【全程復(fù)習(xí)方略】2020年數(shù)學(xué)文(廣西用)課時(shí)作業(yè)：第九章-第四節(jié)空間的角

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(四十六)一、選擇題1.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,A1D與BC1所成的角為QUOTE,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()(A)QUOTE (B)QUOTE(C)QUOTE (D)QUOTE2.(2021·寧波模擬)已知正四周體A-BCD,設(shè)異面直線AB與CD所成的角為α,側(cè)棱AB與底面BCD所成的角為β,側(cè)面ABC與底面BCD所成的角為γ,則()(A)α>β>γ (B)α>γ>β(C)β>α>γ (D)γ>β>α3.平面α的斜線與α所成的角為30°,則此斜線和α內(nèi)全部不過斜足的直線所成的角的最大值為()(A)30° (B)60° (C)90° (D)150°4.把等腰直角△ABC沿斜邊上的高AD折成直二面角B-AD-C,則BD與平面ABC所成角的正切值為()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)1 (D)QUOTE5.如圖,ABCD-A1B1C1D1是正方體,E,F分別是AD,DD1的中點(diǎn),則平面EFC1B和平面BCC1(A)2QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE6.已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等,E是SB的中點(diǎn),則AE,SD所成角的余弦值為()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE二、填空題7.(2021·南寧模擬)已知直二面角α-l-β,點(diǎn)A∈α,AC⊥l,C為垂足,點(diǎn)B∈β,BD⊥l,D為垂足,AC=BD=1,CD=2,異面直線AB與CD所成角的余弦值等于.8.(2021·西安模擬)在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長(zhǎng)相等,側(cè)棱垂直于底面,點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心,則AD與平面BB19.(力氣挑戰(zhàn)題)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等,則直線AC1與側(cè)面ABB1A1所成角的正弦值等于三、解答題10.(2021·宜春模擬)△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5.P在平面ABC的射影為AB的中點(diǎn)D.(1)求證:AB與PC不垂直.(2)當(dāng)∠APC=60°時(shí),①求三棱錐P-ABC的體積;②求二面角P-AC-B的正切值.11.(2021·貴州模擬)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,點(diǎn)E在棱PB上.(1)求證:平面AEC⊥平面PDB.(2)當(dāng)PD=QUOTEAB且E為PB的中點(diǎn)時(shí),求AE與平面PDB所成的角的大小.12.(力氣挑戰(zhàn)題)已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分別是PA,PB,BC的中點(diǎn).(1)求證:EF⊥平面PAD.(2)求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小.(3)若M為線段AB上靠近A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),問當(dāng)AM長(zhǎng)度等于多少時(shí),直線MF與平面EFG所成角的正弦值等于QUOTE?答案解析1.【解析】選B.連結(jié)B1C,有B1C∥A∵A1D與BC1所成的角為QUOTE,∴B1C⊥BC1,∴長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1為正方體.取B1D1的中點(diǎn)M,連結(jié)C1M,BM,∴C1M⊥平面BB1D1D,∴∠C1BM為BC1與平面BB1D1D所成的角.∵AB=BC=2,∴C1M=QUOTE,BC1=2QUOTE,∴sinC1BM=QUOTE=QUOTE.2.【解析】選B.如圖,取底面BCD的中心為點(diǎn)O,連結(jié)AO,BO,易知∠ABO=β,取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,OE,易知∠AEO=γ,易知0<β<γ<QUOTE,延長(zhǎng)BO交CD于F,則BF⊥CD,又AO⊥CD,∴CD⊥平面ABF,∴CD⊥AB,即α=QUOTE,∴α>γ>β.3.【解析】選C.因斜線和α內(nèi)全部不過斜足的直線為異面直線,故最大角為90°.【方法技巧】求與角有關(guān)的取值范圍問題解題策略一是可利用函數(shù)思想把所求問題轉(zhuǎn)化為某參數(shù)的函數(shù)問題;二是可利用數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合圖形的某些特殊狀況求得最值或范圍.4.【解析】選B.設(shè)等腰直角△ABC的直角邊長(zhǎng)為1.如圖,在平面ADC中,過D作DE⊥AC,交AC于點(diǎn)E.連結(jié)BE,由于二面角B-AD-C為直二面角,所以BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,又DE∩BD=D,因此AC⊥平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC,故∠DBE就是BD與平面ABC所成角,在Rt△DBE中,易求tanDBE=QUOTE,故選B.5.【思路點(diǎn)撥】為了作出二面角E-BC1-C的平面角,需在一個(gè)面內(nèi)取一點(diǎn),過該點(diǎn)向另一個(gè)面引垂線.(這是用三垂線定理作二面角的平面角的關(guān)鍵步驟)從圖形特點(diǎn)看,可過E作平面BCC1的垂線.【解析】選A.過E作EH⊥BC,垂足為H.過H作HG⊥BC1,垂足為G.連結(jié)EG.∵平面ABCD⊥平面BCC1,而EH⊥BC,∴EH⊥平面BCC1,EG是平面BCC1的斜線,HG是斜線EG在平面BCC1內(nèi)的射影.∵HG⊥BC1,∴EG⊥BC1,∴∠EGH是二面角E-BC1-C的平面角.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,在Rt△BCC1中,sinC1BC=QUOTE=QUOTE,在Rt△BHG中,sinC1BC=QUOTE,∴HG=QUOTE×QUOTE=QUOTE.而EH=1,在Rt△EHG中,tanEGH=QUOTE=2QUOTE故二面角E-BC1-C的正切值等于2QUOTE.6.【解析】選C.連結(jié)AC,BD交于O,連結(jié)EO,則EO∥SD,∴∠AEO為異面直線SD與AE所成角.設(shè)AB=a,則EO=QUOTE,AO=QUOTEa,AE=QUOTEa,∴cosAEO=QUOTE.7.【解析】由題知|QUOTE|2=(QUOTE+QUOTE+QUOTE)2=|QUOTE|2+|QUOTE|2+|QUOTE|2=6,QUOTE·QUOTE=QUOTE·(QUOTE+QUOTE+QUOTE)=QUOTE·QUOTE,即|QUOTE|·|QUOTE|cos<QUOTE,QUOTE>=|QUOTE|2,得cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE=QUOTE,異面直線AB與CD所成角的余弦值為QUOTE.答案:QUOTE8.【解析】如圖,取BC中點(diǎn)E,連結(jié)DE,AE,依題意知三棱柱為正三棱柱,易得AE⊥平面BB1C1C,故∠ADE為AD與平面BB1C1C所成的角.設(shè)各棱長(zhǎng)為1,則AE=QUOTE,DE=QUOTE,tanADE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,∴∠ADE=60°.答案:60°9.【思路點(diǎn)撥】先作出AC1與平面ABB1A1【解析】取A1B1的中點(diǎn)D,連結(jié)C1D,AD.∵ABC-A1B1C1為正三棱柱,∴平面A1B1C1⊥平面ABB1A1.又△A1B1C1為正三角形,∴C1D⊥A1B1,∴C1D⊥平面ABB1A1,故∠C1AD為直線AC1與平面ABB1A1所成的角.設(shè)側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為a,則AC1=QUOTEa,DC1=QUOTEa,∴sinC1AD=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【變式備選】已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等,E是SB的中點(diǎn),則AE與平面SBC所成的角的余弦值為.【解析】過A作AO垂直于平面SBC于O,由于S-ABC為正三棱錐,且側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等,∴O為正△SBC的中心,連結(jié)CO并延長(zhǎng)交BS于E點(diǎn),∴∠AEO即為AE與平面SBC所成的角.設(shè)三棱錐棱長(zhǎng)為a,∴cosAEO=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE10.【解析】(1)連結(jié)CD,若AB⊥PC,則AB⊥CD,CD是線段AB的垂直平分線,則AC=BC,這與AC≠BC沖突.故AB與PC不垂直.(2)①由勾股定理,∠ACB是直角,D是斜邊AB的中點(diǎn),∴CD=AD,PA=PC,△PAC為正三角形,PC=AC=3,CD=QUOTE,PD=QUOTE,VP-ABC=QUOTE×QUOTE×4×3×QUOTE=QUOTE.②取AC的中點(diǎn)E,連結(jié)PE,DE,則∠PED就是所求二面角的平面角,由于DE=2,故所求角的正切值為QUOTE.【變式備選】(2021·重慶模擬)如圖,四棱錐S-ABCD的底面是矩形,SA⊥底面ABCD,P為BC邊的中點(diǎn),SB與平面ABCD所成的角為45°,且AD=2,SA=1.(1)求證:PD⊥平面SAP.(2)求二面角A-SD-P的大小.【解析】(1)∵SA⊥底面ABCD,∴∠SBA是SB與平面ABCD所成的角,∴∠SBA=45°,∴AB=SA=1,易求得,AP=PD=QUOTE.又∵AD=2,∴AD2=AP2+PD2,∴AP⊥PD.∵SA⊥底面ABCD,PD?平面ABCD,∴SA⊥PD.∵SA∩AP=A,∴PD⊥平面SAP.(2)設(shè)Q為AD的中點(diǎn),連結(jié)PQ,由于SA⊥底面ABCD,且SA?平面SAD,則平面SAD⊥平面PAD.∵PQ⊥AD,∴PQ⊥平面SAD.過Q作QR⊥SD,垂足為R,連結(jié)PR,由三垂線定理可知PR⊥SD,∴∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角.簡(jiǎn)潔證明△DRQ∽△DAS,則QUOTE=QUOTE.∵DQ=1,SA=1,SD=QUOTE,QR=QUOTE·SA=QUOTE.在Rt△PRQ中,∵PQ=AB=1,∴tanPRQ=QUOTE=QUOTE.∴二面角A-SD-P的大小為arctanQUOTE.11.【解析】(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,∴平面AEC⊥平面PDB.(2)設(shè)AC∩BD=O,連結(jié)OE,由(1)知AC⊥平面PDB于O,∴∠AEO為AE與平面PDB所成的角,∴O,E分別為DB,PB的中點(diǎn),∴OE∥PD,OE=QUOTEPD.又∵PD⊥底面ABCD,∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO.在Rt△AOE中,OE=QUOTEPD=QUOTEAB=AO,∴∠AOE=45°,即AE與平面PDB所成的角的大小為45°.12.【解析】(1)∵平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD.∵E,F分別是PA,PB的中點(diǎn),∴EF∥AB,∴EF⊥平面PAD.(2)過G作GH∥AB交AD于H,連結(jié)EH,則EH∥PD.∵EF∥AB,AB∥HG,∴EF∥HG,HG是所成二面角的棱.∵HG∥EF,∴HG⊥平面PAD,∴DH⊥HG,EH⊥HG,∴∠EHA是銳二面角的平面角,等于60°.(3)過M作MK⊥平面EFG于K,連結(jié)KF,則∠KFM即為MF與平面EFG所