2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)寧市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)寧市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．拋物線的焦點坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．已知直線與直線平行，則與之間的距離為（

）A． B．2 C． D．3．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則（

）A．4 B．5 C．6 D．74．圓與圓的公共弦的長度為（

）A． B． C． D．5．在三棱柱中，，，，，，則（

）A． B．C． D．6．若圓上恰有3個點到直線的距離為1，則r＝（

）A．1 B．2 C．3 D．47．若橢圓：的左、右焦點分別為，，為C上的任意一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第n層有個球，則數(shù)列的前20項和為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．已知直線l：，則下列說法中正確的是（

）A．直線l恒過點 B．若直線l的傾斜角為，則C．原點到直線l距離的最大值為 D．若直線l不經(jīng)過第四象限，則10．已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則下列說法中正確的是（

）A．若A與B互斥，則 B．若，則C．若A與B相互獨立，則 D．若，則A與B相互獨立11．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．時，n的最大值為13C．?dāng)?shù)列中的最大項為 D．時，n的最大值為2712．如圖所示，在棱長為2的正方體中，點E是棱的中點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．點到平面的距離為B．異面直線與所成角的余弦值為C．三棱錐的外接球的表面積為11πD．若點M在底面ABCD內(nèi)運動，且點M到直線的距離為，則點M的軌跡為一個橢圓的一部分三、填空題（本大題共4小題）13．已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則．14．若事件A，B發(fā)生的概率分別為，，且A與B相互獨立，則．15．如圖，二面角的大小為，其棱l上有兩個點，線段與分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱l．若則兩點間的距離為．16．已知雙曲線的左焦點為，過點的直線與圓相切于點，與的右支交于點，若，則的離心率為．四、解答題（本大題共6小題）17．已知圓M過點，，．(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過原點的直線l交圓M于E，F(xiàn)兩點，且，求直線l的方程．18．一個不透明的箱子中有4個紅球、2個藍(lán)球(球除顏色外，沒有其它差異)．(1)若從箱子中不放回的隨機(jī)抽取兩球，求兩球顏色相同的概率；(2)若從箱子中有放回的抽取兩球，求兩球顏色相同的概率．19．已知拋物線C：上一點M到其焦點的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2．(1)求拋物線C的方程；(2)若不過原點O的直線l：與拋物線C交于A，B兩點，且，求實數(shù)m的值．20．已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)在和之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項和．21．如圖，在多面體ABCDEF中，平面平面ABCD，是邊長為2的等邊三角形，四邊形ABCD是菱形，且，，．(1)求證：平面ACF；(2)在線段AE上是否存在點M，使平面MAD與平面MBC夾角的余弦值為．若存在，請說明點M的位置；若不存在，請說明理由．22．已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，上頂點為，且．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不過原點的直線與交于不同的兩點、，在的延長線上取一點使得，連接交于點（點在線段上且不與端點重合），若，試求直線與坐標(biāo)軸所圍成三角形面積的最小值．

答案1．【正確答案】C【分析】變形為標(biāo)準(zhǔn)形式，得到焦點坐標(biāo).【詳解】，焦點在軸上，故焦點坐標(biāo)為.故選：C2．【正確答案】A【分析】在直線上取點，求點到直線的距離即可.【詳解】在直線上取點，則與之間的距離即為點到直線的距離，即為.故選：A.3．【正確答案】D【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得公差，再利用和公差求出.【詳解】由等差數(shù)列的下角標(biāo)性質(zhì)可知，得，，得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以.故選：D.4．【正確答案】D【分析】先確定兩圓相交，再將兩圓做差可得公共弦所在直線方程，然后利用垂徑定理求弦長.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則圓心距離為，故兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線方程為，即，所以公共弦的長度為.故選：D.5．【正確答案】B【分析】借助空間向量的線性運算計算即可得.【詳解】，又，，，故.故選：B.6．【正確答案】C【分析】求出圓心到直線的距離，通過與直線的距離為的平行直線可得的大小.【詳解】圓心到直線的距離，因為圓上恰有3個點到直線的距離為1，與直線的距離為的平行直線有兩條，如圖中虛線，當(dāng)圓與這兩條平行線中的一條有2個交點，一條相切時，可滿足題意，此時.故選：C.7．【正確答案】B【分析】利用橢圓的參數(shù)方程求出關(guān)鍵點的坐標(biāo)，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式子求值域即可.【詳解】易知橢圓的參數(shù)方程為(是參數(shù))，，故，，，故設(shè)，由兩點間距離公式得，，故，而，，故，即，故B正確故選：B8．【正確答案】A【分析】根據(jù)已知條件中的規(guī)律，利用累加法求出數(shù)列的通項公式，進(jìn)而求得，利用裂項相消法求出數(shù)列的前20項和即可.【詳解】根據(jù)已知條件有，當(dāng)時，，，，，，以上各式累加得：，又，所以，經(jīng)檢驗符合上式，所以，所以，設(shè)數(shù)列的前項和為，則，所以.故選：A.9．【正確答案】AC【分析】結(jié)合直線的傾斜角與斜率，過定點問題依次判斷即可.【詳解】解：對于A項，直線，則直線l恒過點，故A項正確；對于B項，直線l的傾斜角為，則直線l的斜率為，得，故B項錯誤；對于C項，由A項知，直線l恒過點，則原點到直線l距離的最大值即為原點到點的距離，即，故C項正確；對于D項，當(dāng)時，直線不經(jīng)過第四象限，故D項錯誤.故選：AC10．【正確答案】ACD【分析】利用互斥事件概率公式分析A，條件概率公式分析B，獨立事件的性質(zhì)判斷C,獨立事件的概率公式分析D即可.【詳解】對于A，已知A與B互斥，則，故A正確，對于B，已知，則，故，故B錯誤，對于C，若A與B相互獨立，則，故C正確，對于D，易知，，故，則A與B相互獨立，故D正確.故選：ACD11．【正確答案】BC【分析】利用等差數(shù)列的前n項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到和，從而逐項判斷.【詳解】由已知，，，所以等差數(shù)列的前13項大于0，從第14項開始小于0，B正確；則，所以是遞減數(shù)列，A錯誤；且為等差數(shù)列的前n項和的最大值，C正確；，D錯誤.故選：BC.12．【正確答案】ACD【分析】對于A，利用點到平面的距離公式處理即可，對于B，利用線線角的向量求法處理即可，對于C，利用球的方程解出半徑再求面積即可，對于D，利用點到直線的距離公式求出軌跡方程，利用二次曲線系的知識判定橢圓即可.【詳解】對于A：以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，，設(shè)面的法向量，點到平面的距離為，則，，令，解得，，故，由點到平面的距離公式得，故A正確，對于B：易知，，故，，設(shè)異面直線與所成角為，則，故B錯誤，對于C:設(shè)三棱錐的外接球的方程為，將代入球的方程，可得，，，，利用加減消元法可得，，解得，代入方程中可得，，解得，，故表面積為，故C正確，對于D：易得，故與平行的單位向量，設(shè)，，由點到直線的距離公式得，化簡得而，結(jié)合二次曲線系知識得，故是橢圓，故點M的軌跡為一個橢圓的一部分，故D正確.故選：ACD關(guān)鍵點點睛：本題考查立體幾何，解題關(guān)鍵是利用空間中點到直線的距離公式，得到所要求的軌跡方程，結(jié)合二次曲線系判定橢圓．13．【正確答案】121【分析】求出公比和首項，利用等比數(shù)列求和公式求出答案.【詳解】設(shè)公比為，故，解得，所以，故.故12114．【正確答案】【分析】先求出，進(jìn)而根據(jù)求出答案.【詳解】因為A與B相互獨立，，所以.故15．【正確答案】【分析】利用向量的線性關(guān)系可得，兩邊平方可求的長度.【詳解】因為二面角的大小為，，.,即兩點間的距離為.故16．【正確答案】【分析】先利用條件表示出，然后在三角形中利用余弦定理列式計算得到，進(jìn)而根據(jù)求出離心率.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點為，則，則，所以，又，所以，整理得，所以.故答案為.17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由弦AB和BC的中垂線交點得圓心坐標(biāo)，再求半徑，可得圓的方程；（2）由弦心距公式可解.【詳解】（1）因為AB的中點為，AB的斜率為1，所以AB的垂直平分線為，即．又BC的垂直平分線為y＝0，聯(lián)立，得，所以圓心M的坐標(biāo)為．所以圓的半徑為，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）顯然直線l的斜率存在，設(shè)其方程為．設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，則，解得，所以直線l的方程為，即．18．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意寫出從箱子中隨機(jī)抽取兩球的樣本空間，從而得到答案；（2）分別計算“從箱子中有放回地抽取兩球且兩球都為紅球”和“從箱子中有放回地抽取兩球且兩球都為藍(lán)球”的概率，利用互斥事件的概率公式計算即可.【詳解】（1）把4個紅球標(biāo)記為,，,2個藍(lán)球標(biāo)記為,從箱子中隨機(jī)抽取兩球的樣本空間為:，共有15個樣本點，設(shè)事件“從箱子中隨機(jī)抽取兩球且顏色相同”，則事件，包含7個樣本點，∴．（2）設(shè)事件“從箱子中有放回地抽取兩球且顏色相同”，事件“從箱子中有放回地抽取兩球且兩球都為紅球”，事件“從箱子中有放回地抽取兩球且兩球都為藍(lán)球”，則，且與互斥．所以，，則．19．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）點M到準(zhǔn)線的距離為3，從而得到方程，求出，得到拋物線方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)根的判別式得到不等式，求出，根據(jù)向量垂直得到方程，求出.【詳解】（1）由題意知，點M到準(zhǔn)線的距離為3，所以，解得．故C的方程為；（2）設(shè)，，由得，所以，．由得．因為，所以，即，解得或0．又直線l不過原點O，所以．又滿足要求，所以．20．【正確答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明，并求通項公式即可.（2）分析題意求出新數(shù)列，再用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）因為，①當(dāng)時，，所以．當(dāng)時，，②由①－②得，即，所以，又，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，故．（2）因為，所以，解得，所以．所以，，兩式相減得．．所以．21．【正確答案】(1)證明見解析(2)存在點，點為線段AE的中點【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出，從而得出，利用四邊形是菱形，得出，再利用線面垂直的判定定理即可得出證明；（2）設(shè)，，利用（1）結(jié)果，求出平面的一個法向量和平面的一個法向量為，再根據(jù)條件，利用面面角的向量法即可求出結(jié)果.【詳解】（1）取的中點，連接，因為為等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又四邊形是菱形，且，所以，故以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，，易知，則，，，，，所以，，得到，故，，得到，所以，又，平面ACF，平面ACF，，∴平面ACF．（2）假設(shè)存在點，使平面與平面夾角的余弦值為，設(shè)，，則，所以，，．即，所以，，設(shè)平面的法向量為，則即，所以，令，得，所以，又平面的一個法向量為，所以，解得或(舍去)，所以，存在點，使平面與平面夾角的余弦值為，點為線段的中點．22．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式、橢圓的離心率以及，可求得、的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點的坐標(biāo)，根據(jù)題意推導(dǎo)出點為線段的中點，將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得出，將韋達(dá)定理代入可得，再利用基本不等式可求得直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值.【詳解】（1）解：由題意可得，又因為橢圓的離心率為，所以，又，聯(lián)立解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）解：設(shè)點、，聯(lián)立可得，則，①由韋達(dá)定理可得，，所以，因為點為中點，所以，由，可得，即，