【創(chuàng)新設(shè)計】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修三分層訓(xùn)練-3.3.2-均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

3.3.2均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．與均勻隨機(jī)數(shù)特點不符的是 ()A．它是[0，1]內(nèi)的任何一個實數(shù)B．它是一個隨機(jī)數(shù)C．消滅的每一個實數(shù)都是等可能的D．是隨機(jī)數(shù)的平均數(shù)答案D解析A、B、C是均勻隨機(jī)數(shù)的定義，均勻隨機(jī)數(shù)的均勻是“等可能”的意思，并不是“隨機(jī)數(shù)的平均數(shù)”．2．質(zhì)點在數(shù)軸上的區(qū)間[0，2]上運動，假定質(zhì)點消滅在該區(qū)間各點處的概率相等，那么質(zhì)點落在區(qū)間[0，1]上的概率為 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D．以上都不對答案C解析區(qū)間[0，2]的長度為2，記“質(zhì)點落在區(qū)間[0，1]上”為大事A.則大事A的區(qū)間長度為1，則P(A)＝eq\f(1,2).3．將[0，1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)a1轉(zhuǎn)化為[－2，6]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)a，需實施的變換為 ()A．a(chǎn)＝a1*18 B．a(chǎn)＝a1*8＋2C．a(chǎn)＝a1*8－2 D．a(chǎn)＝a1*6答案C解析驗證：當(dāng)a1＝0時，a＝－2，當(dāng)a1＝1時，a＝6，知C正確．4．在一半徑為1的圓內(nèi)有10個點，向圓內(nèi)隨機(jī)投點，則這些點不落在這10個點上的概率為 ()A．0 B．1 C.eq\f(1,2) D．無法確定答案B解析由幾何概型公式知，所求概率P＝eq\f(π·r2－0,π·r2)＝1.5.向圖中所示正方形內(nèi)隨機(jī)地投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影部分的概率為 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(25,36)C.eq\f(25,144) D．1答案C解析直線6x－3y－4＝0與直線x＝1交于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,3)))，與直線y＝－1交于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－1))，易知陰影部分面積為eq\f(1,2)×eq\f(5,6)×eq\f(5,3)＝eq\f(25,36).∴P＝eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(\f(25,36),4)＝eq\f(25,144).6．在區(qū)間[20，80]上隨機(jī)取一實數(shù)a，則這個實數(shù)a落在[50，75]上的概率是________．答案eq\f(5,12)解析由幾何概型概率計算公式，得P＝eq\f(75－50,80－20)＝eq\f(25,60)＝eq\f(5,12).7．設(shè)有一個正方形網(wǎng)格，其中每個最小正方形的邊長都等于6cm，現(xiàn)用直徑等于2cm的硬幣投擲到網(wǎng)格上，用隨機(jī)模擬方法求硬幣落下后與格線有公共點的概率．解記大事A＝{硬幣與格線有公共點}，設(shè)硬幣中心為B(x，y)．步驟：(1)利用計算機(jī)或計算器產(chǎn)生兩組0到1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，x1＝RAND，y1＝RAND.(2)經(jīng)過平移，伸縮變換，則x＝(x1－0.5)*6，y＝(y1－0.5)*6，得到兩組[－3，3]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)．(3)統(tǒng)計試驗總次數(shù)N及硬幣與格線有公共點的次數(shù)N1(滿足條件|x|≥2或|y|≥2的點(x，y)的個數(shù))．(4)計算頻率eq\f(N1,N)，即為硬幣落下后與格線有公共點的概率．二、力量提升8．如圖所示，在墻上掛著一塊邊長為16cm的正方形木塊，上面畫了小、中、大三個同心圓，半徑分別為2cm，4cm，6cm，某人站在3m之外向此板投鏢，設(shè)鏢擊中線上或沒有投中木板時不算，可重投，記大事A＝{投中大圓內(nèi)}，大事B＝{投中小圓與中圓形成的圓環(huán)內(nèi)}，大事C＝{投中大圓之外}．(1)用計算機(jī)產(chǎn)生兩組[0，1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)，a1＝RAND，b1＝RNAD.(2)經(jīng)過伸縮和平移變換，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到兩組[－8，8]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)．(3)統(tǒng)計投在大圓內(nèi)的次數(shù)N1(即滿足a2＋b2<36的點(a，b)的個數(shù))，投中小圓與中圓形成的圓環(huán)次數(shù)N2(即滿足4<a2＋b2<16的點(a，b)的個數(shù))，投中木板的總次數(shù)N(即滿足上述－8<a<8，－8<b<8的點(a，b)的個數(shù))．則概率P(A)、P(B)、P(C)的近似值分別是 ()A.eq\f(N1,N)，eq\f(N2,N)，eq\f(N－N1,N) B.eq\f(N2,N)，eq\f(N1,N)，eq\f(N－N2,N)C.eq\f(N1,N)，eq\f(N2－N1,N)，eq\f(N2,N) D.eq\f(N2,N)，eq\f(N1,N)，eq\f(N1－N2,N)答案A解析P(A)的近似值為eq\f(N1,N)，P(B)的近似值為eq\f(N2,N)，P(C)的近似值為eq\f(N－N1,N).9．設(shè)b1是[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，b＝(b1－0.5)*6，則b是區(qū)間________上的均勻隨機(jī)數(shù)．答案[－3，3]解析設(shè)b為區(qū)間[m，n]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，則b＝b1(n－m)＋m，而b＝(b1－0.5)*6.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n－m＝6，,m＝－3.))∴n＝3，m＝－3.10．如圖所示，在半徑為1的半圓內(nèi)放置一個邊長為eq\f(1,2)的正方形ABCD，向半圓內(nèi)任投一點，則點落在正方形內(nèi)的概率為________．答案eq\f(1,2π)解析S正方形＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，S半圓＝eq\f(1,2)×π×12＝eq\f(π,2)，由幾何概型的概率計算公式，得P＝eq\f(S正方形,S半圓)＝eq\f(\f(1,4),\f(π,2))＝eq\f(1,2π).11．如圖所示，曲線y＝x2與y軸、直線y＝1圍成一個區(qū)域A(圖中的陰影部分)，用模擬的方法求圖中陰影部分的面積(用兩種方法)．解法一我們可以向正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地撒一把豆子，數(shù)出落在區(qū)域A內(nèi)的豆子數(shù)與落在正方形內(nèi)的豆子數(shù)，依據(jù)eq\f(落在區(qū)域A內(nèi)的豆子數(shù),落在正方形內(nèi)的豆子數(shù))≈eq\f(區(qū)域A的面積,正方形的面積)，即可求區(qū)域A面積的近似值．例如，假設(shè)撒1000粒豆子，落在區(qū)域A內(nèi)的豆子數(shù)為700，則區(qū)域A的面積S≈eq\f(700,1000)＝0.7.法二對于上述問題，我們可以用計算機(jī)模擬上述過程，步驟如下：第一步，產(chǎn)生兩組0～1內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)，它們表示隨機(jī)點(x，y)的坐標(biāo)．假如一個點的坐標(biāo)滿足y≥x2，就表示這個點落在區(qū)域A內(nèi)．其次步，統(tǒng)計出落在區(qū)域A內(nèi)的隨機(jī)點的個數(shù)M與落在正方形內(nèi)的隨機(jī)點的個數(shù)N，可求得區(qū)域A的面積S≈eq\f(M,N).三、探究與創(chuàng)新12．用隨機(jī)模擬方法求函數(shù)y＝eq\r(x)與x軸和直線x＝1圍成的圖形的面積．解如圖所示，陰影部分是函數(shù)y＝eq\r(x)的圖象與x軸和直線x＝1圍成的圖形，設(shè)陰影部分的面積為S.隨機(jī)模擬的步驟：(1)利用計算機(jī)產(chǎn)生兩組[0，1]內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)，x1＝RAND，y1＝RAND；(2)統(tǒng)計試驗總次數(shù)N和落在陰影內(nèi)的點數(shù)N1(滿足條件y<eq\r(x)的點(x，y)的個數(shù))；(3)計算頻率eq\f(N1,N)，即為點落在陰影部分的概率的近似值；(4)直線x＝1，y＝1和x，y軸圍成的正方形面積是1，由幾何概型公式得點落在陰影部分的概率為eq\f(S,1)＝S.則S＝eq\f(N1,N)，即陰影部分面積的近似值為eq\f(N1,N).13．將長為l的棒隨機(jī)折成3段，求3段能構(gòu)成三角形的概率．解設(shè)A＝“3段能構(gòu)成三角形”，x，y分別表示其中兩段的長度，則第3段的長度為l－x－y.則試驗的全部結(jié)果可構(gòu)成集合Ω＝{(x，y)|0<x<l，0<y<l，0<x＋y<l}，要使3段構(gòu)成三角形，當(dāng)且僅當(dāng)任意兩段之和大于第3段，即x＋y>l－x－y?x＋y>eq\f(l,2)，x＋l－x－y>y?y<eq\f(l,2)，y＋l－x－y>x?x<eq\f(l,2).故所求結(jié)果構(gòu)成集合A＝eq\b\