【2021屆備考】2020全國名校數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(12月第一期)：G11空間角與距離的求法

G11空間角與距離的求法【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】18、（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，底面為菱形，是的中點（1）若，求證：平面平面；（2）若平面平面，且，在線段上是否存在點，使二面角的大小為，若存在，試確定點M的位置，若不存在，請說明理由?！緦W(xué)問點】空間角與空間中的位置關(guān)系.G4,G5,G11【答案】【解析】(1)略(2)略解析：（1）證明：∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD，

又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，

又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，

又∵AD?平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，

∴PQ⊥平面ABCD，

以Q為坐標(biāo)原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

則Q（0，0，0），），B（0，設(shè)0＜λ＜1，則平面CBQ的一個法向量=（0，0，1），設(shè)平面MBQ的法向量為=（x，y，z），

由，∵二面角M-BQ-C的大小為60°，

解得λ=，

∴存在點M為線段PC靠近P的三等分點滿足題意【思路點撥】1）由已知得PQ⊥AD，BQ⊥AD，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．

（2）以Q為坐標(biāo)原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出存在點M為線段PC靠近P的三等分點滿足題意．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】19．（本小題滿分12分）如圖,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直線上．（1）求證：⊥（2）若，，為的中點，求二面角的余弦值.【學(xué)問點】用空間向量求平面間的夾角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．G4G5G【答案】【解析】(1)見解析；(2)解析：(1)證明：三棱柱為直三棱柱，平面，又平面，-平面，且平面，.又平面,平面,，平面，又平面，⊥…………5分(2)由（1）知,如圖,以B為原點建立空間直角坐標(biāo)系平面，其垂足落在直線上,. 在中，，AB=2，,在直三棱柱中，.在中，,則(0,0,0),,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,（0，2，2）設(shè)平面的一個法向量則即可得設(shè)平面的一個法向量則即可得平面與平面的夾角的余弦值是………12分（或在中，，AB=2,則BD=1可得D(平面與平面的夾角的余弦值是………12分）【思路點撥】(1)由已知得平面，，．由此能證明．(2)由（1）知,如圖,以B為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】19.（本小題12分）如圖1，在直角梯形中，，，且．現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點，如圖2．（1）求證：∥平面;（2）求證：;（3）求點到平面的距離.【學(xué)問點】線面平行線面垂直點到平面的距離G4G5G【答案】【解析】（1）略；（2）略；（3）解析：（1）證明：取中點，連結(jié)．在△中，分別為的中點，所以∥，且．由已知∥，，所以∥，且．所以四邊形為平行四邊形．所以∥．又由于平面，且平面，所以∥平面．（2）在正方形中，．又由于平面平面，且平面平面，所以平面．所以．在直角梯形中，，，可得．在△中，，所以．所以．所以平面．（3）：平面,所以，所以又，設(shè)點到平面的距離為則，所以，所以點到平面的距離等于.【思路點撥】證明線面平行及線面垂直主要利用其判定定理進(jìn)行證明，求點到平面的距離，若直接求距離不便利時，可利用三棱錐的等體積法求距離.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆四川省成都外國語學(xué)校高三11月月考（202211）】18．（12分）在四棱錐中，，，點是線段上的一點，且，．（1）證明：面面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【學(xué)問點】面面垂直的判定；線面角的求法.G5G11【答案】【解析】（1）證明：見解析；（2）.解析：解：（1）由，得，又由于，且，所以面，…4分且面．所以，面面.……6分（2）過點作，連結(jié)，由于，且，所以平面，又由平面，所以平面平面，平面平面，過點作，即有平面，所以為直線與平面所成角．……9分在四棱錐中，設(shè)，則，，，∴，，從而，即直線與平面所成角的正弦值為．…12分【思路點撥】（1）要證面面垂直，