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2024-2025學(xué)年重慶市九龍坡區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題(本大題共8小題)1.若直線與直線平行,則它們之間的距離為(
)A. B. C. D.2.已知,,且與垂直,則的值為()A. B. C. D.3.已知是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),,則周長(zhǎng)的最小值為(
)A. B. C. D.4.在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離為(
)A. B. C.2 D.5.已知為雙曲線的右支上一點(diǎn),分別是圓和上的點(diǎn),則的最大值()A.11 B.9 C.7 D.66.已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線為切點(diǎn),當(dāng)?shù)淖畲笾禐椋瑒t的值為(
)A.4 B. C.1 D.7.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯用不同的平面截同一圓錐,得到了圓錐曲線,其中的一種如圖所示.用過(guò)M點(diǎn)且垂直于圓錐底面的平面截兩個(gè)全等的對(duì)頂圓錐得到雙曲線的一部分,已知高,底面圓的半徑為8,M為母線PB的中點(diǎn),平面與底面的交線,則雙曲線的兩條漸近線的夾角的余弦值為()A. B. C. D.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,下頂點(diǎn)為,直線交于另一點(diǎn),△的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn).若,則的離心率為()A. B. C. D.二、多選題(本大題共3小題)9.對(duì)于點(diǎn)和圓,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.點(diǎn)在圓上B.過(guò)點(diǎn)有兩條圓的切線C.過(guò)點(diǎn)被圓截得的弦長(zhǎng)最大時(shí)的直線方程為D.過(guò)點(diǎn)被圓截得的弦長(zhǎng)為的直線方程為10.如圖,在平行六面體中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1,且它們彼此的夾角都是60°,M為與的交點(diǎn),若,則下列正確的是(
)A. B.C.的長(zhǎng)為 D.11.如圖,P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn),,且共焦點(diǎn)的離心率分別為,則下列結(jié)論正確的是(
)
A.B.若,則C.若,則的最小值為2D.三、填空題(本大題共3小題)12.拋物線的準(zhǔn)線方程是.13.人教版選擇性必修一習(xí)題1.4拓廣探索第17題中提到“在空間直角坐標(biāo)系中,已知向量,點(diǎn),若平面經(jīng)過(guò)點(diǎn),且以為法向量,點(diǎn)是平面內(nèi)的任意一點(diǎn),則平面的方程為.現(xiàn)已知平面的方程為,直線的方向向量為,則直線與平面所成角是.14.點(diǎn)在橢圓上,是圓的一條直徑,則的最大值.四、解答題(本大題共5小題)15.已知△ABC的頂點(diǎn),邊AB的中線CM所在直線方程為,邊AC的高BH所在直線方程為.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)若入射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn),被直線CM反射,反射光線過(guò)點(diǎn),求反射光線所在的直線方程.16.已知:圓與圓.(1)當(dāng)時(shí),判斷兩圓是否相交.并說(shuō)明理由.如果相交,求公共弦所在直線的方程.(2)當(dāng)兩圓外切時(shí),①求的值;②某直線分別與圓和圓相切于相異的兩點(diǎn),求.17.如圖,四棱錐中,底面ABCD,,.(1)若,證明:平面;(2)若,且二面角的正弦值為,求.18.已知在橢圓.(1)求橢圓的方程;(2)當(dāng)在橢圓上,且在第三象限,是橢圓的右頂點(diǎn),為橢圓的上頂點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),求證:四邊形的面積為定值.19.已知為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的一條漸近線方程,過(guò)右焦點(diǎn)(1)求雙曲線的方程;(2)設(shè),是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線,的斜率分別為,且滿足.求直線的斜率;(3)過(guò)圓上任意一點(diǎn)作切線,分別交雙曲線于,兩個(gè)不同點(diǎn),中點(diǎn)為,證明.
答案1.【正確答案】B【詳解】依題意可得,解得,則直線方程為,而方程,即,所以兩條平行線間的距離為.故選:B.2.【正確答案】C【詳解】由與垂直,可得(*),因,,則,,,代入(*),可得,解得.故選:C.3.【正確答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義,結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線的方程為,過(guò)做,垂足為,設(shè)周長(zhǎng)為,,由拋物線的定義可知:,因此,當(dāng)在同一條直線上時(shí),有最小值,即時(shí),,故選:B4.【正確答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離的向量坐標(biāo)公式計(jì)算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,.設(shè)向量是直線的單位方向向量,,,則點(diǎn)C到直線AB的距離為.故選:B5.【正確答案】B【詳解】由,得,,則,則雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),,又,分別是兩個(gè)圓的圓心,兩圓的半徑,所以,,則,即的最大值為.故選:B.6.【正確答案】D【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系先確定的最大時(shí),P的位置,根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】由圓,可知其圓心,半徑為r,由切線的性質(zhì)易知,則取最大時(shí),PC最小,即,所以,又的最大值為,所以此時(shí),則的值為.故選:D7.【正確答案】A【詳解】設(shè)交于,以過(guò)點(diǎn)且垂直于圓錐底面的平面的中心為原點(diǎn),平行于圓錐的軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系,因?yàn)閳A錐的高,是的中點(diǎn),且截面垂直于底面,所以,所以,又底面圓半徑,所以,所以,設(shè)雙曲線方程為,代入,,代入解得,則雙曲線的兩條漸近線方程為,由對(duì)稱性可知兩條漸近線所夾銳角的正切值為,雙曲線的兩條漸近線的夾角的余弦值為.故選:A8.【正確答案】B【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,短軸長(zhǎng)為,焦距為,則,AF2=a,設(shè)的內(nèi)切圓與,分別相切于點(diǎn),如圖所示,則,,所以,所以的周長(zhǎng)為,由橢圓的定義,得,所以,則離心率,故選:B.9.【正確答案】ABD【詳解】由題意,因?yàn)?,所以點(diǎn)在圓內(nèi),則過(guò)點(diǎn)不存在圓的切線,故A不正確,B不正確;圓的圓心,半徑,對(duì)于C,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知,當(dāng)過(guò)點(diǎn)被圓截得的弦長(zhǎng)最大時(shí),直線經(jīng)過(guò)圓心,即直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和,此時(shí)直線方程為,故C正確;對(duì)于D,當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí),方程為,與圓交于點(diǎn)和,此時(shí)弦長(zhǎng)為,符合題意;當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為,即,設(shè)圓心到弦所在直線的距離為,由,解得,則,解得,直線方程為,故D不正確;故選:ABD.10.【正確答案】BD【詳解】根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對(duì)于A選項(xiàng),,A錯(cuò)誤,對(duì)于B選項(xiàng),,B正確:對(duì)于C選項(xiàng),,則,則,C錯(cuò)誤:對(duì)于,則,D正確.故選:BD.11.【正確答案】AD【詳解】A.由題意可知,,,得,故A正確;B.中,若,設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為,根據(jù)余弦定理,,整理為,而,故B錯(cuò)誤;C.若,則,則,則,,當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,這與矛盾,所以,故C錯(cuò)誤;D.在橢圓中,,,整理為,在雙曲線中,,整理為,所以,即,而,則,故D正確.故選:AD12.【正確答案】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,求出的值,即可求解.【詳解】由得拋物線方程為,所以,所以拋物線的準(zhǔn)線方程是,故答案為.13.【正確答案】/30°【詳解】因?yàn)槠矫娴姆匠虨椋云矫娴囊粋€(gè)法向量,又直線的方向向量,設(shè)直線與平面所成角為,,所以,則.故答案為.14.【正確答案】【詳解】因?yàn)?,,,,所以,設(shè)點(diǎn)Px,y,則,又,所以,即,所以因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),有最大值,最大值為.故答案為.15.【正確答案】(1)(2)【詳解】(1)由題意可設(shè)點(diǎn),因?yàn)?,則的中點(diǎn)在直線上,可得,解得,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為.(2)設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,則,解得,即所以反射光線所在的直線方程為,可得.16.【正確答案】(1)兩圓相交,理由見(jiàn)解析;(2)①,②4.【詳解】(1)由圓與圓,可知兩圓圓心分別為,半徑,則,當(dāng)時(shí),,則,,所以,故兩圓相交.兩圓方程相減得,即兩圓公共弦所在直線的方程為.(2)①若兩圓外切,則,即,解得.②因?yàn)?,所?17.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】(1)(1)因?yàn)槠矫?,而平面,所以,又,,平面,所以平面,而平面,所?因?yàn)椋?,根?jù)平面知識(shí)可知,又平面,平面,所以平面.(2)如圖所示,過(guò)點(diǎn)D作于,再過(guò)點(diǎn)作于,連接,因?yàn)槠矫?,所以平面平面,而平面平面,所以平面,又,所以平面,根?jù)二面角的定義可知,即為二面角的平面角,即,即.因?yàn)椋O(shè),則,由等面積法可得,,又,而為等腰直角三角形,所以,故,解得,即.18.【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)詳解【詳解】(1)由題意,得,解得,,則橢圓的方程為.(2)設(shè)點(diǎn)Px0,y0,則由(1)可知,,,所以直線的方程為,令,解得,所以;直線的方程為,令,解得,所以因?yàn)?,所以四邊形的面積,即因此,四邊形的面積為定值.19.【正確答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】(1)由漸近線為,則,即,則雙曲線方程為,,令,則,又在軸上方,則,,,所以雙曲線方程為;(
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