2022年教資筆試科目三高中數(shù)學(xué)講義

2022年教資筆試科目三高中數(shù)學(xué)講義

（完整版）

第一講

應(yīng)試攻略

一、考情分析

數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力是高中學(xué)段教師資格統(tǒng)考科目三的考試科目，主要考查

申請教師資格人員數(shù)學(xué)專業(yè)領(lǐng)域的基本知識，教學(xué)設(shè)計、實施、評價的知識和方

法，運用所學(xué)知識分析和解決教育教學(xué)實際問題的能力。

考試內(nèi)容：數(shù)學(xué)學(xué)科知識、課程知識、教學(xué)知識、教學(xué)技能

試題題型：選擇題、簡答題、解答題、論述題、案例分析題、教學(xué)設(shè)計題

二、題型解讀

（-）單項選擇題

主要考查學(xué)科知識和課程知識，知識點覆蓋范圍比較廣。

在歷年考試真題中，學(xué)科知識6-7道，課程與教學(xué)知識1-2道。

（二）簡答題

簡答題穩(wěn)定在5題，前面3題一般是學(xué)科知識，后面2題是課程知識與教學(xué)知識，

總分值35分。

（三）解答題

一般考大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程相關(guān)知識，分步驟給分，如果不能夠完全解答，只

要會的步驟，都要寫在試卷上，閱卷老師看見答案中有相關(guān)步驟，都會給相應(yīng)的

分?jǐn)?shù)。

（四）論述題

一般考課程知識、教學(xué)知識、教學(xué)技能。在答題時一般需要提出論點，并用論據(jù)

進(jìn)行論證，最后得出結(jié)論。

（五）案例分析題

一般考查教學(xué)知識或教學(xué)技能。案例分析題是給出教學(xué)片段，然后提出問題，在

問題中要求考生閱讀分析給定的資料，依據(jù)一定的理論知識，或作出決策，或給

出評價，或提出具體的解決問題的方法或意見等。

（六）教學(xué)設(shè)計題

給出一個課題，按要求進(jìn)行設(shè)計。一般從教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點、教學(xué)過程幾個

問題進(jìn)行考查。

三、備考策略

（一）研究真題，把握考試脈搏

考綱是了解考點的依據(jù)，真題是掌握考情的關(guān)鍵。對照教師資格考試大綱和近幾

年考試真題，也可參照“考情分析”與“題型解讀”。

（二）學(xué)記結(jié)合，強(qiáng)化記憶效果

利用筆記將“厚”書讀“薄”，提高學(xué)習(xí)效率。

1、對教材的重點內(nèi)容做摘要筆記，概括其要點。

2、復(fù)習(xí)過程中在教材相應(yīng)位置做好批注，加強(qiáng)記憶。

3、對所學(xué)內(nèi)容做好心得筆記，將學(xué)習(xí)過程中的思考、分析、體會等隨手記下來,

鞏固對知識點的理解。

（三）系統(tǒng)總結(jié)，梳理知識脈絡(luò)

在理解的基礎(chǔ)上系統(tǒng)梳理每個模塊知識的脈絡(luò)，整理出清晰明了的框架結(jié)構(gòu)，加

強(qiáng)識記效果，以便在考試中看到相關(guān)題目時能快速在腦中搜索到相關(guān)知識點，得

出合理的答案。

（四）強(qiáng)化練習(xí)，及時查漏補(bǔ)缺

多做練習(xí)是檢測復(fù)習(xí)效果的有效手段。進(jìn)行適當(dāng)?shù)木毩?xí)，以及時查看對所學(xué)知識

點的掌握情況，對記憶模糊的知識點重新記憶，對薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)一步鞏固，查漏補(bǔ)

缺，科學(xué)備考。

第二講

考試大綱

一、考試目標(biāo)

1、學(xué)科知識的掌握和運用。

掌握大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程的知識、高中數(shù)學(xué)的知識。

2、高中數(shù)學(xué)課程知識的掌握和運用。

理解高中數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)、基本理念和目標(biāo)，熟悉《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)

定的教學(xué)內(nèi)容和要求。

3、數(shù)學(xué)教學(xué)知識的掌握和應(yīng)用。

理解有關(guān)的數(shù)學(xué)教學(xué)知識，具有教學(xué)設(shè)計、教學(xué)實施和教學(xué)評價的能力。

二、考試內(nèi)容模塊與要求

（一）學(xué)科知識

大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)

計。

包括數(shù)列極限、函數(shù)極限、連續(xù)函數(shù)、一元函數(shù)微積分、向量及其運算、矩陣與

變換。

要求：準(zhǔn)確掌握基本概念，熟練進(jìn)行運算，并能夠利用這些知識去解決中學(xué)數(shù)學(xué)

的問題。

高中數(shù)學(xué)知識：高中數(shù)學(xué)課程中的必修內(nèi)容、選修課中的系列1、2的內(nèi)容以及

選修3—1（數(shù)學(xué)史選講），選修4—1（幾何證明選講）、選修4—2（矩陣與變

換）、選修4—4（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）、選修4—5（不等式選講）。

要求：理解高學(xué)數(shù)學(xué)中的重要概念，掌握高學(xué)數(shù)學(xué)中的重要公式、定理、法則等

知識，掌握中學(xué)數(shù)學(xué)常見的數(shù)學(xué)思想方法，具有空間想象、抽象概括、推理論證、

運算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力以及綜合運用能力。

（-）課程知識

1、了解高中數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)、基本理念和目標(biāo)。

2、熟悉《新課標(biāo)》所規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容的知識體系，掌握《新課標(biāo)》對教學(xué)內(nèi)容

的要求。

3、能運用《新課標(biāo)》指導(dǎo)自己的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐。

（三）教學(xué)知識

1、掌握講授法、討論法、自學(xué)輔導(dǎo)法、發(fā)現(xiàn)法等常見的數(shù)學(xué)教學(xué)方法。

2、掌握概念教學(xué)、命題教學(xué)等數(shù)學(xué)教學(xué)知識的基本內(nèi)容。

3、了解包括備課、課堂教學(xué)、作業(yè)批改與考試、數(shù)學(xué)課外活動、數(shù)學(xué)教學(xué)評價

等基本環(huán)節(jié)的教學(xué)過程。

4、掌握合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)等中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。

5、掌握數(shù)學(xué)教學(xué)評價的基本知識和方法。

（四）教學(xué)技能

1、教學(xué)設(shè)計

a、能夠根據(jù)學(xué)生已有的知識水平和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，準(zhǔn)確把握所教內(nèi)容與學(xué)生已

學(xué)知識的聯(lián)系。

b、能夠根據(jù)《課標(biāo)》的要求和學(xué)生的認(rèn)知特征確定教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點和難點。

c、能正確把握數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)、

滲透數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)應(yīng)用與創(chuàng)新意識。

d、能選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和手段，合理安排教學(xué)過程和教學(xué)內(nèi)容，在規(guī)定的時

間內(nèi)完成所選教學(xué)內(nèi)容的教案設(shè)計。

2、教學(xué)實施

a、能創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、猜

想和合作交流。

b、能依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點和學(xué)生的認(rèn)知特征，恰當(dāng)?shù)剡\用教學(xué)方法和手段，有效

地進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

C、能結(jié)合具體數(shù)學(xué)教學(xué)情境，正確處理數(shù)學(xué)教學(xué)中的各種問題。

3、教學(xué)評價

a、能采用不同的方式和方法，對學(xué)生知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)

度等方面進(jìn)行恰當(dāng)?shù)卦u價。

b、能對教師數(shù)學(xué)教學(xué)過程進(jìn)行評價。

c、能夠通過教學(xué)評價改進(jìn)教學(xué)和促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。

三、試卷結(jié)構(gòu)

模塊叼

學(xué)科知識41X

課程知識18%

教學(xué)知識8X

教學(xué)技筮33X案例分*教學(xué)費訶遇

1

合計KN>%S27%'

■訪約73X

四、題型示例

1、單項選擇題

a、學(xué)科知識模塊

（56-3][2、

5.（2016年下）已知三階矩陣.4=,-101，其特征向愛a=,-l所對應(yīng)的特征值為（）

（12-1J10,

A.-2B.2C.l-y/jD.1+73

b、課程與教學(xué)知識模塊

在某次測試中，用所有參加測試學(xué)生某題的平均分除以該題分值，得到的結(jié)果是

（B）（2016年下半年真題）

A.區(qū)分度B.難度C.信度D.效度

區(qū)分度：把不同水平的人區(qū)分開來。

信度：測試結(jié)果的一致性、穩(wěn)定性及可靠性。

效度：所測量到的結(jié)果反映所想要考察內(nèi)容的程度。

2、簡答題

以“二項式定理”的教學(xué)為例，闡述數(shù)學(xué)定理教學(xué)的基本環(huán)節(jié)。(2016年

下半年真題)

解題思路：(1)介紹定理的背景或特殊情形。

(2)了解定理的內(nèi)容，理解定理的含義，認(rèn)識定理的條件

和結(jié)論，能夠解決什么問題。

(3)定理的證明或推導(dǎo)過程：學(xué)生與老師一起研究證明方

法，如不需證明，學(xué)生根據(jù)老師提供的材料體會定理規(guī)定的合理性。

(4)熟悉定理的使用。

(5)引申和拓展定理的運用。

3、解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=x2在R上連續(xù)且可導(dǎo)。

(1)當(dāng)f(x)=x2,且g(x)=exf(x)時，求證f(x)與g(x)有共同駐點。

(2)當(dāng)f(a)=f(b)=0(a<b)時，求證方程f'(x)+f(x)=0在(a,b)內(nèi)至少有一個實

根。(2016年下半年真題)

4、論述題

函數(shù)的單調(diào)性是刻畫函數(shù)變化規(guī)律的重要概念，也是函數(shù)的一個重要性

質(zhì)。

(1)請敘述函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增的定義，并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，說明中學(xué)

數(shù)學(xué)課程中函數(shù)單調(diào)性與哪些內(nèi)容有關(guān)(至少列舉兩項內(nèi)容)。

(2)請列舉至少兩種研究函數(shù)單調(diào)性的方法，并分別簡要說明其特點。(2016

年下半年真題)

5、案例分析題

概念同化指從已有概念出發(fā)，理解并接納新概念的過程，實質(zhì)是利用演繹方式理

解和掌握概念。由于數(shù)學(xué)中大多數(shù)概念是以屬概念加種差的方式定義的，所以適

宜采用概念同化的方式進(jìn)行教學(xué)。以“奇函數(shù)，，概念教學(xué)為例簡要說明概念同

化的教學(xué)模式：

⑴向?qū)W生提供“奇函數(shù)”概念的定義

⑵解釋定義中的詞語、符號、式子所代表的含義

突出概念刻畫的是：對定義域中的任意一個自變量，考察x與-X對應(yīng)的函數(shù)值

f(x)與f(-x)之間的關(guān)系以f(-x)=-f(x)o因此函數(shù)的定義域應(yīng)該關(guān)于原點對稱，

滿足這個條件后再考察f(-X)=-f(X).

⑶辨別例證，深化概念

教師向?qū)W生提供豐富的概念例證，例證中以正例為主，但也要包合適"-3的反例，

尤其是一些需要考察隱含條件的例子。

⑷概念的運用

提供各種形式來運用概念，達(dá)到強(qiáng)化對概念的理解,促進(jìn)概念體系的建構(gòu)的目的，

可以利用個別有一定綜合性但難度不大的問題。

問題：(1)請舉出反例說明(3)辨別例證，深化概念。(5分)

⑵請舉例補(bǔ)充⑷概念的運用。(5分)

⑶請結(jié)合案例，總結(jié)出概念同化的教學(xué)模式的過程。(10分)

6、教學(xué)設(shè)計題

“對數(shù)的概念”是高中數(shù)學(xué)教材中的重要概念。教師在教學(xué)中，應(yīng)基于課程

標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生學(xué)情，確定教學(xué)目標(biāo)，實現(xiàn)教學(xué)重點，突破教學(xué)難點，設(shè)計教學(xué)方法、

教學(xué)過程、師生活動和教學(xué)評價等。

請完成下列任務(wù)：

(1)設(shè)計“對數(shù)的概念”的教學(xué)目標(biāo)；

(2)寫出“對數(shù)的概念”的教學(xué)重點和難點；

(3)設(shè)計”對數(shù)的概念”的引入過程(要求能夠讓學(xué)生認(rèn)識到引入對數(shù)的概

念的必要性)。(2016年下半年真題)

第一部分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)科知識

第三講

第一章、數(shù)學(xué)分析

考點：1、掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義

2、求極限的方法

3、導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用

4、求解定積分與不定積分

5、能夠運用微積分基本定理求解問題

1、數(shù)列極限的定義：

設(shè)｛Xn｝為實數(shù)列，a為定數(shù).若對任給的正數(shù)￡,總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N

時有|Xn-a|<￡則稱數(shù)列｛Xn｝收斂于a,定數(shù)a稱為數(shù)列｛Xn｝的極限，并記

limXn=a

作n-8或Xn-a(n—°°)

讀作“當(dāng)n趨于無窮大時，｛Xn｝的極限等于或趨于a”.

若數(shù)列｛Xn)沒有極限，則稱｛Xn｝不收斂，或稱｛Xn｝為發(fā)散數(shù)列.

該定義常稱為數(shù)列極限的￡—N定義.

對于收斂數(shù)列有以下兩個基本性質(zhì)，即收斂數(shù)列的唯一性和有界性。

定理1：如果數(shù)列｛Xn｝收斂，則其極限是唯一的。

定理2：如果數(shù)列｛Xn｝收斂，則其一定是有界的。即對于一切n(n=l,2……),

總可以找到一個正數(shù)M,使|Xn|WM。

2、函數(shù)極限的定義：

設(shè)f(x)在x0點附近(除x0點以外)有定義,A是一定數(shù)，若對任意給定的￡>0,

存在5>0

O<|-r-.r|<^的時候，有IL&

當(dāng)o

則稱A是函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于xo的時候的極限,

liin，/、4

---/。）二人

.1—>Ag

記為或者記為：

/(.r)A(,r-%)

3、求極限的一般方法：

⑴直接代入法。以x=xO代入f(x),如f(xO)有意義，則極限為f(xO)

⑵約分法。如f(x)為分式，且分子、分母可約分，約分后所得的式子g(xO)有意義,

則函數(shù)極限為g(xO)。

⑶有理化法。如f(x)為分式，且分子、分母中其一為無理式，可將其有理化后再

約分，如所得g(xO)有意義，則極限為g(xO)。

⑷若X-8,f(x)為分式，分子、分母均為多項式時，可將分子、分母同除以x

的最高次累，再逐項求極限。

4、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(1)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟:

求導(dǎo)數(shù)f'(x)；

求方程f'(x)=O的根；

檢驗f'(x)在方程f'(x)=O的根的左右的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，右

側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)y=f(x)在這個根處取得極大值；如果在根的右側(cè)附近為正,

左側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)y=f(x)在這個根處取得極小值。

(2)函數(shù)的最大值和最小值

設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間［a,b］內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)y=f(x)在［a,b］上的最大值與最小值，

可分兩步進(jìn)行：

求y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;

將y=f(x)在各極值點的極值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最

小的一個為最小值。

若函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；

若函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值。

5、微分學(xué)基本定理

拉格朗日(Lagrange)中值定理

這個定理也稱為微分學(xué)的中值定理，它是微分學(xué)中的一個很重要的定理。

設(shè)函數(shù)f(x)滿足：

(i)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；

(ii)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點專，使得

b-a一一拉格朗日公式.

注：當(dāng)f(a)=f(b)時，拉格朗日定理就是羅爾定理，可見，羅爾定理是拉格朗日定

理的一個特例.

羅爾(Rolle)定理

Y=f(x)滿足：

(1)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)

(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

⑶f(a)=f(b)

在(a,b)內(nèi)至少存在一點

4，使/'《)=0.

柯西中值定理

設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間［a,b］上滿足

1)f(x),g(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；

2)在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，且Vxe(ab)，有g(shù)f(x)=0,

則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)必定(至少)存在一點4，使得

g'(g)g(分)一g(")

三者關(guān)系

羅爾定理推廣拉格朗日定理

/隹)=。_f@=f?弋二?=:化)

推廣g(x)=x

柯西定理

f9)-f(a)廠化)

g(6)-g(。)g'(&)

第四講

第二章高等代數(shù)

考點：1、掌握矩陣、行列式的性質(zhì)，求解線性方程組的方法。

2、會化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，會判斷二次型的正定性。

3、了解線性空間的定義及簡單性質(zhì)，線性變換的定義、性質(zhì)及歐氏

空間的一些概念。

考點聚焦：1、本章知識在歷年考試中大多以選擇題和解答題的形式出現(xiàn)。

2、在歷年考試中，行列式的計算和性質(zhì)、克萊姆法則、矩

陣的概念及運算、矩陣的性質(zhì)、線性空間的定義及簡單性質(zhì)是考查的重點，考生

在復(fù)習(xí)這部分知識的時候，要注意多加練習(xí)，在掌握理論的基礎(chǔ)上靈活運用。

1、行列式的性質(zhì)：

性質(zhì)1：行列互換，行列式不變。

性質(zhì)2：

a?…町,%ai2…a}n

的1El

…kain=k,?*%

aaa

anl?2,,,nna“ian2…??即一行的公因子可以提出

去，或者說以一數(shù)乘行列式的一行相當(dāng)于用這個數(shù)乘此行列式。

性質(zhì)3：

即如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個行列式就等于兩個行列式的和，而這兩個

行列式除這一行以外全與原來行列式的對應(yīng)的行一樣。

性質(zhì)4：如果行列式中有兩行相同，那么行列式為零。所謂兩行相同就是說兩行

的對應(yīng)元素都相等。

性質(zhì)5：如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零。

性質(zhì)6：把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變。

性質(zhì)7：對換行列式中兩行的位置，行列式反號。

2、矩陣：

(1)定義：由mxn個數(shù)aij(i=l,2,…,m;j=l,2,…,n)排成m行n列的數(shù)表,

Cao----a、

儀21a22。2rl

N=

l-i-2-amn>

叫做m行n列矩陣，簡稱mxn矩陣。這mxn個數(shù)叫做矩陣A的元素，aij叫做

矩陣A的第i行第j列的元素。

上述的矩陣A也簡記為A=(aij)mxn或A=(aij)

mxn矩陣A也記為Amxn

(2)矩陣的加法:兩個m行n列矩陣A=(aij)mxn,B=(bij)mxn對應(yīng)位置相加得

到的m行n列的矩陣，稱為矩陣A與矩陣B的和，記為A+B,即

■

4+8=⑷*+(如.@+4)叫

注意：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才能進(jìn)行加法運算。

矩陣加法的運算律：

(1)N+H+上1

C2)(N+B)+U=N+(萬+O

+—=O,N+O=X

由此規(guī)定矩陣的減法為

A-B=A+(一君)=(%-%)

(3)數(shù)與矩陣相乘：以數(shù)人乘矩陣A的每一個元素所得到的矩陣稱為數(shù)人與矩

陣A的積，記作入A或A、，如果A=(aij)mxn,那么

44=/%=(%%)如

數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律：

(1)(2")力—入3N)

(2)(2+")N—+

(3)2(N+B)=2N+AB

(4)1/=/-

注意：矩陣的數(shù)乘與行列式的數(shù)乘是不一樣的，矩陣的數(shù)乘是數(shù)乘矩陣每一個

元素，行列式的數(shù)乘是數(shù)乘行列式的某行(某列)的每一元素。

矩陣的特征值與特征向量

定義設(shè)A是n階方陣，如果數(shù)人和n維非零列向量x使關(guān)系式Ax=Xx⑴

成立，那么這樣的數(shù)X稱為矩陣A特征值，非零向量x稱為A的對應(yīng)于特征值X

的特征向量.⑴式也可寫成，(A-AE)X也⑵

這是n個未知數(shù)n個方程的齊次線性方程組,它有非零解的充分必要條件是系數(shù)

行列式IA-XE|=0,(3)

3、線性空間

定義：設(shè)V是一個非空集合，R為實數(shù)域.如果對于任意兩個元素

總有唯一的一個元素yeV與之對應(yīng)，稱為a與B的和，記作丫=a+B。

若對于任一數(shù)幾eA與任一元素a￡匕總有唯一的一個元素8

與之對應(yīng)，稱為人與a的積，記作6=a+A。

如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律，那

么V就稱為數(shù)域R上的向量空間(或線性空間).

3、線性空間

設(shè)a,〃€用

(l)a+￡=p+a;|(5)以=用

(2)(a+))+y=a+(夕(6)2(〃a)=|

⑶在呻存在零元素0,對任何ae匕都有a+0=a;|

(7)(2+〃)a=Aa+4a

(4)對任何ae/,都有a的負(fù)元素夕e/,使a+/?=0;|(8)4(a+〃)=4

線性空間的性質(zhì)：1.零元素是唯一的.

2.負(fù)元素是唯一的.向量a的負(fù)元素記為一a

3.Oa=0;(―l)cr=—a;20=0.

4.如果Xa=0則入=0或a=0.

4、歐氏空間的定義

設(shè)V是實數(shù)域R上的線性空間，對V中任意兩個向量a、P，定義一個二元實函

數(shù)，記作

(a、0)若(a、0)滿足性質(zhì)：

中a,J3=V等k-R

1。(a,0=(ea)

2°(ka^)=k(a,j3)

3°(a+』M=(a4)+(PM

4°(a,a)20,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(a,a)=0.

則稱(a、0)為a和0的內(nèi)積，并稱這種定義了內(nèi)積的

實數(shù)域R上的線性空間V為歐氏空間.

考試真題

下列命題正確的是()(2016年下半年真題)

A.若三階行列式D=0,那么D中有兩行元素相同

B.若三階行列式D=0,那么D中有兩行元素對應(yīng)成比例

C.若三階行列式D中有6個元素為零，則D=0

D.若三階行列式D中有7個元素為零，則D=0

解析：三階行列式D中若7個元素為零，則至少有一行(或列)的元素全是零,

所以它的值為0.

第五講

第三章空間解析幾何

1、空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念

⑴空間直角坐標(biāo)系：以空間一點。為原點，建立三條兩兩垂直的數(shù)軸:

x軸，y軸，z軸.這時建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz,其中點。叫做原點.x軸,

y軸，z軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸.由坐標(biāo)軸確定的平面叫做坐標(biāo)平面.

(2)空間一點M的坐標(biāo)為有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),記作M(x,y,z),

其中x叫做點M的橫坐標(biāo)，y叫做點M的縱坐標(biāo)，z叫做點M的豎坐標(biāo).

2、空間向量的有關(guān)定理

⑴共線向量定理：對空間任意兩個向量a,b(bWO),a//b的充要條件是存在實

數(shù)入，使得a=入b.

⑵共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，那么向量c與向量a,b共面的充

要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使c=xa+yb.

3.空間向量的數(shù)量積及運算律

⑴數(shù)量積及相關(guān)概念

已知兩個非零向量”，b,在空間任取

一點。，作后=〃，OB=bf則_______叫

做向量。與方的夾角，記作儲，b),其范

圍是OW〈a,b)4靠,若(a,b)=不，則

?

①兩向量的夾角稱〃與辦互相垂直，記為〃_L4________

②兩向量的數(shù)量積

已知空間兩個非零向量a,b,則|a||b|cos(a,b)叫做a,b的數(shù)量積，記作a?b,

即a?b=|a||b|cos(a,b).

⑵數(shù)量積的運算律

①結(jié)合律：(Aa)?b=3(a?b)；

②交換律：a?b=b?a；

③分配律：a,(b+c)=a?b+a?c.

4.空間向量坐標(biāo)表示及應(yīng)用

⑴數(shù)量積的坐標(biāo)運算

若a=(al,a2,a3),b=(bl,b2,b3),則a?b=albl+a2b2+a3b3

⑵共線與垂直的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(al,a2,a3),b=(bl,b2,b3),則a〃b=a=入b=al=入bl,a2=Xb2,

a3=入b3,a_Lb=a,b=O=albl+a2b2+a3b3=0(a,b均為非零向量).

(3)模、夾角和距離公式

€1(^19。2,。3))辦3)>

貝川I"I=,

+a2b23b3

COS〈"，b>=F^7=2+?22H-?322+^22+^3^

l"l網(wǎng)-------------------------------------

彳a》)。3)，辦3)》貝ll

2

=74&廠—b。+(。2—62)2+(。3—乃3『

5、兩平面的相關(guān)位置

定義兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.（通常取銳角）

按照兩向量夾角余弦公式有

U：4丫+幻+*+“=0,

%={A,居,cj.

口2：4丫+町+。22+。2=0,

〃2={^2，，。2}，

c。l44+?+qq|

M+B；+C；.H+B；+C；

(兩平面夾角余弦公式)

兩平面位置特征：

(1)耳皿

<==>AJAJ+BAB2+GO?=。；

(2)nx//n2

un4="=邑

4B2C2,

6、直線與平面的關(guān)系

定義：直線和它在平面上的投影直線的夾角。稱為直線與平面的夾角.

設(shè)

L:%_%0_J-Jo_ZT。

n：Ax+By+Cz+D=O9

ABC

(1)L±n—>—=—=—.

mnp

(2)LUn<=nAm+Bn+Cp=^.

直線與平面的夾角公式

|Am+Bn+Cp\

sin0=

^A2+B2+C2-7m2+n2+p2

7、空間兩直線的相關(guān)位置

定義：兩直線的方向向量的夾角稱之為該兩直線的夾角.（銳角）

設(shè)：L1:

X—x^,

y-y2

L2:zPl

兩直線的位置關(guān)系:

(1)A-L￡2<=>呵嗎+丐丐+馬戶2=°，

%/P1

(2)LJIL2<=^>—,

?2?2P1

兩直線的夾角公式:

\m1m2^n1n2^p1p2\

/222/222

+W1+AV?2+/+P2

第四章概率論與數(shù)理統(tǒng)計

1、隨機(jī)事件

定義：一個隨機(jī)試驗E中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為該試驗的隨機(jī)事件

(簡稱事件)通常用字母A、B、C等表示。

事件的運算規(guī)律：(1)交換律：AUB=BUA,AB=BA

(2)結(jié)合律：(AUB)UC=AU(BUC),(AB)C=A(BC)

(3)分配律：(AB)UC=(AUC)?(BUC)(AUB)C=(AC)U(BC)

⑷德摩根公式：

A<JB-AoB

Ar>B-B

概率的公理化定義:設(shè)E是隨機(jī)試驗，。是E的樣本空間，對于E的每一個事件A

對應(yīng)唯一的實數(shù)值，記為P(A),稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P(A)滿足下列

條件：

非負(fù)性：尸（/）-°

(1)

規(guī)范性：尸（。）=1

(2)

2^,

152,

(3)可列可加性：'是任意無窮多個互不相容的事件,

P（U4）-EP（4）

Z=1Z=1

有

則稱P（A）為事件A的概率。

隨機(jī)事件的獨立性定義：設(shè)事件A、B是某一隨機(jī)試驗的任意兩個事件，若滿足

%/方）=尸（/）尸（㈤，則稱事件…互相獨立

2、隨機(jī)變量的數(shù)字特征

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理：設(shè)X為隨機(jī)變量，y=g（x）為實函數(shù),

P（X=x）=p：,i=1,2,---

（1）設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，概率分布為\I）S

若爭⑺“絕對收斂，則到g⑺]

存在，且

萬[g(X)]=京

Z=1

（2）設(shè)x為連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為f（x）,若Loo

司g（x）]

絕對收斂則存在且

石[g(x)]=J'g{x}f{x}dx.

注：為求y=g(x)的數(shù)學(xué)期望，可以不必通過求y的概率分布(離散)或密度函數(shù)

(連續(xù))，而只需直接利用x的概率分布或密度函數(shù)。

3、隨機(jī)變量的方差的計算

(1)定義法離散情形

=x),

pi=P(X

若x為離散型隨機(jī)變量，概率分布為口,"

OO

22

D(X)=E(X-百)=￡(XZ.-KT)A.

則i=l

連續(xù)情形：若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為f(X),則

D(J)=￡(y-￡X)2=['\x-EXy(x)dx.

J-00

(2)公式法

0(X)=￡(『)—(EX)2

4、常用離散型分布的數(shù)學(xué)期望和方差

分布名稱概率分布數(shù)學(xué)期望方差

0-1分布p(x=l)=p,p(x=0)=qPpq

p(x=k)式:曲骨用心

二項分布npq

#一N

P(X=k)=^e-A,k=0,l,--

泊松分布22

iq

2

幾何分布p[x=k)=pqi,k=12…PP

退化分布p(x=c)=lC0

A->O11

指數(shù)分布OxvO2

(X-A)2

/(x)=/y~e2b22

正態(tài)分布72幾b

II、高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識

第六講

第一章集合、邏輯與算法初步第二章函數(shù)

第三章不等式與數(shù)列第四章立體幾何

第五章解析幾何第六章向量與復(fù)數(shù)

第七章推理證明與排列組合第八章統(tǒng)計與概率

第九章數(shù)學(xué)史

第一章、集合、邏輯與算法初步

考點：1、掌握集合之間的運算法則

2、能夠使用常用的邏輯用語

3、能夠運用算法基礎(chǔ)知識求解實際問題

考點聚焦：

1、本章知識在歷年考試中大多以選擇題和解答題的形式出

現(xiàn)。

2、在歷年考試中，邏輯用語中的充分條件、必要條件、充分

必要條件的運用，算法中的框圖是考查的重點，考生在復(fù)習(xí)這部分知識的時候，

要與第二部分課程知識內(nèi)容結(jié)合起來，在掌握理論的基礎(chǔ)上靈活運用。

1、集合的基本概念：

一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集，通常用大寫字母

A、B、C表示.集合中的每一對象叫做集合的一個元素，通常用小寫字母a、b、c-

表示

集合中元素的性質(zhì)：

確定性、互異性、無序性

集合間的基本關(guān)系：

全集：一般地，如果一個集合包含我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱

這個集合為全集，通常記作U.

子集：一般地，對于兩個集合A、B,如果集合A中的任意一個元素都是集合B

人u4

中的元素，我們就稱兩個集合有包含關(guān)系，稱A為B的子集，記作-讀

“A包含于B”

A(^_B

真子集：=A包含與B,A不等于B

2、集合間的基本運算

交集：定義：由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A,B的交集。記

作八ns

An={-VIAG人且主GB}

即讀作“A交B”。

并集：定義：由所有屬于A或?qū)儆贐的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記

作AU3

八{(lán)AxA或工￡

即U4=II匕e一乂uZ?j)讀作“A并B”。

補(bǔ)集：定義：設(shè)U是一個集合，A是U的一個子集，由U中所有不屬于A的元

素組成的集合，叫做U中子集A的補(bǔ)集(或余集)，記作

且

Cl;A={x|.reUxgA}

(1)交換律：AUB=BUA,AB=BA

(2)結(jié)合律：(AUB)UC=AU(BUC),(AB)C=A(BC)

(3)分配律：(AB)UC=(AUC)?(BUC),

(AUB)C=(AC)U(BC)

3、命題：可以判斷真假的語句叫做命題。判斷為真的語句叫做真命題，判斷為

假的語句叫做假命題。真命題為真，假命題一定為假，真命題為假，假命題一定

為真。

四種命題：原命題：若p則q；逆命題：逆命題若q則p；否命題：若一p則

一-q；逆否命題：若則1（p

結(jié)論：（1）互為逆否的命題，同真同假；（2）原命題與逆命題，原命題與否

命題，它們的真假性沒有關(guān)系。

4、充分條件與必要條件

1.若pq,則p叫做q的充分條件，則q叫做p的必要條件；

若pOq,則p叫做q的充分必要條件，簡稱為充要條件.

2.如果p=>q且P,我們稱P為q的充分不必要條件，如果p*’q且

q二.P，則我們稱P為q的必要不充分條件.

3.判斷充要條件的方法

⑴原命題為真，逆命題為假時，則p是q的充分不必要條件；

(2)原命題為假，逆命題為真時p是q的必要不充分條件；

⑶原命題與逆命題都為真時，p是q的充分必要條件；

(4)原命題與逆命題都為假時，p是q的即不充分也不必要條件.

真題再現(xiàn)

,"a<r是六成立的()

(2015年上半年真題)

A.充分條件但不是必要條件

B.充分必要條件

C.必要條件但不是充分條件

D.以上都不是

第二章函數(shù)

考點：1、熟練掌握高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分基礎(chǔ)知識

2、把握函數(shù)、基本初等函數(shù)的分類

3、深入理解三角函數(shù)的性質(zhì)

考點聚焦：1、本章知識在歷年考試中大多以選擇題、解答題的形式出現(xiàn)。

2、在歷年考試中，函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用尤其是三角函數(shù)的應(yīng)用是考查

的重點，考生在復(fù)習(xí)的時候，注意準(zhǔn)確理解、靈活運用。

1、函數(shù)的定義：

設(shè)A,B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的

任意一個數(shù)X,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A-B

為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x),xCA.其中，x叫做自變量，與

x值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值.

2、函數(shù)的基本性質(zhì)

A、奇偶性

(1)定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(—x)=—f(x),則稱f(x)為奇

函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(—x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù)。

(2)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：

首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；

確定f(—x)與f(x)的關(guān)系；

作出相應(yīng)結(jié)論:若f(—x)=f(x)或f(—X)—f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù):

若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=o,則f(x)是奇函數(shù)。

(3)簡單性質(zhì)：

①圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對

稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；

②設(shè)f(x),g(x)的定義域分別是DI,D2那么在它們的公共定義域上：

奇+奇=奇，奇義奇=偶,偶+偶=偶，偶乂偶=偶

B、單調(diào)性

(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)

間D內(nèi)的任意兩個自變量xl,x2,當(dāng)xl<x2時，都有f(xl)<f(x2)(f(xl)>f(x2)),

那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(減函數(shù))；

(2)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：

①任取xl,X2ED,且xl<x2；

②作差f(xl)—f(x2)；

③變形(通常是因式分解和配方)；

④定號(即判斷差f(xl)—f(x2)的正負(fù))；

⑤下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性)。

C、最值

(1)定義：最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足:

①對于任意的xGI,都有f(x)WM；②存在xOGI,使得f(xO)=M。那么，稱M是

函數(shù)y=f(x)的最大值。最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實

數(shù)M滿足：①對于任意的xWI,都有f(x)2M；②存在xOWI,使得f(xO)=M。那

么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。

(2)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值的方法:①利用二次函數(shù)的性質(zhì)

(配方法)求函數(shù)的最大(小)值;②利用圖象求函數(shù)的最大(小)值；③利用

函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)

在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［b,c］

上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

D、周期性

(1)定義：如果存在一個非零常數(shù)T,使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x,都有

f(x+T)=f(x),則稱f(x)為周期函數(shù)；

TT、

(2)性質(zhì)：①f(x+T)=f(x)常常寫作--若f(x)的周期中，

存在一個最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的最小正周期；②若周期函數(shù)f(x)的周期為T,

T

則f(3X)(3W0)是周期函數(shù)，且周期為?①o

2、三角函數(shù)

A.特殊角的三角函數(shù)值：

sin30°=-^

wsin600=^^

sinO=0--cOsin90°=l

sm45=-----

22

cos0°=1cos300=^-cos900=0

7cos60°=—

cos45°=-----

c2

tanO=02tan900無意義

tan600=也

tan300=—

3tan45°=l

B.弧長及扇形面積公式:

7=\a\r-lr

弧長公式：II扇形面積公式:S=2

a--是圓心角且為弧度制。r---是扇形半徑

C.任意角的三角函數(shù)

J—十/

設(shè)a是一個任意角，它的終邊上一點p(x,y),r=

_X

tyy

正弦sina二/余弦cosa="正切tana=x

D.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:

sina.

22-------=tana

sina+cosa=locosa

（l）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系:

E.誘導(dǎo)公式：（奇變偶不變，符號看象限。）

(l)sin(2Zr^+a)=sina,cos(2Ax+a)=cosa,tan(2A7T+a)=tana(4eZ).

(2)sin(^+a)=-sina,cos(乃+a)=—cosa,tan(乃+a)=tana?

(3)sin(-a)=—sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=—tana?

(4)sin(^7—a)=sina,cos(^*-a)=-cosa>tan(乃一a)=—tana?

(口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限.)

71

a,=cosa,cosg-aj=sina.

J+aj=cosa,cos—stna.

（口訣：正弦與余弦互換，符號看象限.）

F.三角函數(shù)公式:

兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系:

sin(a±￡)=sina，cos￡±cosa，sin￡

cos(a±￡)=cosa，cos尸干sina?sin尸

/iftana±tan￡

tan(a±J3)=-----------------

1Ttana-tan

倍角公式:

sin2<z=2sincosiz

cos2cc=cos2ct-sin2ct

=Zcos2dz-1

=1-2sin2cc

-2tancc

tan2a=-------------------

1—tan.CC

G.正弦定理：

b

-=2R.

sinAsinBsinC

余弦定理:

a1=b1+c，-2bccosA:

b1=c2+/-leacosB:

c1=a2+b2-labcosC.

三角形面積定理

,S=—absinC=—icsinJ=-cflsin5.

222

真題再現(xiàn)

保跛物目叫上睇田硼內(nèi)可導(dǎo)且回砌時,/U)>o又用<0M

(2014年下半年真題)

A.f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,且f(b)>0

B.f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減,且f(b)V0

C.f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減,但f(b)的正負(fù)無法確定

D.f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,但f(b)的正負(fù)無法確定

第七講

第三章、方程、不等式、數(shù)列與極限

考點：1、掌握一元二次方程、一元三次方程根與系數(shù)關(guān)系及方程根的判別法。

2、把握函數(shù)與不等式的關(guān)系，深入認(rèn)識函數(shù)知識的應(yīng)用。

3、掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式。

4、理解極限的含義，熟練掌握極限的計算。

考點聚焦：

1、本章知識在歷年考試中大多以選擇題和解答題的形式出

現(xiàn)。

2、在歷年考試中，一元三次方程根與系數(shù)關(guān)系、不等式的求

解、等差數(shù)列和等比數(shù)列的應(yīng)用、極限的運算是考查的重點，考生在復(fù)習(xí)時要注

意多加練習(xí)，以便靈活運用。

1、一元二次方程

只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程

叫做一元二次方程。標(biāo)準(zhǔn)形式:ax?+bx+c=O(aWO),設(shè)其兩根為xl,x2,則xl+x2=-b

/a,xlx2=c/a,△=b?-4ac;當(dāng)△>0,方程有兩相異實根，當(dāng)△=€),方程有一根，

當(dāng)AV0,方程無解。

四種解法：

(1)直接開平方法

形如x2=p或(nx+m)2=p(p2o)的一元二次方程可采用直接開平方法解一元二

次方程。

如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±'Jp.

①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個常數(shù)。

②降次的實質(zhì)是由一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程。

③方法是根據(jù)平方根的意義開平方。

(2)配方法

將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解

一元二次方程的方法叫配方法。

用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為一般形式；

②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二