2021版《紅對勾45分鐘作業(yè)與單元評估》高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)版必修5課時作業(yè)-第二章-解三角形-習(xí)題課3

習(xí)題課一、選擇題(每小題6分，共36分)1．一個三角形的兩個內(nèi)角分別為30°和45°，假如45°角所對邊的長為8，那么30°角所對邊的長為()A．4 B．4eq\r(2)C．4eq\r(3) D．4eq\r(5)解析：設(shè)30°角所對邊的長為a，則由正弦定理得eq\f(a,sin30°)＝eq\f(8,sin45°)，解得a＝4eq\r(2).答案：B2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝120°，則c＝()A.eq\r(7) B.eq\f(\r(7),7)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\r(3)解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝7，故c＝eq\r(7).答案：A3．(2022·上海卷)在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，則△A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不能確定解析：由正弦定理及sin2A＋sin2B<sin2C，可得a2＋b2<c2，則cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，所以C為鈍角，即△ABC為鈍角三角形．答案：C4．(2022·天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，則cosCA.eq\f(7,25) B．－eq\f(7,25)C．±eq\f(7,25) D.eq\f(24,25)解析：由8b＝5c及正弦定理，得8sinB＝5sinC，又C＝2B，所以8sinB＝5sin2B＝10sinBcosB，即cosB＝eq\f(4,5)，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝eq\f(7,25).答案：A5．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，則eq\f(b,a)＝()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝eq\r(2)sinA，則sinB＝eq\r(2)sinA，所以eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\r(2).答案：D6．某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別為eq\f(1,13)，eq\f(1,11)，eq\f(1,5)，則此人能()A．不能作出這樣的三角形 B．作出一個銳角三角形C．作出一個直角三角形 D．作出一個鈍角三角形解析：設(shè)三角形的三邊長分別為a，b，c，則eq\f(1,2)a·eq\f(1,13)＝eq\f(1,2)b·eq\f(1,11)＝eq\f(1,2)c·eq\f(1,5)，于是a∶b∶c＝13∶11∶5，且a為最大邊．由余弦定理，得cosA＝－eq\f(23,110)<0，又0<A<π，所以A為鈍角．故此人能作出一個鈍角三角形．答案：D二、填空題(每小題6分，共18分)7．(2022·北京卷)在△ABC中，若a＝3，b＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,3)，則C的大小為________．解析：由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，則eq\f(3,sin\f(π,3))＝eq\f(\r(3),sinB)，故sinB＝eq\f(1,2)，則B＝eq\f(π,6)或B＝eq\f(5π,6)(舍去)，所以C＝π－A－B＝π－eq\f(π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2).答案：eq\f(π,2)8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，則A＝________.解析：由sinC＝2eq\r(3)sinB及正弦定理，得c＝2eq\r(3)b.由a2－b2＝eq\r(3)bc，得a2－b2－c2＝eq\r(3)bc－c2，即b2＋c2－a2＝c2－eq\r(3)bc.由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(c2－\r(3)bc,2bc)＝eq\f(c,2b)－eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以A＝30°.答案：30°9．在△ABC中，B＝60°，AC＝eq\r(3)，則AB＋2BC的最大值為________．解析：設(shè)AC＝b＝eq\r(3)，AB＝c，BC＝a.由正弦定理，得a＝2sinA，c＝2sinC，又A＋C＝120°，所以AB＋2BC＝c＋2a＝2sinC＋4sinA＝2sinC＋4sin(120°－C)＝4sinC＋2eq\r(3)cosc＝2eq\r(7)sin(C＋θ)，其中tanθ＝eq\f(\r(3),2)，且30°<θ<60°，0°<C<120°，所以30°<C＋θ<180°，當(dāng)C＋θ＝90°時，AB＋2BC取得最大值2eq\r(7).答案：2eq\r(7)三、解答題(共46分，寫出必要的文字說明、計算過程或演算步驟．)10．(本小題15分)在△ABC中，已知c＝eq\r(6)，A＝45°，a＝2，解這個三角形．解：∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\r(6)×sin45°,2)＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝60°或C＝120°.當(dāng)C＝60°時，B＝75°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)×sin75°,sin60°)＝eq\r(3)＋1；當(dāng)C＝120°時，B＝15°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)×sin15°,sin120°)＝eq\r(3)－1.∴b＝eq\r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝eq\r(3)－1，B＝15°，C＝120°.11．(本小題15分)(2022·浙江卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA＝eq\r(3)acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解：(1)由bsinA＝eq\r(3)acosB及正弦定理，得sinBsinA＝eq\r(3)sinAcosB，則tanB＝eq\r(3)，故B＝eq\f(π,3).(2)由sinC＝2sinA及正弦定理，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋4a2－2a·2acoseq\f(π,3)，則a＝eq\r(3)，c＝2a＝2eq\r(3).12．(本小題16分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2C＝－eq\f(1,4).(1)求sinC的值；(2)當(dāng)a＝2,2sinA＝sinC時，求b及c的長．解：(1)由cos2C＝1－2sin2C＝－eq\f(1,4)及0<C<π，得sinC＝eq\f(\r(10),4).(2)當(dāng)a＝2,2sinA＝sinC時，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得c＝2a＝4