2024-2025學年內(nèi)蒙古呼倫貝爾市高二上學期第一次月考數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年內(nèi)蒙古呼倫貝爾市高二上學期第一次月考數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知復數(shù)z滿足，則的虛部是（

）A． B．1 C． D．i2．已知集合P=，，則PQ=（

）A． B．C． D．3．若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為3，那么數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（

）A．10，12 B．10，14 C．4，3 D．6，34．已知，則（

）A．2 B． C．3 D．5．高一（1）班30名學生的一次數(shù)學考試成績按從小到大排序結(jié)果如下：5154596064686870717272747576798080818283858788909192939598100則估計這次數(shù)學考試成績的第75百分位數(shù)為（）A．87 B．88 C．90 D．87.56．某校高一、高二、高三年級學生人數(shù)分別是、、采用分層抽樣的方法抽取人，參加學校舉行的社會主義核心價值觀知識競賽，則樣本中高三年級的人數(shù)是（）A． B．C． D．7．我國某城市2019年4月的空氣質(zhì)量狀況統(tǒng)計如下表所示:污染指數(shù)3060100110130140天數(shù)3510741當時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；當時，空氣質(zhì)量為良；當時，空氣質(zhì)量為輕微污染.該城市2019年4月空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為（

）A． B． C． D．8．已知，，，若，，，四點共面，則（

）A．3 B． C．7 D．二、多選題（本大題共3小題）9．拋擲一枚骰子1次,記“向上的點數(shù)是4,5,6”為事件A,“向上的點數(shù)是1,2”為事件B,“向上的點數(shù)是1,2,3”為事件C,“向上的點數(shù)是1,2,3,4”為事件D,則下列關(guān)于事件A，B，C，D判斷正確的有（

）A．A與B是互斥事件但不是對立事件B．A與C是互斥事件也是對立事件C．A與D是互斥事件D．C與D不是對立事件也不是互斥事件10．關(guān)于統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析，則以下結(jié)論中錯誤的是（

）A．將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都減去同一個數(shù)后，方差沒有變化B．繪制頻率分布直方圖時，各小矩形的面積等于相應各組的組距C．一組數(shù)據(jù)的方差一定是正數(shù)D．如圖是隨機抽取的輛汽車通過某一段公路時的時速分布直方圖，根據(jù)這個直方圖，可以得到時速在的汽車大約是輛11．已知一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，下列說法正確的是（

）A．該樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為B．若樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，則其平均數(shù)大于中位數(shù)C．剔除某個數(shù)據(jù)（，2，…，20）后得到新樣本數(shù)據(jù)的極差不大于原樣本數(shù)據(jù)的極差D．若，，…，的均值為2，方差為1，，，…，的均值為6，方差為2，則，，…，的方差為5三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，分別是直線的方向向量，若，則．13．一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個，取得兩個紅球的概率為，取得兩個綠球的概率為，則至少取得一個紅球的概率為.14．已知甲袋中有2個白球、3個紅球、5個黑球；乙袋中有4個白球、3個紅球、3個黑球，各個球的大小與質(zhì)地相同．若從兩袋中各取一球，則2個球顏色不同的概率為．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求B的大小；（2）若，求的面積．16．如圖，從參加環(huán)保知識競賽的學生中抽出名，將其成績（均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布表和頻率分布直方圖如下，回答下列問題：分組人數(shù)頻率[39．5,49．5）a0.10[49．5,59．5）9x[59．5,69．5）b0.15[69．5,79．5）180.30[79．5,89．5）15y[89．5,99．5]30.05

（1）分別求出的值，并補全頻率分布直方圖；（2）估計這次環(huán)保知識競賽平均分；（3）若從所有參加環(huán)保知識競賽的學生中隨機抽取一人采訪，抽到的學生成績及格的概率有多大？17．已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點.(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離.18．從某學校的800名男生中隨機抽取50名測量身高，被測學生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．(1)求第七組的頻率；(2)估計該校的800名男生的身高的平均數(shù)和中位數(shù)；(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求．19．在神舟十五號載人飛行任務取得了圓滿成功的背景下．某學校高一年級利用高考放假期間組織1200名學生參加線上航天知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：

(1)若從成績不高于60分的同學中按分層抽樣方法抽取10人，求10人中成績不高于50分的人數(shù)；(2)求的值，并以樣本估計總體，估計該校學生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；(3)由首輪競賽成績確定甲、乙、丙三位同學參加第二輪的復賽，已知甲復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，乙復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，丙復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求三人中至少有兩位同學復賽獲優(yōu)秀等級的概率．

答案1．【正確答案】B【分析】先由等式，反解出，再利用復數(shù)的除法運算法則，求出復數(shù)z即可.【詳解】由已知，得，所以z的虛部為1.故選：B.2．【正確答案】B【分析】根據(jù)集合交集定義求解.【詳解】.故選B.3．【正確答案】A【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為3，所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.故選：A4．【正確答案】C【詳解】因為，所以.故選：C.5．【正確答案】B【分析】根據(jù)百分位數(shù)的概念，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)果.【詳解】由，可知樣本的第75百分位數(shù)為第23項數(shù)據(jù)，據(jù)此估計這次數(shù)學考試成績的第75百分位數(shù)為88.故選：B.6．【正確答案】A先求出抽樣比，再計算從高三年級中應抽取的人數(shù).【詳解】抽樣比為：，高三年級的人數(shù)是人，故選：A7．【正確答案】A【詳解】由表知，4月空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的有故概率為故選：A8．【正確答案】C【詳解】因為，，，四點共面，所以，，共面，設(shè)，因為，，，所以，則，解得．故選：C.9．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)互斥事件的定義以及對立事件的定義逐個判定即可.【詳解】拋擲一枚骰子1次,記“向上的點數(shù)是4,5,6”為事件A,“向上的點數(shù)是1,2”為事件B,“向上的點數(shù)是1,2,3”為事件C,“向上的點數(shù)是1,2,3,4”為事件D,在A中,A與B不能同時發(fā)生,但能同時不發(fā)生,是互斥事件但不是對立事件,故A正確；在B中,A與C是互斥事件也是對立事件,故B正確；在C中,A與D能同時發(fā)生,不是互斥事件,故C錯誤；在D中,C與D能同時發(fā)生,不是對立事件也不是互斥事件,故D正確.故選：ABD.本題主要考查了互斥與對立事件的判定,屬于基礎(chǔ)題.10．【正確答案】BC【詳解】A選項，∵方差反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，∴整體變化不改變波動大小，∴將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都減去同一個數(shù)后，方差不變，對，B選項，頻率分布直方圖中，各小矩形的面積等于相應各組的頻率，錯，C選項，由得出方差是非負數(shù)，錯，D選項，根據(jù)頻率分布直方圖得，時速在的汽車大約是（輛），對，故選：BC.11．【正確答案】BC【分析】由百分位數(shù)的定義即可判斷A；由極差的定義即可判斷C，由頻率分布直方圖中中位數(shù)、平均數(shù)的求法畫出圖形即可判斷B；由方差計算公式即可判斷D.【詳解】對于A，由，所以樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為，故A錯誤；對于B，數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，向右邊“拖尾”，大致如下圖，由于“右拖”時最高峰偏左，中位數(shù)靠近高峰處，平均數(shù)靠近中點處，此時平均數(shù)大于中位數(shù)，故B正確；對于C，剔除某個數(shù)據(jù)（，2，…，20）后得到新樣本數(shù)據(jù)的極差不大于原樣本數(shù)據(jù)的極差，故C正確；對于D，由，則，所以則，，…，的方差為，故D錯誤.故選：BC.12．【正確答案】18【詳解】，，所以存在實數(shù)，使得，則，解得，，..故18.13．【正確答案】【分析】“至少取得一個紅球”與“取得兩個綠球”為對立事件，利用對立事件的概率公式求出概率.【詳解】由于事件A“至少取得一個紅球”與事件B“取得兩個綠球”是對立事件，則至少取得一個紅球的概率為.故答案為.14．【正確答案】/0.68【分析】找出基本事件總數(shù)和滿足條件的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型公式求解即可.【詳解】由題，甲袋中共有10個球，乙袋中共有10個球，則從兩袋中各取一球，基本事件總數(shù)為，取出的2個球顏色不同，可能為：（甲白，乙紅），（甲白，乙黑），（甲紅，乙白），（甲紅，乙黑），（甲黑，乙白），（甲黑，乙紅），則2個球顏色不同的基本事件數(shù)為，所以，故15．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理和兩角和的正弦函數(shù)公式，化簡得，求得，即可求解；（2）由余弦定理可得，結(jié)合，求得，利用三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，又，所以，因為，則，所以，因為，所以.（2）因為，，由余弦定理可得，整理得，又，解得，所以.本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應用，其中在解有關(guān)三角形的題目時，要抓住題設(shè)條件和利用某個定理的信息，合理應用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16．【正確答案】（1），，，（2）70.5（3）0.75【詳解】（1），，，（2）用組中值估計平均分：（3）本次競賽及格率為：，用樣本估計總體，每個人被抽到的概率相同，∴從所有參加環(huán)保知識競賽的學生中隨機抽取一人采訪，抽到的學生成績及格的概率為．考點：（1）互斥事件的概率加法公式（2）頻率分布表17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，連接，，利用、得四邊形是平行四邊形，從而利用線面平行的判定定理證明即可.（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，然后利用點到平面距離的向量公式求解即可.【詳解】（1）取中點，連接，，由是的中點，故，且，由是的中點，故，且，則有，，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，有、、、、、，則有、、，設(shè)平面的法向量分別為，則有，取，則有，即點到平面的距離為.18．【正確答案】(1)；(2)平均數(shù)為，中位數(shù)為；(3)．【分析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)求第七組的頻率；(2)根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)；(3)確定樣本空間，利用古典概型概率公式求概率.【詳解】(1)第六組的頻率為，所以第七組的頻率為．(2)由直方圖得，身高在第一組的頻率為，身高在第二組的頻率為，身高在第三組的頻率為，身高在第四組的頻率為，由于，，設(shè)這所學校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則，由，得，所以這所學校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.5cm，平均數(shù)為．(3)第六組的人數(shù)為4，設(shè)為a，b，c，d，第八組的人數(shù)為，設(shè)為A，B，則從中隨機抽取兩名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15種情況，因事件發(fā)生當且僅當隨機抽取的兩名男生在同一組，所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況．所以．19．【正確答案】(1)4(2)；平均數(shù)為71；中位數(shù)為(3)【分析】（1）先分別求出的頻率，進而由10乘以抽樣比可求答案；（2）根據(jù)