考生的空間想象、運算求解、邏

輯思維等方面的關(guān)鍵能力.考生在得到了正四棱錐體積的表達(dá)式后，可

利用導(dǎo)數(shù)得到結(jié)果.

解題思路

思路1四棱錐底面與球面所截得的小圓的圓心記為其半徑記

為，，球心0到四棱錐底面的距離記為人則

八*=1.

由于四棱錐底面是圓a內(nèi)接四邊形，因此若給定。，的半徑為小則

底面為正方形時其面積最大，最大值為2，，此時四棱錐的體積為

1o

92r2?A=—(1-A2)A.

，3

由于H(6)q(l-3〃)，當(dāng)0"<與時，r(A)>0；鱷“<1時,

r(/?)<o,所以當(dāng)/?=g時,『(/，)取得最大值，故當(dāng)該四棱錐的體積達(dá)

到最大時，其高為亨，即正確選項為c

也可以利用均值不等式得到結(jié)論：

22253

,.,222/1-//+I—/l+2//\/2\

2(1-/T)咪?=(”/)(1-/J)?2〃w(-------------------)=(1),

當(dāng)且僅當(dāng)好=!時，等號成立，故人=,時，了(力)取得最大值?

思路2在給定小留外的半徑「時.當(dāng)四棱錐的底面為正方形時，

其面積達(dá)到最大，最大值為2」.此時四棱錐的體積為

V(h)=y-2r2?h=-r271-r2=y/r4-r6.

令/(「)=/-/,則廣⑺=2r“2-3J),易得「二半時，/")取得最大

值,此時A=故當(dāng)此四棱錐的體積達(dá)到最大時，其高為g.即正確

選項為C.

試題亮點試題考杳的是球和四棱錐方面的基礎(chǔ)知識，題目設(shè)計簡

潔.可以有效考查考生諸多方面的學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，具行定的創(chuàng)

新性.

(1)試題設(shè)計的情境是考生熟悉的，問題設(shè)計自然、合理.是在實

際應(yīng)用中考生常遇到的問題.這一方面體現(xiàn)「數(shù)學(xué)之美,具有較好的美

育價值；另一方面體現(xiàn)r數(shù)學(xué)之用，仃效地號行了多生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

和關(guān)誼能力.試題對高號在:加強(qiáng)教號銜接、體現(xiàn)德狎體美勞全血發(fā)展等

方面進(jìn)行了有益的之試.

(2)試題探究的問題是四棱錐的體枳何時達(dá)到最大.求幾何體的體

積及討論體積的最大值是數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的問題.但試題要求考生先要

將求四棱錐體積的最大值問題轉(zhuǎn)化為求正四棱錐體積的最大值問題，這

就要求考生能分析、提煉及轉(zhuǎn)化問題，并善于尋找合理的解題思路.上

述解題過程對考生的邏輯推理能力提出了較高要求,試題具有一定的創(chuàng)

新性和開放性，達(dá)到了通過增加思維強(qiáng)度來選拔拔尖創(chuàng)新人才的目的?

(3)試題的解決需要用到導(dǎo)數(shù)或不等式等多方面的知識，但問題解

決過程中所用知識和方法又很基礎(chǔ)，充分體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用

性、創(chuàng)新性的考查要求.試題是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，解決方法是靈活的，既體現(xiàn)了

高考的選拔功能,又能夠很好地引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)改革，真正實現(xiàn)了

高考“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能?

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷文科第18題

【試題】如圖，四面體ABCD中，4D1

CD,AD=CD,4ADB=乙BDC、E為4C的

中點.

(1)證明：平面平面4C0；

(2)設(shè)48=80=2,乙ACB=60。，點F在

月。上，當(dāng)△AFC的面積最小時，求三棱錐產(chǎn)-ABC的體積.

【試題分析】

考查目標(biāo)試題以考生熟悉的四面體為載體，考查空間平面與平面

的位置關(guān)系、三棱錐的體積等立體幾何的基本知識和基本思想方法.試

題重點考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力、運算求解能力以及綜

合運用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力.

解題思路(1)證明兩個平面垂直的關(guān)鍵是證明一個平面中的一條

直線垂直于另一個平面.觀察試題所給的圖形發(fā)現(xiàn)，可以嘗試證明心

平面成?；蜃C明平面4CO.由4O=C0和￡為AC的中點可得DE±

AC,從而可以嘗試證明4C_L平面月初Z由此發(fā)現(xiàn)，僅需繼續(xù)證明〃七工

4C,其等價于8c=84此時利用已知條件容易得到結(jié)論

（2）第（2）問的解題難點在于確定動點尸的位置,使得△4FC的面

積最小.在中，只有邊4C是固定的，所以可以考慮AC邊上高的

最小值.由兩個途徑可以得到4。邊上的高為尸及一是由4408=

乙BDC.AD=CD,DF=DF,得AFDA^AFDC,因此樣二尸C.于是尸￡

1AC；二是由（1）知4cl平面班:。.故FE14C.即所為△4FC的高.

當(dāng)￡尸18。時，△MC的面積最小.此時尸的位置確定，接下來只需在

靜態(tài)的圖形中計算AAFC的面積.要求三棱錐尸-A8C的體積,需要找

到一個底面以及相應(yīng)的商，有以下兩種思路.

思路1由（1）知4CJ?平面"￡〃，所以乂EF工BD,故

8DJ.平面4FC,從而打“平面6C.故可以把求三校推F-4BC的體積

轉(zhuǎn)化為求△從尸C的面積和BF.

由題設(shè)及⑴得心BC32,DE=^AC=l,DE'BE'DB'所

UDE1BE,從而可得EF】.又BF=JBE*V，故三棱錐~

ABC的體積

思路2由題設(shè)及（1）得心8c=48=2,DE.AC=1.DE'+BE2=

DB\所以DEd.BE,從而發(fā)現(xiàn)?！阓L平面48c.于是,平面?！?JL平面

ABC.過點尸作8E的垂線，垂足為K,則尸K是三棱錐尸-4雨的布

故可以把求三棱錐產(chǎn)-48C的體積轉(zhuǎn)化為求△48C的面積和高PX.由

EF=y,8尸匚可得內(nèi)二；31/8?！??.故三棱錐?

ABC的體積

試題亮點空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系，直線與平面所成

的角、平面與平面所成的二面角等內(nèi)容是立體兒何的重要內(nèi)容，也是高

中數(shù)學(xué)的必備知識.試題以四面體為載體，利用棱的中點構(gòu)造新的平面，

這些都是考生熟悉的情境，很容易上手，也有利于考生正常發(fā)揮?試題

的第（1）問“平易近人”，沒有設(shè)置過多的思維障礙，基本功較好的考生

都能輕松解答.試題的第（2）問設(shè)計精巧又不落俗套，通過設(shè)置動點匕

讓圖形產(chǎn)生變化.條件“△?1產(chǎn)，的面積最小”設(shè)置新穎，讓考生感覺既

熟悉又陌生，該問和理科卷要求不同，體現(xiàn)了文理科的差異性?解題時

考生可通過建立空間直角坐標(biāo)系，運用空間向量的基本方法求得C尸與

平面48。所成角的正弦值.合理建立空間直角坐標(biāo)系，以及正確運用空

間向量求二面角正弦值的思想方法是對第（2）問考查的基本要求?第（2）

問還給思維能力強(qiáng)的學(xué)生預(yù)留了快捷的解題通道，即完全可以不建立空

間直角坐標(biāo)系,通過直接作垂線輕松解決.試題讓不同水平的考生都能

在學(xué)有所得的同時，通過不同解法對其思維層次進(jìn)行有效的區(qū)分.

試題貼近廣大考生的學(xué)習(xí)實際，給不同基礎(chǔ)的考生提供了想象的空間

和多維度的解題思路，同時考查了考生分析問題和解決問題的能力,試題

在全面考查考生立體幾何基礎(chǔ)知識的同時，著重考查了考生對化歸與轉(zhuǎn)化

思想方法的理解與掌握，考查了思維的創(chuàng)新性.試題準(zhǔn)確把握課程標(biāo)準(zhǔn)，

把直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)較好地融入試題的

第（1）問和第（2）問中?試題具有較好的選拔功能，突出對考生綜合、靈活

運用知識來解決問題的能力的考查，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有積極的引導(dǎo)作用.

【參考答案】

（1）由題設(shè)知，乙ADB=CBDC,AD=CDtBD=BD,故=

△80C,因此R4=8C.于是BELAC.

又由題設(shè)知0￡_L4C,故4C_L平面BE。，所以平面8E0J,平面4co.

（2）解法1由題設(shè)及（1）得4c=8C=4B=

2,DE=y4C=1.DE'BE2=DB2,所以DE

1BE.

連結(jié)￡F.由（1）得4CJ_￡F,故△力/C的

面積為gx4CxE/.當(dāng)△4FC的面積最小時，EF1BD,此時初

由（1）得4CJLS。，所以8夕_1_平面4。尸.又BF=JBE-EP=',故

三棱錐尸-48C的體積

=

匕r-械%,oF"4G=-3X2—x2x—2X2-=—4.

所以當(dāng)AAFC的面積最小時，三棱錐F-ABC的體積匕3.

解法2由題設(shè)及（1）得4c'=8C=A8=2,D￡=j4C=1,DE、BE2;

DB2,所以DE18E.從而OE_L平面48c.于是平面OEB1,平面48c.

過點F作BE的垂線，垂足為&則FK是三棱錐尸-48c的高線.

由EF=g~,BF=JBEJEF2=2,可得FK=：sin乙BDE二義.故三棱

/224

錐尸-48C的體積

1/11-/T36

^-.w=jxjx2xy3x-=y

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科第18題

【試題】

如圖.四面體.48。。中,AD1CD,AD=CD,

乙ADB=乙BDC,￡為4c的中點.

(1)證明：平面8E01平面4C。；

(2)設(shè).43=80=2,乙4C8=60。，點〃在8。/

上.當(dāng)△."C的面積最小時,求C尸與平面48。所成的角的正弦值.

【試題分析】

考查目標(biāo)試題以考生熟悉的四面體為載體，考查與空間直線與平

面、平面與平面的位置關(guān)系有關(guān)的基礎(chǔ)知識和基本方法?試題重點考查

考生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力，以及綜合運用所

學(xué)知識分析問題解決問題的能力?

解題思路

(1)證明兩個平面垂直的關(guān)鍵是證明一個平面中的一條直線垂直于

另一個平面.觀察試題所給圖形發(fā)現(xiàn)，可以嘗試證明4c,平面或

證明8E_L平面4C0.由=和￡為4C的中點，可得?？?C,從而

可以嘗試證明4cl平面BED由此發(fā)現(xiàn)僅需繼續(xù)證明其等價

于BC=BA.此時利用已知條件可以得到結(jié)論.

(2)解答第(2)問的難點在于確定動點/的位置.使得AMFC的面

積最小?中只有邊4c是固定的，所以可以考慮邊4C上高的最小

值?有兩個途徑可以得到邊4C上的高為尸氏一是由乙408=

40=CD.DF=DF、得△FD4二△/、”：，因此￡4=FC.于是有rEJ.4C

二是由(1)知4cl.平面8E0,故尸E14C,即PE為的高，從而當(dāng)

￡/上80時，△4FC的面積最小.此時尸的位置確定，接下來只需在靜

態(tài)的圖形中進(jìn)行計算?要求C尸與平面43。所成的角的正弦值，有以下

兩種思路.

思路1采用建立空間直角坐標(biāo)系的方

法，求向量c戶與平面48。的法向量的夾角.

而建立空間宜角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是找到垂宜關(guān)

系，由(1)知，平面所以可以聯(lián)

想0E和8E是否垂直，利用題設(shè)中給出的條

件，很容易得到于是以E為原點，

成的方向為方軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-%廣，則

A(1,0,0),8(0,",0),C(-1,0,0),。(0,0,1),

《。,》和麗=(仇-、行，1)，加=(1,0,-1),叫1,號,1).

可取"=(3,73,3)為平面48。的一個法向量，從而計算得CF與平面

ABD所成的角的正弦值為竽.

思路2不建立空間直角坐標(biāo)系，找到一個過點C且和平面A8。垂

直的平面，從而過點C作該平面和平面48。交線的垂線，可得CP與平

面ABO所成的角,由(1)知ACJ.平面所以ACJ.8O,又EF工81)

故8O_L平面AFC,從而平面480,平面4FC過點C作/的垂線，垂

足為K,則乙CFK是C尸與平面480所成的角.

在MFC機(jī)時因名心=2,從而很容易計算得“與平面

ABD所成的角的正弦值為亍?

試題亮點直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，直線與平面所成

的角.平面與平面所成的二面角等都是立體幾何的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容?試題

以四面體為載體，利用中點構(gòu)造新的平面，這些都是考生熟悉的情境，

有利于考生發(fā)揮自己的水平?

試期第（1）問沒有設(shè)置過多的思維障礙,基本功較好的考生都能輕

松解答.試題第（2）間的設(shè)計精巧又不落俗套，通過設(shè)置動點,，讓圖形

產(chǎn)生變化.其中，條件“△4FC的面積最小”設(shè)置新穎，讓考生產(chǎn)生既

熟悉又陌生的感覺.該問可通過建立空間直角坐標(biāo)系，運用空間向盤的

方法求得CF與平面ABD所成的角的正弦值?合理建立空間直角坐標(biāo)系，

以及正確運用空間向量求二面角正弦值的思想方法是對第（2）問考查的

基本要求.第（2）問還為思維能力強(qiáng)的考生預(yù)留了快捷的解題通道?考

生完全可以不建立空間直角坐標(biāo)系，直接通過作垂線即可輕松求解?試

題在讓不同水平的考生都能學(xué)有所得的同時，通過建立空間直角坐標(biāo)和

不建立空間直角坐標(biāo)系的解法對考生的思維層次進(jìn)行了有效的區(qū)分?

試題貼近廣大考生的學(xué)習(xí)實際，和中學(xué)教學(xué)有很好的銜接，給不同

基礎(chǔ)的考生提供了想象的空間和多維度的思維平臺.試題在全面考查立

體幾何基礎(chǔ)知識的同時，著重考查了考生對化歸與轉(zhuǎn)化思想的掌握，考

查了考生思維的創(chuàng)新性，以及綜合、靈活運用知識來解決問題能力.試

題具有較好的選拔功能，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有積極的引導(dǎo)作用和很好的指

導(dǎo)意義.

【參考答案】

（1）由題設(shè)知乙480C,AD=CD,BD=BD,故色BDA用

△8DC,因此R4=8C.于是BEUC.

又由題設(shè)知。故AC_L平面BED.所以平面HEO,平面力c〃.

（2）解法1由題設(shè)及（1）得===4c=iDE2+

BE2=DB\所以DE上BE.

以￡為坐標(biāo)原點，￡4的方向為*軸正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系￡-三，貝0,0）,8（0,8,0）,C（-1,00）

。（0.0,1）,而=（o,-yj,1）,加=（］,0,-1）.

連結(jié)EF,由⑴得4人￡￡故△/1尸C的面積為當(dāng)?shù)?/p>

面版4對,EF1BD,則斯喙電,巨,3173）

設(shè)〃二（4,九z）為平面ABD的法向

&.則

n?麗=0,

_>/Jy+z=0,

n?D4=0.x-z=O,

取〃二(3,3、3).

n-CF473

所以cos(n,CF)=

Ini-ICFI

4g

因此CF與平面ABD所成的角的正弦值為、一.

解法2由題設(shè)及（1）得4c=8C=48=2,DE=）

y4C=i,DE\BE'=DB2,mDELBE./'

連結(jié)￡￡由（1）得4CJ_￡尸，故△4FC的面積夕一

為;xACxEF.當(dāng)△?!”的面積最小時，EF1BD,此時窗=當(dāng).

由（1）知4CJ.B。，又EFLBD,故8。上平面AFC,從而平面48。_L

平面4FC過點C作4尸的垂線，垂足為K,則4CFK是C尸與平面48。

所成的角.

在△?!/%：中，F(xiàn)4=FC=y,AC=2t可得sin乙CE4:竽.所以CF

與平面ABD所成的角的正弦值為4）J3一.

【試題出處】2022年高考數(shù)學(xué)全國I卷第8題

【試題】

已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面卜

若該球的體

積為36%且3BW3Q,則該正四梭錐體枳的取值范圍是

A3]B咔4°

[18,27]

【試題分析】

考查目標(biāo)試題以考生熟悉的四棱錐和球為背景，固定球的體積,

讓球的內(nèi)接正四棱錐的側(cè)棱長在一定范圍內(nèi)變動，要求計算該正四棱錐

體積的取值范圍.試題考查四棱錐的基礎(chǔ)知識，考查考生的空間想象、

邏輯推理、運算求解等關(guān)鍵能力，考查考生理性思維、數(shù)學(xué)探索等數(shù)學(xué)

學(xué)科素養(yǎng)，符合基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性的考查要求?

解題思路設(shè)正四棱錐P-48C。的頂點在球。的球面上?由題意

可得球0的半徑為3.頂點尸在底面48co上的投影是該正方形的中心，

設(shè)為E.在P,A,。所在的大圓中，有PA』E-2PO=6PEt故PE=

二從而

O

AE=JPQ-PW="3:二?

因此==處寫二四棱錐夕-48。。的

372

體積

1,“r(36--)

V=—XAB2XPE=~—.

3182

令/(#)=/(36r),xe[9,27],則片華,/'")=3#(24r).

1O

當(dāng)9<x<24時，/(G單調(diào)遞增；當(dāng)24<%<27時.

/(N)單調(diào)遞減.故/(#)3=/(24)=24"12,/(x)^=min|/(9),

/(27)|=/(9)=92X27.于是\二^^二]，匕加=-^~=7?所以

177641

j.jj.故正確選項為C.

試題亮點棱錐和球是中學(xué)課程的必修內(nèi)容?成題的正確運算必須

基于空間想象，同時還必須依靠嚴(yán)密的邏輯推理，才能發(fā)現(xiàn)空間幾何體

中相關(guān)量之間的關(guān)系，進(jìn)而完成對問題的求解,試題在考杳立體幾何基

礎(chǔ)知識、基本方法的同時，側(cè)重考查考生的構(gòu)圖能力、空間想象能力、

邏輯推理能力和運算求解能力.考生必須通過觀察、分析、想象、判斷、

計算等思維過程才能求解,這充分體現(xiàn)了考生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).試題設(shè)

計面向全體考生，突出對考生綜合、靈活運用知識來解決問題能力的考

查，具有較好的選拔功能,實現(xiàn)了“服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”這一高考核

心功能.

本題題源是教材習(xí)題，改編自2016年江蘇高考第17題c

教材習(xí)題求函數(shù)y=sin?6cos?的最大值。

試題修改對教材習(xí)題進(jìn)行處理:，將符號語言轉(zhuǎn)換成圖像語言?？梢杂袃煞N處理

方向：①處理成側(cè)棱長為1,高線長未知的正四棱錐的體積；②處理成母線長為

1,高線長未知的圓錐的體積。為使得處理的情況具有一般性，將“側(cè)棱長為1”、

“母線長為1”均改為“長為

(1)按處理方向①處理，形成1稿.

1稿已知一正四棱錐P—AgCQ的高為PO1,側(cè)棱長為a(a>0),記

幺股=6(0<。<,，求其體積V的最大值及此時股的長。

32

提示：V=—asin^cos^,P0x=acos0

2稿現(xiàn)要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分形狀為正四棱錐

P-AB￡DI，其側(cè)棱長為a(a>0),其底面正方形的中心為01,下部分形狀為正四

棱柱A8CO-A8cA，其底面正方形的中心為0,要求正四棱柱的高00是正四棱

錐的高POi的女(女>0)倍，求倉庫容積丫最大時尸01的長.

2稿分析：記幺股則椅=1+22)八萬26cos6;注意到

4/)?2/)1?，C?，八一2八/1/sin2夕+sin26+2cos,。-4

(sin夕cos夕)=sin^cos6=—sin-^sin~^-2cos-<—(---------------------)=—

22V3727

,當(dāng)且僅當(dāng)s/euZcOS2。，即cos。=立時，等號成立；

3

..V4桂彳+2幻/=等.（|+2幻/,pO|=acos6=ga.2016年江蘇高考第17

題為2稿的特例（高考題為〃=6次=4的情況，=2石,V4416后）

（2）按處理方向②處理，形成問題變式.

變式現(xiàn)要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分形狀是頂點為P,底面圓

圓心為Oi的圓錐，其母線長為。（a>0）,下部分形狀是底面圓面積與上部分圓錐

的底面圓面積相等的圓柱，其下底面圓圓心為O,要求圓柱的高OQ是圓錐的高

P。］的％（A>0）倍，求倉庫容積V最大時尸。1的長.

注：該例為筆者文章“［2］例談高中數(shù)學(xué)教材試題的衍生——以江蘇高考