2025年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假?gòu)?fù)習(xí) 專題05 分式（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)回顧+6大題型歸納+過(guò)關(guān)檢測(cè)）

專題05分式題型聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破【題型1分式有意義的條件】【題型2分式的基本性質(zhì)】【題型3分式化簡(jiǎn)求值】【題型4解分式方程】【題型5分式方程的解及增根問(wèn)題】【題型6分式方程的實(shí)際應(yīng)用】知識(shí)點(diǎn)1：分式相關(guān)概念1.定義：一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.最簡(jiǎn)分式：分子與分母沒(méi)有公因式的分式；分式有意義的條件：B≠0；分式值為0的條件：分子=0且分母≠0知識(shí)點(diǎn)2：分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變，這個(gè)性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.知識(shí)點(diǎn)3：分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算（1）同分母分式的加減同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；上述法則可用式子表為：.（2）異分母分式的加減異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p.上述法則可用式子表為：.（3）分式的乘除法運(yùn)算乘法分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，即除法分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即知識(shí)點(diǎn)4：分式方程的解法解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解.題型歸納【題型1分式有意義的條件】1．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）要使得分式x?1|x|?1有意義，則xA．x≠?1 B．x≠±1 C．x≠0 D．x≠1x≠12．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）分式x2?4x+2的值為0，則x=A．±4 B．4 C．±2 D．23．（24-25八年級(jí)上·北京通州·期中）若分式6x?2有意義，則x的取值范圍是【題型2分式的基本性質(zhì)】4．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）下列式子從左到右，變形正確的是（）A．a(chǎn)b=ambm B．a(chǎn)2ab5．（24-25八年級(jí)上·山東威?！て谥校┤绻逊质剑簒+y2xy中的x、y都擴(kuò)大10倍，那么分式的值是（

A．?dāng)U大10倍 B．縮小為原來(lái)的110 C．不變 D．縮小為原來(lái)的6．（24-25八年級(jí)上·湖南婁底·期中）下列分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（

）A．xy2x2 B．x?1x2?17．（24-25八年級(jí)上·湖南邵陽(yáng)·期中）計(jì)算：a2?b【題型3分式化簡(jiǎn)求值】8．（24-25九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：aa?b·19．（24-25八年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：x?3x2?110．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：1+a?6a+2÷11．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）先將分式化簡(jiǎn)：2?xx?1÷x+1?3x?1，然后再?gòu)?12．（24-25九年級(jí)上·甘肅白銀·期中）先化簡(jiǎn)，再求值：(x2x+2【題型4解分式方程】13．（24-25八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）解分式方程：(1)3x?1?214．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）解方程：(1)5x?2+1=x?1【題型5分式方程的解及增根問(wèn)題】15．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）若關(guān)于x的方程a?xx?3+3=83?x有正整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組2(x+2)≤9+3x8x+17<aA．?4 B．?9 C．?16 D．?2116．（24-25八年級(jí)上·山東東營(yíng)·期中）關(guān)于x的方程2x?1+5?a1?x=?217．（24-25八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程x+1x?1+2=ax?1無(wú)解，則18．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）分式方程2xx?1?2=mx?1x+219．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）已知關(guān)于x的方程xx?3?2=m3?x的解是非負(fù)數(shù)，那么【題型6分式方程的實(shí)際應(yīng)用】20．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）某校因物理實(shí)驗(yàn)室需更新升級(jí)，現(xiàn)決定購(gòu)買甲、乙兩種型號(hào)的滑動(dòng)變阻器．若購(gòu)買甲種滑動(dòng)變阻器用了1440元，購(gòu)買乙種用了2430元，購(gòu)買的乙種滑動(dòng)變阻器的數(shù)量是甲種的1.5倍，乙種滑動(dòng)變阻器單價(jià)比甲種單價(jià)貴6元．(1)求甲、乙兩種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)分別為多少元；(2)該校擬計(jì)劃再訂購(gòu)這兩種滑動(dòng)變阻器共100個(gè)，總費(fèi)用不超過(guò)5000元，那么該校最少購(gòu)買多少個(gè)甲種滑動(dòng)變阻器？21．（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·期末）2020年12月28日，習(xí)近平總書記在主持召開(kāi)中央農(nóng)村工作會(huì)議中指出：“堅(jiān)持中國(guó)人的飯碗任何時(shí)候都要牢牢端在自己手中，飯碗主要裝中國(guó)糧．”某糧食生產(chǎn)基地為了落實(shí)總書記的重要講話精神，積極擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，計(jì)劃投入一筆資金購(gòu)買A型和B型兩種農(nóng)機(jī)具，已知1件A型農(nóng)機(jī)具比1件B型農(nóng)機(jī)具多0.5萬(wàn)元，用18萬(wàn)元購(gòu)買A型農(nóng)機(jī)具和15萬(wàn)元購(gòu)買B型農(nóng)機(jī)具的數(shù)量相同．(1)求購(gòu)買1件A型農(nóng)機(jī)具和1件B型農(nóng)機(jī)具各需多少錢？(2)若該糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃購(gòu)買A型和B型兩種農(nóng)機(jī)具共24件，且購(gòu)買的總費(fèi)用不超過(guò)66萬(wàn)元，購(gòu)買A型農(nóng)機(jī)具最多能購(gòu)買多少件？22．（23-24八年級(jí)下·重慶渝北·期末）隨著科學(xué)技術(shù)發(fā)展，人工智能在各行各業(yè)得到廣泛運(yùn)用．某零件生產(chǎn)企業(yè)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩類智能機(jī)器共30臺(tái)，其中甲類智能機(jī)器8萬(wàn)元/臺(tái)，乙類智能機(jī)器5萬(wàn)元/臺(tái)，共花費(fèi)180萬(wàn)元．(1)購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩類智能機(jī)器分別是多少臺(tái)？(2)在運(yùn)用這兩類智能機(jī)器中，每臺(tái)智能機(jī)器每小時(shí)完成的零件數(shù)量，甲類比乙類多20個(gè)，1臺(tái)甲類智能機(jī)器完成200個(gè)零件與1臺(tái)乙類智能機(jī)器完成120個(gè)零件的時(shí)間相等．甲類智能機(jī)器每天能工作16小時(shí)，乙類智能機(jī)器每天能工作12小時(shí)．該企業(yè)購(gòu)進(jìn)的這30臺(tái)智能機(jī)器，每天能完成的零件總量是多少?23．（23-24八年級(jí)上·寧夏固原·期末）依據(jù)最新出臺(tái)的寧夏初中體育與健康學(xué)業(yè)水平考試方案，自2024年起，寧夏中考體育成績(jī)將以70分計(jì)入總成績(jī)中．必考項(xiàng)目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、1分鐘跳繩，每項(xiàng)滿分15分．男生選考項(xiàng)目包括立定跳遠(yuǎn)、50米跑、單杠引體向上、前擲實(shí)心球，女生選考項(xiàng)目包括立定跳遠(yuǎn)、50米跑、1分鐘仰臥起坐、前擲實(shí)心球．為適應(yīng)學(xué)生體育課學(xué)習(xí)（課時(shí)數(shù)、考勤等）、日常參與體育鍛煉．我校用3000元購(gòu)買大、小跳繩共110根，且購(gòu)買大跳繩與小跳繩的費(fèi)用相同，大跳繩的單價(jià)是小跳繩單價(jià)的1.2倍．(1)求大、小兩種跳繩的單價(jià)各是多少？(2)若學(xué)校計(jì)劃用不超過(guò)7000元的資金再次購(gòu)買這兩種跳繩共260根，已知兩種跳繩的價(jià)格不變，求大跳繩最多可購(gòu)買多少根？過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（24-25八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）下列各式與aa?b相等的是（

A．a(chǎn)2(a?b)2 B．a(chǎn)2?ab(a?b)2．（24-25八年級(jí)上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）下列分式是最簡(jiǎn)分式的是（

）A．15y5x B．x2?1x+1 C．3．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）分式22x?4A．2x B．2x2x?4 C．2x?4 D．4．（24-25八年級(jí)上·山東濰坊·期中）若xy=34y≠?4A．x+yy=74 B．x+3y+4=5．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）已知a+b=3，ab=2，則A．32 B．?32 C．26．（24-25八年級(jí)上·貴州銅仁·期中）某中學(xué)開(kāi)展“徒步研學(xué)”活動(dòng)，小新和王老師同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到離學(xué)校9千米的公園開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，他們的路線一致，小新隨班步行，王老師由于要帶班級(jí)飲用水需乘車，已知車的速度是步行速度的7.5倍．王老師比小新早80分鐘到達(dá)目的地，設(shè)小新步行速度為x米/分鐘，則依題意可列出方程為（

）A．9x?97.5x=80 B．97.5x二、填空題7．（24-25八年級(jí)上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）若分式1x?3有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是8．（24-25八年級(jí)上·山東菏澤·期中）計(jì)算x2x?1+9．（24-25八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中）若關(guān)于x的方程ax?1?2x?1=110．（24-25八年級(jí)上·山東淄博·期中）若1x+3y=2三、解答題11．（24-25八年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）計(jì)算：?12．（24-25八年級(jí)上·重慶·期中）先化簡(jiǎn)，再求值：?6xx?3?x+3÷x2+9x13．（24-25八年級(jí)上·山東東營(yíng)·期中）解方程：(1)2x+2=14．（24-25八年級(jí)上·重慶·期中）秋風(fēng)送爽，蟹香四溢，又到了吃大閘蟹的黃金季節(jié)．陽(yáng)澄湖大閘蟹大量上市，一只母蟹比一只公蟹的售價(jià)貴12元．若顧客用2400元分別購(gòu)買兩種大閘蟹，則公蟹的數(shù)量是母蟹數(shù)量的1.25倍．(1)求公蟹、母蟹的售價(jià)；(2)趕上“雙十一”大促，公蟹和母蟹都進(jìn)行了降價(jià)促銷活動(dòng)，母蟹按原價(jià)的九折出售，公蟹每只降價(jià)6元．某公司計(jì)劃購(gòu)買100只大閘蟹獎(jiǎng)勵(lì)員工，其中母蟹數(shù)量比公蟹數(shù)量的137

專題05分式題型聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破【題型1分式有意義的條件】【題型2分式的基本性質(zhì)】【題型3分式化簡(jiǎn)求值】【題型4解分式方程】【題型5分式方程的解及增根問(wèn)題】【題型6分式方程的實(shí)際應(yīng)用】知識(shí)點(diǎn)1：分式相關(guān)概念1.定義：一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.最簡(jiǎn)分式：分子與分母沒(méi)有公因式的分式；分式有意義的條件：B≠0；分式值為0的條件：分子=0且分母≠0知識(shí)點(diǎn)2：分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變，這個(gè)性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.知識(shí)點(diǎn)3：分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算（1）同分母分式的加減同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；上述法則可用式子表為：.（2）異分母分式的加減異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.上述法則可用式子表為：.（3）分式的乘除法運(yùn)算乘法分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，即除法分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即知識(shí)點(diǎn)4：分式方程的解法解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解.題型歸納【題型1分式有意義的條件】1．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）要使得分式x?1|x|?1有意義，則xA．x≠?1 B．x≠±1 C．x≠0 D．x≠1x≠1【答案】B【分析】本題主要考查分式有意義的條件，掌握分母不為零的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分母不為零的條件進(jìn)行解題即可．【詳解】解：由題可知，x?1≠0即x≠±1．故選：B．2．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）分式x2?4x+2的值為0，則x=A．±4 B．4 C．±2 D．2【答案】D【分析】本題考查了分式的值為0的條件，要注意分母的值一定不能為0，分母的值是0時(shí)分式?jīng)]有意義．要使分式的值為0，必須分式分子的值為0并且分母的值不為0．【詳解】解∶要使分式由分子x2?4=0，解得∶而x=2時(shí)，分母x+2=2+2=4≠0；x=?2時(shí)分母x+2=0，分式?jīng)]有意義．所以x=2．故選∶D．3．（24-25八年級(jí)上·北京通州·期中）若分式6x?2有意義，則x的取值范圍是【答案】x≠2【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，根據(jù)分式有意義可知x?2≠0，即可得出答案．【詳解】因?yàn)榉质?x?2所以x?2≠0，可得x≠2．故答案為：x≠2．【題型2分式的基本性質(zhì)】4．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）下列式子從左到右，變形正確的是（）A．a(chǎn)b=ambm B．a(chǎn)2ab【答案】B【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答，分式的分子和分母同乘以（或除以）一個(gè)不為0的數(shù)，分式的值不變．【詳解】解：A、當(dāng)m≠0時(shí)，ab=amB、a2ab=C、ab≠aD、ab≠a+1故選：B．5．（24-25八年級(jí)上·山東威?！て谥校┤绻逊质剑簒+y2xy中的x、y都擴(kuò)大10倍，那么分式的值是（

A．?dāng)U大10倍 B．縮小為原來(lái)的110 C．不變 D．縮小為原來(lái)的【答案】B【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)．根據(jù)分式的基本性質(zhì)解答即可．【詳解】解：把分式x+y2xy中的x和y都擴(kuò)大10倍后可得：10x+10y100×2xy=故選：B．6．（24-25八年級(jí)上·湖南婁底·期中）下列分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（

）A．xy2x2 B．x?1x2?1【答案】C【分析】本題考查的是最簡(jiǎn)分式的定義，一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分式．根據(jù)最簡(jiǎn)分式的概念逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】．解：A、xy2B、x?1xC、x+yxD、x?yy?x故選：C．7．（24-25八年級(jí)上·湖南邵陽(yáng)·期中）計(jì)算：a2?b【答案】a+b【分析】本題考查分式的基本性質(zhì)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，結(jié)合平方差公式求解即可．【詳解】解：a==a+b故答案為：a+b2【題型3分式化簡(jiǎn)求值】8．（24-25九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：aa?b·1【答案】ab【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值．先對(duì)所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)a=2，b=1【詳解】解：a===a當(dāng)a=2，b=1原式=29．（24-25八年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：x?3x2?1【答案】xx?1，【分析】先對(duì)分式通分、因式分解、約分等化簡(jiǎn)，化成最簡(jiǎn)分式，后代入求值．本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，求代數(shù)式的值，運(yùn)用因式分解，通分，約分等技巧化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：x?3===x當(dāng)x=4時(shí)，原式=410．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：1+a?6a+2÷【答案】2a，1【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．先用分式的加減法的法則計(jì)算括號(hào)里面的，再利用分式乘除法的法則計(jì)算括號(hào)外面的，最后把a(bǔ)=1【詳解】解：1+===2a；當(dāng)a=12時(shí)，原式11．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）先將分式化簡(jiǎn)：2?xx?1÷x+1?3x?1，然后再?gòu)?【答案】?1x+2【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的除法法則、加減法法則把原式化簡(jiǎn)，根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式=2?x=2?x=2?x=?1由題意得：x≠1和±2，當(dāng)x=0時(shí)，原式=?112．（24-25九年級(jí)上·甘肅白銀·期中）先化簡(jiǎn)，再求值：(x2x+2【答案】x2+x+6，【分析】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值．把括號(hào)內(nèi)的部分變形，把除法變?yōu)槌朔ú⒁蚴椒纸猓倮贸朔ǚ峙渎蛇M(jìn)行展開(kāi)計(jì)算即可得到化簡(jiǎn)結(jié)果，再把已知條件整體代入計(jì)算即可．【詳解】解：(=(==x==∵x2∴原式=【題型4解分式方程】13．（24-25八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）解分式方程：(1)3x?1(2)x?4x?3【答案】(1)x=?2(2)分式方程無(wú)解【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握分式方程的解法步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)及系數(shù)化為1求解后，驗(yàn)根即可得到答案．（1）先去分母，再去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，移項(xiàng)即可得到答案，注意分式方程需要驗(yàn)根；（2）按照去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)及系數(shù)化為1即可得到答案，注意分式方程需要驗(yàn)根．【詳解】（1）解：3x?1方程兩邊同時(shí)乘以xx?1得3x?2去括號(hào)得3x?2x+2=0，合并同類項(xiàng)得x+2=0，∴x=?2，檢驗(yàn)：當(dāng)x=?2時(shí)，xx?1∴原分式方程的解為x=?2；（2）解：x?4x?3方程兩邊同時(shí)乘以x?3得x?4+2x?3去括號(hào)得x?4+2x?6=?1，移項(xiàng)得x+2x=4+6?1，合并同類項(xiàng)得3x=9，系數(shù)化為1得x=3，檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，x?3=3?3≠0，即x=3是原分式方程的增根，∴原分式方程無(wú)解．14．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）解方程：(1)5x?2(2)3x?3【答案】(1)x=?1；(2)x=?5【分析】本題考查了分式方程的解法，熟悉解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵．（1）先把分式方程兩邊同乘x?2化為整式方程求解，然后檢驗(yàn)即可；（2）先把分式方程兩邊同乘x+3x?3【詳解】（1）解：5方程兩邊同乘x?2得：5+x?2解得x=?1，檢驗(yàn)：當(dāng)x=?1時(shí)，x?2≠0所以原分式方程的解為x=?1；（2）解：3方程兩邊同乘x+3x?33x+3解得x=?5經(jīng)檢驗(yàn)，x=?5所以原分式方程的解是x=?5【題型5分式方程的解及增根問(wèn)題】15．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）若關(guān)于x的方程a?xx?3+3=83?x有正整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組2(x+2)≤9+3x8x+17<aA．?4 B．?9 C．?16 D．?21【答案】A【分析】本題考查的是解分式方程，解一元一次不等式組，掌握相關(guān)解法是解題關(guān)鍵．先按照解分式方程的一般步驟解方程，求出x=1?a2，根據(jù)分式方程有正整數(shù)解，得到a<1，且為奇數(shù)，a≠?5，然后解一元一次不等式組，再根據(jù)不等式組有且只有3個(gè)整數(shù)解，列出關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍，最后再求出符合條件的所有整數(shù)【詳解】解：a?xx?3去分母得：a?x+3x?3去括號(hào)得：a?x+3x?9=?8，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：2x=1?a，解得：x=1?a∵關(guān)于x的方程a?xx?3∴x>0，且為整數(shù)，x?3≠0，∴1?a2>0，1?a為2的整數(shù)倍，∴a<1，且為奇數(shù)，a≠?5，2(x+2)≤9+3x①解不等式①得：x≥?5，解不等式②得：x<a?17∴不等式組的解集為：?5≤x<a?17∵關(guān)于x的不等式組2(x+2)≤9+3x8x+17<a∴?3<a?17∴?7<a≤1，∴符合條件的所有整數(shù)a為?1或?3，∴符合條件的所有整數(shù)a的和為：?1+故選：A．16．（24-25八年級(jí)上·山東東營(yíng)·期中）關(guān)于x的方程2x?1+5?a1?x=?2【答案】a≤5且a≠3【分析】本題考查根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)．先將分式方程化為整式方程，用含a的式子表示出x，根據(jù)解為非負(fù)數(shù)，分式的分母不能為0，列不等式，解不等式即可．【詳解】解：2x?1去分母，得2?5?a解得x=5?a∵關(guān)于x的方程2x?1∴x=5?a解得a≤5；∵x?1≠0，∴5?a2解得a≠3，∴a的取值范圍為a≤5且a≠3．故答案為：a≤5且a≠3．17．（24-25八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程x+1x?1+2=ax?1無(wú)解，則【答案】2【分析】本題考查由分式方程無(wú)解求參數(shù)，涉及解分式方程，根據(jù)題意，先由去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)及系數(shù)化為1得到x=a+13，再由分式方程無(wú)解得到x=1，確定關(guān)于【詳解】解：x+1x?1去分母得x+1+2x?1去括號(hào)得x+1+2x?2=a，移項(xiàng)得x+2x=a+2?1，合并同類項(xiàng)得3x=a+1，系數(shù)化為1得x=a+1∵關(guān)于x的方程x+1x?1∴x?1=0，即x=1，則a+13解得a=2，故答案為：2．18．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）分式方程2xx?1?2=mx?1x+2【答案】6【分析】本題考查了解分式方程，理解分式方程的增根是解題的關(guān)鍵，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母(x?1)(x+2)把分式方程化為整式方程，再根據(jù)分式方程的增根是使最簡(jiǎn)公分母等于0的未知數(shù)的值，求出增根，然后代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：2x方程兩邊都乘以(x?1)(x+2)得，2x(x+2)?2(x?1)(x+2)=m，2xm=2x+4，∵分式方程有增根，∴(x?1)(x+2)=0，∴x?1=0或x+2=0，解得x=1或x=?2，當(dāng)x=1時(shí)，m=2x+4=2+4=6，當(dāng)x=?2時(shí)，m=2x+4=?4+4=0，此時(shí)原分式方程無(wú)解，不符合題意．所以m的值為6，故答案為：6．19．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）已知關(guān)于x的方程xx?3?2=m3?x的解是非負(fù)數(shù)，那么【答案】m≥?6且m≠?3【分析】本題主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知識(shí)，能根據(jù)已知和方程的解得出m的范圍是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)解分式方程的步驟，可得分式方程的解，再根據(jù)分式方程的解是非負(fù)數(shù)，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不為零．【詳解】解：由原方程去分母，得x?2x?3去括號(hào)，得x?2x+6=?m，解得x=6+m，∵關(guān)于x的方程xx?3∴6+m≥0，解得m≥?6，又∵x?3≠0，∴x≠3，∴6+m≠3，m≠?3，故m的取值范圍為m>?6且m≠?3，故答案為：m≥?6且m≠?3．【題型6分式方程的實(shí)際應(yīng)用】20．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）某校因物理實(shí)驗(yàn)室需更新升級(jí)，現(xiàn)決定購(gòu)買甲、乙兩種型號(hào)的滑動(dòng)變阻器．若購(gòu)買甲種滑動(dòng)變阻器用了1440元，購(gòu)買乙種用了2430元，購(gòu)買的乙種滑動(dòng)變阻器的數(shù)量是甲種的1.5倍，乙種滑動(dòng)變阻器單價(jià)比甲種單價(jià)貴6元．(1)求甲、乙兩種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)分別為多少元；(2)該校擬計(jì)劃再訂購(gòu)這兩種滑動(dòng)變阻器共100個(gè)，總費(fèi)用不超過(guò)5000元，那么該校最少購(gòu)買多少個(gè)甲種滑動(dòng)變阻器？【答案】(1)甲種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是48元，乙種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是54元(2)該校最少可以購(gòu)買67個(gè)甲種滑動(dòng)變阻器【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用；（1）設(shè)甲種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)為x元，則乙種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)為x+6元，根據(jù)題意可得出關(guān)于x的分式方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該校購(gòu)買甲種滑動(dòng)變阻器m個(gè)，則購(gòu)買乙種滑動(dòng)變阻器100?m個(gè)，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總費(fèi)用不超過(guò)5000元，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整數(shù)值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)甲種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)為x元，則乙種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)為x+6元，根據(jù)題意得：2430解得：x=48，經(jīng)檢驗(yàn)，x=48是所列方程的根，且符合題意．∴x+6=54，答：甲種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是48元，乙種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是54元；（2）設(shè)該校購(gòu)買甲種滑動(dòng)變阻器m個(gè)，則購(gòu)買乙種滑動(dòng)變阻器100?m個(gè)，根據(jù)題意得：48m+54100?m解得：m≥662∴整數(shù)m的最小值為67，答：該校最少可以購(gòu)買67個(gè)甲種滑動(dòng)變阻器．21．（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·期末）2020年12月28日，習(xí)近平總書記在主持召開(kāi)中央農(nóng)村工作會(huì)議中指出：“堅(jiān)持中國(guó)人的飯碗任何時(shí)候都要牢牢端在自己手中，飯碗主要裝中國(guó)糧．”某糧食生產(chǎn)基地為了落實(shí)總書記的重要講話精神，積極擴(kuò)大糧食生產(chǎn)規(guī)模，計(jì)劃投入一筆資金購(gòu)買A型和B型兩種農(nóng)機(jī)具，已知1件A型農(nóng)機(jī)具比1件B型農(nóng)機(jī)具多0.5萬(wàn)元，用18萬(wàn)元購(gòu)買A型農(nóng)機(jī)具和15萬(wàn)元購(gòu)買B型農(nóng)機(jī)具的數(shù)量相同．(1)求購(gòu)買1件A型農(nóng)機(jī)具和1件B型農(nóng)機(jī)具各需多少錢？(2)若該糧食生產(chǎn)基地計(jì)劃購(gòu)買A型和B型兩種農(nóng)機(jī)具共24件，且購(gòu)買的總費(fèi)用不超過(guò)66萬(wàn)元，購(gòu)買A型農(nóng)機(jī)具最多能購(gòu)買多少件？【答案】(1)購(gòu)買一件A型農(nóng)機(jī)具需要3萬(wàn)元，購(gòu)買一件B型農(nóng)機(jī)具需要2.5萬(wàn)元(2)最多可以購(gòu)買12件A型農(nóng)機(jī)具【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．（1）設(shè)購(gòu)買一件A型農(nóng)機(jī)具需要x萬(wàn)元，購(gòu)買一件B型農(nóng)機(jī)具需要x?0.5萬(wàn)元，根據(jù)用18萬(wàn)元購(gòu)買A型農(nóng)機(jī)具和15萬(wàn)元購(gòu)買B型農(nóng)機(jī)具的數(shù)量相同．列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)購(gòu)買A型農(nóng)機(jī)具m件，則乙種農(nóng)機(jī)具能購(gòu)買(24?a)件，根據(jù)購(gòu)買的總費(fèi)用不超過(guò)66萬(wàn)元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【詳解】（1）設(shè)購(gòu)買一件A型農(nóng)機(jī)具需要x萬(wàn)元，購(gòu)買一件B型農(nóng)機(jī)具需要x?0.5萬(wàn)元，根據(jù)題意，得18解這個(gè)方程，得x=3，經(jīng)檢驗(yàn)，x=3是原方程的解，x?0.5=2.5（萬(wàn)元），所以，購(gòu)買一件A型農(nóng)機(jī)具需要3萬(wàn)元，購(gòu)買一件B型農(nóng)機(jī)具需要2.5萬(wàn)元；（2）設(shè)購(gòu)買A型農(nóng)機(jī)具m件，根據(jù)題意，得3m+2.5解這個(gè)不等式，得m≤12.所以，最多可以購(gòu)買12件A型農(nóng)機(jī)具．22．（23-24八年級(jí)下·重慶渝北·期末）隨著科學(xué)技術(shù)發(fā)展，人工智能在各行各業(yè)得到廣泛運(yùn)用．某零件生產(chǎn)企業(yè)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩類智能機(jī)器共30臺(tái)，其中甲類智能機(jī)器8萬(wàn)元/臺(tái)，乙類智能機(jī)器5萬(wàn)元/臺(tái)，共花費(fèi)180萬(wàn)元．(1)購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩類智能機(jī)器分別是多少臺(tái)？(2)在運(yùn)用這兩類智能機(jī)器中，每臺(tái)智能機(jī)器每小時(shí)完成的零件數(shù)量，甲類比乙類多20個(gè)，1臺(tái)甲類智能機(jī)器完成200個(gè)零件與1臺(tái)乙類智能機(jī)器完成120個(gè)零件的時(shí)間相等．甲類智能機(jī)器每天能工作16小時(shí)，乙類智能機(jī)器每天能工作12小時(shí)．該企業(yè)購(gòu)進(jìn)的這30臺(tái)智能機(jī)器，每天能完成的零件總量是多少?【答案】(1)購(gòu)進(jìn)的甲類智能機(jī)器是10臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)的乙類智能機(jī)器是20臺(tái)；(2)該企業(yè)購(gòu)進(jìn)的這30臺(tái)智能機(jī)器，每天能完成的零件總量是15200件．【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，正確理解題意，準(zhǔn)確找出數(shù)量關(guān)系列方程是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)的甲類智能機(jī)器是x臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)的乙類智能機(jī)器是30?x臺(tái)，根據(jù)“甲類智能機(jī)器8萬(wàn)元/臺(tái)，乙類智能機(jī)器5萬(wàn)元/臺(tái)，共花費(fèi)180萬(wàn)元”列方程求解即可；（2）設(shè)甲類智能機(jī)器每小時(shí)完成的零件數(shù)量為a件，則乙類智能機(jī)器每小時(shí)完成的零件數(shù)量為a?20件，根據(jù)“1臺(tái)甲類智能機(jī)器完成200個(gè)零件與1臺(tái)乙類智能機(jī)器完成120個(gè)零件的時(shí)間相等”列分式方程，求出甲、乙兩類智能機(jī)器每小時(shí)完成的零件數(shù)，再計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)的甲類智能機(jī)器是x臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)的乙類智能機(jī)器是30?x臺(tái)，由題意得：8x+530?x解得：x=10，∴30?10=20（臺(tái)），答：購(gòu)進(jìn)的甲類智能機(jī)器是10臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)的乙類智能機(jī)器是20臺(tái)；（2）解：設(shè)甲類智能機(jī)器每小時(shí)完成的零件數(shù)量為a件，則乙類智能機(jī)器每小時(shí)完成的零件數(shù)量為a?20件，由題意得：200a解得：a=50，經(jīng)檢驗(yàn)，a=50是原方程的解，∴a?20=50?20=30（件），即甲類智能機(jī)器每小時(shí)完成的零件50件，乙類智能機(jī)器每小時(shí)完成的零件30件，16×50×10+12×30×20=15200（件），答：該企業(yè)購(gòu)進(jìn)的這30臺(tái)智能機(jī)器，每天能完成的零件總量是15200件．23．（23-24八年級(jí)上·寧夏固原·期末）依據(jù)最新出臺(tái)的寧夏初中體育與健康學(xué)業(yè)水平考試方案，自2024年起，寧夏中考體育成績(jī)將以70分計(jì)入總成績(jī)中．必考項(xiàng)目包括1000米跑（男生）、800米跑（女生）、1分鐘跳繩，每項(xiàng)滿分15分．男生選考項(xiàng)目包括立定跳遠(yuǎn)、50米跑、單杠引體向上、前擲實(shí)心球，女生選考項(xiàng)目包括立定跳遠(yuǎn)、50米跑、1分鐘仰臥起坐、前擲實(shí)心球．為適應(yīng)學(xué)生體育課學(xué)習(xí)（課時(shí)數(shù)、考勤等）、日常參與體育鍛煉．我校用3000元購(gòu)買大、小跳繩共110根，且購(gòu)買大跳繩與小跳繩的費(fèi)用相同，大跳繩的單價(jià)是小跳繩單價(jià)的1.2倍．(1)求大、小兩種跳繩的單價(jià)各是多少？(2)若學(xué)校計(jì)劃用不超過(guò)7000元的資金再次購(gòu)買這兩種跳繩共260根，已知兩種跳繩的價(jià)格不變，求大跳繩最多可購(gòu)買多少根？【答案】(1)小跳繩單價(jià)是25元，大跳繩單價(jià)是30元；(2)大跳繩最多可購(gòu)買100根．【分析】本題考差了分式方程的應(yīng)用，以及一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）由題意可知，購(gòu)買大跳繩與小跳繩的費(fèi)用均為1500元，設(shè)小跳繩單價(jià)是x元，則大跳繩單價(jià)是1.2x元，根據(jù)題意列分式方程求解，檢驗(yàn)后即可得到答案；（2）設(shè)大跳繩購(gòu)買a根，則小跳繩購(gòu)買260?a根，根據(jù)題意列一元一次不等式求解，最大整數(shù)解即為答案．【詳解】（1）解：由題意可知，購(gòu)買大跳繩與小跳繩的費(fèi)用相同，均為30002設(shè)小跳繩單價(jià)是x元，則大跳繩單價(jià)是1.2x元，則1500x解得：x=25，經(jīng)檢驗(yàn)，x=25是原方程的解，1.2x=1.2×25=30，答：小跳繩單價(jià)是25元，大跳繩單價(jià)是30元；（2）解：設(shè)大跳繩購(gòu)買a根，則小跳繩購(gòu)買260?a根，由題意得：30a+25260?a解得：a≤100，∴a可取的最大整數(shù)為100，答：大跳繩最多可購(gòu)買100根．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（24-25八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）下列各式與aa?b相等的是（

A．a(chǎn)2(a?b)2 B．a(chǎn)2?ab(a?b)【答案】B【分析】本題考查分式的基本性質(zhì)，涉及因式分解、約分等知識(shí)，將各個(gè)選項(xiàng)分子分母分解因式，約分后比較結(jié)果與aa?b【詳解】解：A、a2B、a2C、3a3a?bD、?aa+b故選：B．2．（24-25八年級(jí)上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）下列分式是最簡(jiǎn)分式的是（

）A．15y5x B．x2?1x+1 C．【答案】C【分析】本題考查了最簡(jiǎn)分式，根據(jù)最簡(jiǎn)分式的定義：分子與分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式，據(jù)此即可判斷求解，掌握最簡(jiǎn)分式的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、分子分母中含有公因數(shù)5，不是最簡(jiǎn)分式，該選項(xiàng)不合題意；B、x2?1x+1C、2?b2D、分子分母中含有公因式b，不是最簡(jiǎn)分式，該選項(xiàng)不合題意；故選：C．3．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）分式22x?4A．2x B．2x2x?4 C．2x?4 D．【答案】D【分析】本題考查了最簡(jiǎn)公分母，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母．先變形得到2x?4=2x?2【詳解】解：∵2x?4=2x?2∴22x?4,故選：D．4．（24-25八年級(jí)上·山東濰坊·期中）若xy=34y≠?4A．x+yy=74 B．x+3y+4=【答案】D【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，逐一判斷即可解答．本題考查了分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵xy∴設(shè)x=3r,y=4r，A、x+yyB、x+3y+4C、x3=3rD、yx?y故選：D．5．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）已知a+b=3，ab=2，則A．32 B．?32 C．2【答案】A【分析】本題主要考查了分式的求值．根據(jù)1a【詳解】解：∵a+b=3，∴1a故選：A．6．（24-25八年級(jí)上·貴州銅仁·期中）某中學(xué)開(kāi)展“徒步研學(xué)”活動(dòng)，小新和王老師同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到離學(xué)校9千米的公園開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，他們的路線一致，小新隨班步行，王老師由于要帶班級(jí)飲用水需乘車，已知車的速度是步行速度的7.5倍．王老師比小新早80分鐘到達(dá)目的地，設(shè)小新步行速度為x米/分鐘，則依題意可列出方程為（

）A．9x?97.5x=80 B．97.5x【答案】C【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找到等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．設(shè)小新步行速度為x米/分鐘，則王老師的速度是7.5x米/分鐘，根據(jù)王老師比小新早80分鐘到達(dá)目的地，列方程即可．【詳解】解：設(shè)小新步行速度為x米/分鐘，則依題意可列出方程為9000故選：C．二、填空題7．（24-25八年級(jí)上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）若分式1x?3有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是【答案】x≠3【分析】本題考查了分式有意義的條件，根據(jù)分母不等于0即可求解，掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，x?3≠0，∴x≠3，∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≠3，故答案為：x≠3．8．（24-25八年級(jí)上·山東菏澤·期中）計(jì)算x2x?1+【答案】x【分析】本題考查了分式的加減運(yùn)算．先通分：將分母化為同分母，再將分子因式分解，約分．【詳解】解：x====x故答案為：x．9．（24-25八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中）若關(guān)于x的方程ax?1?2x?1=1【答案】2【分析】本題考查分式的增根問(wèn)題，增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．有增根，那么最簡(jiǎn)公分母x?1=0，所以增根是x=1，把增根代入化為整式方程的方程即可求出a的值．解題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于增根問(wèn)題解決的步驟：①根據(jù)最簡(jiǎn)公分母確定增根的值；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【詳解】解：方程兩邊都乘x?1，得：a?2=x?1，∵原方程有增根，∴最簡(jiǎn)公分母x?1=0，解得：x=1，∴a?2=1?1，解得：a=2，∴a的值是2．故答案為：2．10．（24-25八年級(jí)上