2025高考數學一輪復習-第4章-第8節(jié) 第三課時 解三角形的綜合應用【課件】

第四章三角函數、解三角形

第8節(jié)正弦定理和余弦定理及其應用第三課時解三角形的綜合應用目

錄CONTENTS考點聚焦突破01課時分層精練02考點聚焦突破1KAODIANJUJIAOTUPO考點一多邊形中的解三角形問題(2)線段AC的長度.由余弦定理，得BC2＝BD2＝AD2＋AB2－2AD×AB×cosθ感悟提升平面幾何中解三角形問題的求解思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結果.(2)△BCD的面積.考點二三角形中的最值(范圍)[滿分規(guī)則]?得步驟分①處的實質都是解三角方程，都要注意寫清楚角的范圍，否則易失步驟分.?得關鍵分②處消去角A是本題得解的關鍵所在.?得計算分③處利用基本不等式求最小的關鍵是把目標函數化為其適用形式.解選①：由正弦定理及2a－b＝2ccosB，得2sinA－sinB＝2sinCcosB，又∵sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴2sinBcosC＝sinB.考點三三角形中的證明問題例3(2022·全國乙卷)設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).(1)若A＝2B，求C；將A＝2B代入sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsinB＝sinBsin(C－A).因為B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以sinC＝sin(C－A).(2)證明：2a2＝b2＋c2.證明法一由sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，可得sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，結合正弦定理可得，accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，即accosB＋abcosC＝2bccosA(*).2bccosA＝b2＋c2－a2，將上述三式代入(*)式并整理，得2a2＝b2＋c2.法二因為A＋B＋C＝π，所以sinCsin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sinBsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.感悟提升對于解三角形中的證明問題，要仔細觀察條件與結論之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)二者的差異，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等變換把條件轉換為結論，即為證明過程.訓練3(2024·開封調研)已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin(B－C)·tanA＝sinBsinC.(1)若A＝B，求sin2A的值；∵0<A<π，∴sinA≠0，即sinBcosC－sinCcosB＝cosAsinC，∵A＝B，∴sinAcosC－sinCcosA＝cosAsinC，∴sinAcosC＝2cosAsinC.又∵C＝π－2A，∴sinAcos(π－2A)＝2cosAsin(π－2A)，即－sinAcos2A＝2cosAsin2A，即－sinA(1－2sin2A)＝4sinAcos2A，整理得2sin2A－1＝4－4sin2A，則sinAsinBcosC－sinAsinCcosB＝cosAsinBsinC，故sinAsinBcosC＝sinC(cosAsinB＋sinAcosB)，∴sinAsinBcosC＝sinCsin(A＋B)，∵A＋B＝π－C，∴sinAsinBcosC＝sin2C.課時分層精練2KESHIFENCENGJINGLIAN證明設BD＝x，則a＝BC＝2x.在△ABC中，由余弦定理，得b2＋c2－2bccosA＝4x2，即2b2＋2c2－bc＝8x2.①即b2＋4c2－bc＝4x2.②2×②－①，得6c2－bc＝0.又c≠0，所以b＝6c.3.(2024·西安調研)如圖，在平面四邊形ABCD中，AC⊥AD，AC＝AD＝7，AB=3. (1)若BD＝8，求△ABC的面積；解