【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教B版)基礎(chǔ)鞏固：第2章-第4節(jié)-指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

其次章第四節(jié)一、選擇題1．(文)(2021·河南省試驗中學(xué)期中)函數(shù)y＝(a2－4a＋4)·ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值是A．4 B．1或3C．3 D．1[答案]C[解析]由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－4a＋4＝1，,a>0且a≠1.))∴a＝3.(理)(2022·東北三校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的圖象恒過點A，下列函數(shù)中圖象不經(jīng)過點A的是()A．y＝eq\r(1－x) B．y＝|x－2|C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x)[答案]A[解析]f(x)＝ax－1的圖象過定點(1,1)，在函數(shù)y＝eq\r(1－x)中當x＝1時，y＝0，故選A.2．(文)(2022·西安模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(e2x＋1,ex)的圖象()A．關(guān)于原點對稱 B．關(guān)于直線y＝x對稱C．關(guān)于x軸對稱 D．關(guān)于y軸對稱[答案]D[解析]∵f(x)＝ex＋e－x，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，故選D.(理)(2021·東營質(zhì)檢)函數(shù)y＝3x與y＝－3－x的圖象關(guān)于()對稱．()A．x軸 B．y軸C．直線y＝x D．原點[答案]D[解析]∵y＝－3－x，即－y＝3－x，將x用－x替換，y用－y替換，即得y＝3x，∴選D.3．(2022·浙江紹興一中月考)函數(shù)f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域為[1，＋∞)，則f(－4)與f(1)的關(guān)系是()A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)C．f(－4)<f(1) D．不能確定[答案]A[解析]由題意知a>1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由y＝ax的單調(diào)性知a3>a2，∴f(－4)>f(1)．4．(2022·陜西理，7)下列函數(shù)中，滿足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是()A．f(x)＝xeq\f(1,3) B．f(x)＝x3C．f(x)＝(eq\f(1,2))x D．f(x)＝3x[答案]D[解析]由于ax·ay＝ax＋y，所以指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax滿足f(x＋y)＝f(x)f(y)，且當a>1時單調(diào)遞增，0<a<1時單調(diào)遞減，所以f(x)＝3x滿足題意．5．(2022·新泰摸底)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，且f(eqlog\s\do8(\f(1,2))4)＝－3，則a的值為()A.eq\r(3) B．3C．9 D．eq\f(3,2)[答案]A[解析]∵f(eqlog\s\do8(\f(1,2))4)＝f(log2eq\f(1,4))＝f(－2)＝－f(2)＝－a2＝－3，∴a2＝3，解得a＝±eq\r(3)，又a>0，∴a＝eq\r(3).6．(文)(2021·山東師大附中模擬)若函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)的大致圖象如圖，其中a，b為常數(shù)，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的大致圖象是()[答案]B[解析]由函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)的圖象知f(x)為減函數(shù)，∴0<a<1，再由圖象平移的學(xué)問知，0<b<1，故y＝g(x)單調(diào)遞減，g(0)＝b＋1>1，故選B.(理)(2021·山師大附中期中)已知a>0，a≠1，函數(shù)y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐標系中的圖象可能是()[答案]C[解析]函數(shù)y＝ax與y＝logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，排解B；a>1時，y＝x＋a與y軸交點在點(0,1)上方，排解A；0<a<1時，y＝x＋a與y軸交點在點(0,1)下方，排解D，故選C.二、填空題7．如圖所示的算法流程圖中，若f(x)＝2x，g(x)＝x2，則h(3)的值等于________．[答案]9[解析]由程序框圖可知，h(x)的值取f(x)與g(x)的值中較大的，∵f(3)＝23＝8，g(3)＝32＝9,9>8，∴h(3)＝9.8．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x<0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，x≥0.))則不等式|f(x)|≥eq\f(1,3)的解集為________．[答案][－3,1][解析]f(x)的圖象如圖．|f(x)|≥eq\f(1,3)?f(x)≥eq\f(1,3)或f(x)≤－eq\f(1,3).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x≥eq\f(1,3)或eq\f(1,x)≤－eq\f(1,3)∴0≤x≤1或－3≤x<0，∴解集為{x|－3≤x≤1}．9．(2021·河南省試驗中學(xué)期中)假如函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)＝(eq\f(1,2))x的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則f(3x－x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．[答案](0，eq\f(3,2)][解析]由條件知f(x)為g(x)的反函數(shù)，∴f(x)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))x，∴y＝f(3x－x2)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))(3x－x2)，由3x－x2>0得0<x<3，又二次函數(shù)u＝－x2＋3x的對稱軸為x＝eq\f(3,2)，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，eq\f(3,2)]．三、解答題10．(文)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x∈(0,1)時，f(x)＝eq\f(2x,4x＋1).(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)證明：f(x)在(0,1)上是減函數(shù)．[解析](1)∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，又當x∈(－1,0)時，－x∈(0,1)，∴f(－x)＝eq\f(2－x,4－x＋1)＝eq\f(2x,1＋4x)，∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－eq\f(2x,1＋4x)，∴f(x)在(－1,1)上的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2x,4x＋1)x∈0，1，,－\f(2x,4x＋1)x∈－1，0，,0x＝0.))(2)當x∈(0,1)時，f(x)＝eq\f(2x,4x＋1).設(shè)0<x1<x2<1，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1,4x1＋1)－eq\f(2x2,4x2＋1)＝eq\f(2x2－2x12x1＋x2－1,4x1＋14x2＋1)，∵0<x1<x2<1，∴2x2－2x1>0,2x1＋x2－1>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故f(x)在(0,1)上是減函數(shù)．(理)(2022·吉安一中月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝1＋ax＋ma2x，其中a>0且a≠1，m∈R.(1)若a＝eq\f(1,2)，m＝1，請用定義證明f(x)單調(diào)遞減；(2)若a＝2，?x≤1恒有f(x)>0，求m的取值范圍．[解析](1)由條件知f(x)＝1＋(eq\f(1,2))x＋(eq\f(1,2))2x，設(shè)x1、x2∈R且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝(eq\f(1,2))x1－(eq\f(1,2))x2＋(eq\f(1,4))x1－(eq\f(1,4))x2＝(eq\f(1,2))x1[1－(eq\f(1,2))x2－x1]＋(eq\f(1,4))x1[1－(eq\f(1,4))x2－x1]，∵x2>x1，∴x2－x1>0，∴(eq\f(1,2))x2－x1<1，(eq\f(1,4))x2－x1<1，∴1－(eq\f(1,2))x2－x1>0,1－(eq\f(1,4))x2－x1>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上為單調(diào)遞減函數(shù)．(2)a＝2時，f(x)＝1＋2x＋m·4x，∵x≤1，∴0<2x≤2，∴(eq\f(1,2))x≥eq\f(1,2)，f(x)>0，即1＋2x＋m·4x>0，∴m>－eq\f(1＋2x,4x)＝－(eq\f(1,2))2x－(eq\f(1,2))x，令t＝(eq\f(1,2))x，則t≥eq\f(1,2)，由條件知m>－t2－t(t≥eq\f(1,2))恒成立，∵t≥eq\f(1,2)時，－t2－t＝－(t＋eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)≤－eq\f(3,4)，∴m>－eq\f(3,4).一、選擇題11．(文)(2021·湖北黃石一模)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax2＋1，x≥0，,a2－1eax，x<0))在(－∞，＋∞)上單調(diào)，則a的取值范圍是()A．(－∞，－eq\r(2)]∪(1，eq\r(2)] B．[－eq\r(2)，－1)∪[eq\r(2)，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．[eq\r(2)，＋∞)[答案]A[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a2－1>0，,1≥a2－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,a2－1>0，,1≤a2－1，))解得1<a≤eq\r(2)或a≤－eq\r(2)，故選A.(理)(2022·安徽省示范高中第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－3a，x<0，,ax－2，x≥0.))(a>0且a≠1)是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(0，eq\f(2,3)] B．(0，eq\f(1,3)]C．(0,1) D．(0,2][答案]B[解析]由f(x)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,f0＝a0－2≤－3a，))解得0<a≤eq\f(1,3).[易錯警示]本題考查的是分段函數(shù)在R上的單調(diào)性，要留意本題需滿足a0－2≤－3a12．(文)(2022·江西適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x，a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤4))的值域是[－8,1]，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－3] B．[－3,0)C．[－3，－1] D．{－3}[答案]B[解析]當0≤x≤4時，f(x)∈[－8,1]，當a≤x<0時，f(x)∈[－(eq\f(1,2))a，－1)，所以[－eq\f(1,2a)，－1)[－8,1]，即－8≤－eq\f(1,2a)<－1，即－3≤a<0.(理)(2021·天津模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x>2，,x＋a2，x≤2.))若f(x)的值域為R，則常數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－1]∪[2，＋∞) B．[－1,2]C．(－∞，－2]∪[1，＋∞) D．[－2,1][答案]A[解析]∵x>2時，f(x)＝2x＋a>a＋4，x≤2時，f(x)＝x＋a2≤a2＋2，欲使f(x)的值域為R，應(yīng)有a2＋2≥a＋4，即a2－a－2≥0，∴a≤－1或a≥2，故選A.13．(2022·湖北荊門月考)已知a>b>1,0<x<1，以下結(jié)論中成立的是()A．(eq\f(1,a))x>(eq\f(1,b))x B．xa>xbC．logxa>logxb D．logax>logbx[答案]D[解析]∵a>b>1,0<x<1，∴0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<1，∴(eq\f(1,a))x<(eq\f(1,b))x，故A不成立；∵a>b>1,0<x<1，∴xa<xb，故B不成立；∵a>b>1,0<x<1，∴l(xiāng)ogxa<logxb，故C不成立；∵logxa<logxb<0，∴l(xiāng)ogax>logbx，故D成立，故選D.14．(文)函數(shù)f(x)＝1＋log2x與g(x)＝2－x＋1在同始終角坐標系內(nèi)的圖象大致是()[答案]C[分析]函數(shù)f(x)＝1＋log2x的圖象可由函數(shù)y＝log2x的圖象變換得到；函數(shù)y＝2－x＋1可由函數(shù)y＝(eq\f(1,2))x的圖象變換得到．[解析]f(x)＝1＋log2x的圖象是由y＝log2x的圖象向上平移一個單位長度得到的；g(x)＝2－x＋1＝(eq\f(1,2))x－1的圖象可由y＝(eq\f(1,2))x的圖象向右平移一個單位長度得到．[點評]冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考又一主要命題點，解決此類題的關(guān)鍵是熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)，含確定值的函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象特征分布規(guī)律，相關(guān)性質(zhì)，把握平移伸縮變換和常見的對稱特征，把握識、畫圖的主要留意事項，學(xué)會識圖、用圖．(理)(2022·山東德州期末)函數(shù)y＝eq\f(xax,|x|)(0<a<1)的圖象的大致外形是()[答案]D[解析]由于y＝eq\f(xax,|x|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x>0，,－ax，x<0，))且0<a<1，所以依據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當x∈(0，＋∞)時，函數(shù)為減函數(shù)，圖象下降；當x∈(－∞，0)時，函數(shù)是增函數(shù)，圖象上升，故選D.15．(2021·濉溪縣月考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，g(x)滿足eq\f(fx,gx)＝ax，且f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，eq\f(f1,g1)＋eq\f(f－1,g－1)＝eq\f(5,2).若有窮數(shù)列{eq\f(fn,gn)}的前n項和為Sn，則滿足不等式Sn>2021的最小正整數(shù)n等于()A．7 B．8C．9 D．10[答案]D[分析]觀看題中各條件可以發(fā)覺，令F(x)＝eq\f(fx,gx)，則易知F′(x)>0，F(xiàn)(1)＋F(－1)＝eq\f(5,2)，問題即爭辯數(shù)列{an}的前n項和Sn>2021在n取何值時開頭成立．[解析]令F(x)＝eq\f(fx,gx)，則F(x)＝ax，F(xiàn)′(x)＝eq\f(1,g2x)[f′(x)g(x)－f(x)g′(x)]>0，∴F(x)為增函數(shù)，∴a>1.又F(1)＋F(－1)＝eq\f(5,2)，∴a＋eq\f(1,a)＝eq\f(5,2)，解之得a＝2，∴F(x)＝2x，F(xiàn)(n)＝eq\f(fn,gn)＝2n.由條件知eq\f(22n－1,2－1)>2021，即2n＋1>2021，∴n≥10，故選D.二、填空題16．(文)(2021·北京市房山區(qū)一模)設(shè)f(x)是定義在R上不為零的函數(shù)，對任意x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝eq\f(1,2)，an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和的取值范圍是________．[答案][eq\f(1,2)，1)[解析]∵對任意x、y∈R都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，∴f(2)＝f2(1)，f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝f3(1)，易知f(n)＝fn(1)，∵a1＝eq\f(1,2)，an＝f(n)，∴an＝(eq\f(1,2))n，∴數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(\f(1,2)[1－\f(1,2)n],1－\f(1,2))＝1－(eq\f(1,2))n∈[eq\f(1,2)，1)．(理)(2021·湖南)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.(1)記集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長，且a＝b}，則(a，b，c)∈M所對應(yīng)的f(x)的零點的取值集合為________；(2)若a，b，c是△ABC的三條邊長，則下列結(jié)論正確的是________．(寫出全部正確結(jié)論的序號)①?x∈(－∞，1)，f(x)>0；②?x∈R，使ax，bx，cx不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長；③若△ABC為鈍角三角形，則?x∈(1,2)，使f(x)＝0.[答案](1){x|0<x≤1}(2)①②③[解析](1)∵c>a>0，c>b>0，a＝b，且a、b、c不能構(gòu)成三角形的三邊，∴0<a＋a≤c，∴eq\f(c,a)≥2，令f(x)＝0得，ax＋bx＝cx，∵a＝b，∴2ax＝cx，∴(eq\f(c,a))x＝2，∴x＝eqlog\s\do8(\f(a,c))logeq\f(c,a)2，∴eq\f(1,x)＝log2eq\f(c,a)≥1，∴0<x≤1.(2)①∵a、b、c是三角形的三邊長，∴a＋b>c，∵c>a>0，c>b>0，∴0<eq\f(a,c)<1,0<eq\f(b,c)<1，∴當x∈(－∞，1)時，f(x)＝ax＋bx－cx＝cx[(eq\f(a,c))x＋(eq\f(b,c))x－1]>cx(eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)－1)＝eq\f(cx·a＋b－c,c)>0，∴①正確；②令a＝2，b＝3，c＝4，則a、b、c構(gòu)成三角形的三邊長，取x＝2，則a2、b2、c2不能構(gòu)成三角形的三邊長，故②正確；③∵c>a，c>b，△ABC為鈍角三角形，∴a2＋b2－c2<0，又f(1)＝a＋b－c>0，f(2)＝a2＋b2－c2<0，∴函數(shù)f(x)在(1,2)上存在零點，③正確．17．(2022·皖南八校聯(lián)考)對于給定的函數(shù)f(x)＝ax－a－x(x∈R，a>0，a≠1)，下面給出五個命題，其中真命題是________．(只需寫出全部真命題的編號)①函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱；②函數(shù)f(x)在R上不具有單調(diào)性；③函數(shù)f(|x|)的圖象關(guān)于y軸對稱；④當0<a<1時，函數(shù)f(|x|)的最大值是0；⑤當a>1時，函數(shù)f(|x|)的最大值是0.[答案]①③④[解析]∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，①對；當a>1時，f(x)在R上為增函數(shù)，當0<a<1時，f(x)在R上為減函數(shù)，②錯；y＝f(|x|)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，③對；當0<a<1時，y＝f(|x|)在(－∞，0)上為增函數(shù)，在[0，＋∞)上為減函數(shù)，∴當x＝0時，y＝f(|x|)的最大值為0，④對；當a>1時，f(x)在(－∞，0)上為減函數(shù)，在[0，＋∞)上為增函數(shù)，∴當x＝0時，y＝f(x)的最小值為0，⑤錯．綜上，真命題是①③④.三、解答題18．(文)(2021·山東聊城一模)設(shè)k∈R，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x>0，,ex，x≤0，))F(x)＝f(x)＋kx，x∈R.(1)k＝1時，求F(x)的值域；(2)試爭辯函數(shù)F(x)的單調(diào)性．[解析](1)k＝1時，F(xiàn)(x)＝f(x)＋x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x，x>0，,ex＋x，x≤0.))可以證明F(x)在(0,1)上遞減，在(1，＋∞)和(－∞，0]上遞增，又f(0)＝1，f(1)＝2，所以F(x)的值域為(－∞，1]∪[2，＋∞)．(2)F(x)＝f(x)＋kx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋kx，x>0，,ex＋kx，x≤0.))若k＝0，則F(x)在(0，＋∞)上遞減，在(－∞，0)上遞增；若k>0，則F(x)在(0，eq\f(1,\r(k))]上遞減，在(eq\f(1,\r(k))，＋∞)上遞增，在(－∞，0)上遞增．若k<0，則F(x)在(0，＋∞)上遞減．當x≤0時，F(xiàn)′(x)＝ex＋k，若F′(x)>0，則x>ln(－k)，若F′(x)<0，則x<ln(－k)．若k≤－1，－k≥1，則F(x)在(－∞，0]上遞減，若－1<k<0,0<－k<1，則F(x)在(－∞，ln(－k))上遞減，在(ln(－k)，0)上遞增．(理)定義在D上的函數(shù)f(x)，假如滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M>0，都有|f(x)|≤M成立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù)，其中M