2025年滬科版八年級數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第04講 一元二次方程的解法

第04講一元二次方程的解法模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；知識點(diǎn)1開平方法（1）形如

或

的一元二次方程可采用直接\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"開平方法解一元二次方程（2）如果方程化成

的形式，那么可得

（3）如果方程能化成

的形式，那么

，進(jìn)而得出方程的根。注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個常數(shù)。②降次的實(shí)質(zhì)是由一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"一元一次方程；③方法是根據(jù)\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"平方根的意義開平方。知識點(diǎn)2配方法將一元二次方程配成

的形式，再利用直接開平方法求解的方法

。1.用\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為一般形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤進(jìn)一步通過直接開平方法求出方程的解，如果右邊是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"非負(fù)數(shù)，則方程有兩個實(shí)根；如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則方程無解。2.配方法的理論依據(jù)是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"完全平方公式：

3.配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。知識點(diǎn)3公式法1.用求根公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式

，確定

的值（注意符號）；②求出\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"判別式

的值，判斷根的情況；③在（注：此處△讀“德爾塔”）的前提下，把

的值代入公式

進(jìn)行計算，求出方程的根。知識點(diǎn)4因式分解法1.定義：因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。2.因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程的乘積；③令每個因式分別為零④括號中

，它們的解就都是原方程的解?？键c(diǎn)01：直接開平方法解一元二次方程例題1．（24-25八年級上·上?！て谥校┙夥匠蹋骸咀兪?-1】方程的解是．【變式1-2】方程的解是．【變式1-3】（24-25九年級上·山東菏澤·期中）若方程有整數(shù)根，則m的值可以是．（填一個可能的值）考點(diǎn)02：配方法解一元二次方程例題2.解方程：．【變式2-1】解一元二次方程，配方后得到，則p的值是（

）A．13 B．9 C．5 D．4【變式2-2】（24-25九年級上·內(nèi)蒙古包頭·期中）若關(guān)于x的一元二次方程配方后得到，則c的值為（

）A．0 B．3 C．6 D．9【變式2-3】用配方法解方程：．考點(diǎn)03：配方法的應(yīng)用例題3.若（，為實(shí)數(shù)），則．【變式3-1】二次三項(xiàng)式的最小值是．【變式3-2】求證：無論m為何值，關(guān)于x的方程是一元二次方程．【變式3-3】選取二次三項(xiàng)式中的兩項(xiàng)，配成完全平方公式的過程叫配方．例如：．(1)對進(jìn)行配方，）；(2)已知，求的值．考點(diǎn)04：公式法解一元二次方程例題4.一元二次方程的根為．【變式4-1】已知關(guān)于m的方程，那么．【變式4-2】若一元二次方程的根為，則該一元二次方程可以為．【變式4-3】已知（），則式子的值是．考點(diǎn)05：因式分解法解一元二次方程例題5．（24-25九年級上·吉林長春·期末）解方程：．【變式5-1】方程的根是（

）A． B． C．， D．，【變式5-2】解方程：(1)；(2)．【變式5-3】（24-25九年級上·四川成都·期中）計算：(1)(2)考點(diǎn)06：換元法解一元二次方程例題6.若，都是實(shí)數(shù)，且滿足，則的值為．【變式6-1】若則代數(shù)式的值為（

）A．或3 B．1或 C． D．3【變式6-2】方程，若設(shè)，則原方程可化為關(guān)于y的方程是：【變式6-3】【材料】請你先認(rèn)真閱讀材料并解決下面問題．已知關(guān)于、的方程，求的值．解：設(shè)，則方程變形為：，即或(1)【引申】已知，則_____________．(2)【拓展】已知，求的值．一、單選題1．（24-25九年級上·安徽黃山·期中）把方程化成的形式，則m，n的值是（

）A． B． C． D．2．（22-23九年級上·安徽蕪湖·期中）若實(shí)數(shù)x滿足，則的值為（）A．8 B． C．8或 D．或23．（23-24八年級下·安徽安慶·期末）已知是一元二次方程的一個根，則m的值為（

）A． B．3或 C．3 D．或1二、填空題4．（23-24八年級下·安徽淮北·期末）若，則的值為．5．（23-24九年級上·安徽黃山·期末）若關(guān)于的一元二次方程的一個根為，則實(shí)數(shù)的值為．三、解答題6．（24-25九年級上·貴州貴陽·期中）解方程：(1)(2)(3)(4)7．解方程：(1)；(2)．(3)；(4)．8．阿成與阿龍兩位同學(xué)解一元二次方程的過程如下框：阿成：兩邊同除以得．則．阿龍：移項(xiàng)，得．提取公因式，得．則或．解得．你認(rèn)為他們的解法是否正確？直接寫出判斷結(jié)果．(1)阿成的解法，阿龍的解法．（填“正確”或者“不正確”）(2)請你選擇合適的方法解一元二次方程．9．（23-24八年級下·安徽安慶·期末）讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿足，試求的值．解：設(shè)，則原方程變?yōu)椋淼?，，∴，∵，∴，上面這種方法稱為“換元法”，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．(1)設(shè)，滿足等式，求的值；(2)若四個連續(xù)正整數(shù)的積為，求這四個連續(xù)正整數(shù)．10．（23-24八年級下·安徽淮北·期末）閱讀下列材料：配方法是代數(shù)變形的重要手段，是研究相等關(guān)系和不等關(guān)系的常用方法，配方法不僅可以用來解一元二次方程，還可以用來求某些代數(shù)式的最值，我們可以通過以下方法求代數(shù)式的最小值．解：∵，∵，∴當(dāng)時，有最小值．請根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)若，則；(2)求代數(shù)式的最值；(3)若代數(shù)式的最大值為8，求k的值．

第04講一元二次方程的解法模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；知識點(diǎn)1開平方法（1）形如

或

的一元二次方程可采用直接\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"開平方法解一元二次方程（2）如果方程化成

的形式，那么可得

（3）如果方程能化成

的形式，那么

，進(jìn)而得出方程的根。注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個常數(shù)。②降次的實(shí)質(zhì)是由一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"一元一次方程；③方法是根據(jù)\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"平方根的意義開平方。知識點(diǎn)2配方法將一元二次方程配成

的形式，再利用直接開平方法求解的方法

。1.用\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為一般形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤進(jìn)一步通過直接開平方法求出方程的解，如果右邊是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"非負(fù)數(shù)，則方程有兩個實(shí)根；如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則方程無解。2.配方法的理論依據(jù)是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"完全平方公式：

3.配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。知識點(diǎn)3公式法1.用求根公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式

，確定

的值（注意符號）；②求出\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"判別式

的值，判斷根的情況；③在（注：此處△讀“德爾塔”）的前提下，把

的值代入公式

進(jìn)行計算，求出方程的根。知識點(diǎn)4因式分解法1.定義：因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。2.因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程的乘積；③令每個因式分別為零④括號中

，它們的解就都是原方程的解?？键c(diǎn)01：直接開平方法解一元二次方程例題1．（24-25八年級上·上?！て谥校┙夥匠蹋骸敬鸢浮俊痉治觥勘绢}主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)直接開平方法進(jìn)行求解方程即可．【解析】解：，∴或，解得：．【變式1-1】方程的解是．【答案】【分析】本題考查直接開平方法解一元二二次方程，先把方程化簡成，再直接開平方即可．【解析】解：∵，∴，∴，∴，∴故答案為：．【變式1-2】方程的解是．【答案】【分析】本題考查解一元二次方程，先移項(xiàng)，再系數(shù)化1，最后利用直接開平方法求解，即可解題．【解析】解：，故答案為：．【變式1-3】（24-25九年級上·山東菏澤·期中）若方程有整數(shù)根，則m的值可以是．（填一個可能的值）【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了直接開平方法解一元二次方程，將原方程變形為，根據(jù)方程有整數(shù)根，即可得出為完全平方數(shù)，即可得出答案，解題的關(guān)鍵是熟悉方程有根的條件．【解析】解：，∴，∵方程有整數(shù)根，∴為完全平方數(shù)，∴可以是，故答案為：（答案不唯一）．考點(diǎn)02：配方法解一元二次方程例題2.解方程：．【答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．先移項(xiàng)，利用配方法，即可求解．【解析】解：，解得：，．【變式2-1】解一元二次方程，配方后得到，則p的值是（

）A．13 B．9 C．5 D．4【答案】A【分析】本題考查了解一元二次方程—配方法，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．利用配方法進(jìn)行計算即可解答．【解析】解：，，，，．故選：．【變式2-2】（24-25九年級上·內(nèi)蒙古包頭·期中）若關(guān)于x的一元二次方程配方后得到，則c的值為（

）A．0 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊同時一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方進(jìn)行配方即可得到答案．【解析】解：∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．【變式2-3】用配方法解方程：．【答案】，【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關(guān)鍵．先移項(xiàng)，然后配方，再開平方，最后求出方程的解即可．【解析】解：，移項(xiàng)得：，配方得：，即，開平方得：，解得：，．考點(diǎn)03：配方法的應(yīng)用例題3.若（，為實(shí)數(shù)），則．【答案】6【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，利用配方法得到，再利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)得到，，然后計算的值．【解析】解：∵，∴，∴或，∴，，∴．故答案為：6．【變式3-1】二次三項(xiàng)式的最小值是．【答案】0【分析】本題考查了配方法求最值，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．利用配方法，把二次三項(xiàng)式配方成，再根據(jù)平方的非負(fù)性即可得出最小值．【解析】解：，根據(jù)平方的非負(fù)性，得，所以的最小值為0，二次三項(xiàng)式的最小值是0．故答案為：0．【變式3-2】求證：無論m為何值，關(guān)于x的方程是一元二次方程．【分析】本題考查的是一元二次方程的定義，配方法的應(yīng)用，利用配方法證明，即可證明．【解析】證明：∵，∴，∴無論m為何值，方程是一元二次方程．．【變式3-3】選取二次三項(xiàng)式中的兩項(xiàng)，配成完全平方公式的過程叫配方．例如：．(1)對進(jìn)行配方，）；(2)已知，求的值．【答案】(1)4，5(2)【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用；（1）利用配方法即可填空；（2）利用配方法把原式寫成兩個完全平方式的和的形式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得的值，即可求出的值．【解析】（1），故答案為：，；（2）∵，∴，即，∴，，∴，，∴．考點(diǎn)04：公式法解一元二次方程例題4.一元二次方程的根為．【答案】，【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，先計算，再利用求根公式解方程即可．【解析】解：∵∴，∴，∴，；故答案為：，．【變式4-1】已知關(guān)于m的方程，那么．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解法公式法，熟記公式是解答本題的關(guān)鍵．先求出的值，然后根據(jù)求解即可．【解析】解：關(guān)于m的方程，即，，，解得：，故答案為：．【變式4-2】若一元二次方程的根為，則該一元二次方程可以為．【答案】【分析】本題主要考查了公式法解一元二次方程，對于一元二次方程，若其有實(shí)數(shù)根，那么其實(shí)數(shù)根為，據(jù)此結(jié)合題意得到，，，即可得到答案．【解析】解：設(shè)關(guān)于的一元二次方程為，一元二次方程的根為，，，，該一元二次方程可以為，故答案為：．【變式4-3】已知（），則式子的值是．【答案】0【分析】本題考查一元二次方程的求根公式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的求根公式，本題屬于基礎(chǔ)題型，根據(jù)一元二次方程的求根公式即可求出答案．【解析】解：由一元二次方程的求根公式可知：的其中一個解為，故答案為：0．考點(diǎn)05：因式分解法解一元二次方程例題5．（24-25九年級上·吉林長春·期末）解方程：．【答案】，【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．利用因式分解法解方程即可．【解析】解：，，或，∴，．【變式5-1】方程的根是（

）A． B． C．， D．，【答案】D【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得解．【解析】解：∵，∴，∴，∴，，解得：，，故選：D．【變式5-2】解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法，因式分解法，配方法和公式法是解題的關(guān)鍵．（1）利用因式分解法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解．【解析】（1）解：，或，解得：；（2）解：或解得：．【變式5-3】（24-25九年級上·四川成都·期中）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法，因式分解法，配方法和公式法是解題的關(guān)鍵．（1）利用公式法即可求解；（2）利用因式分解法求解．【解析】（1）解：，，，∴；（2）解：或解得：．考點(diǎn)06：換元法解一元二次方程例題6.若，都是實(shí)數(shù)，且滿足，則的值為．【答案】4【分析】本題考查了換元法，因式分解法一元二次方程，根據(jù)題意，設(shè)，則原式得，根據(jù)因式分解法求解即可．【解析】解：設(shè)，∴，整理得，，解得，，∵，∴，故答案為：4．【變式6-1】若則代數(shù)式的值為（

）A．或3 B．1或 C． D．3【答案】D【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程，設(shè)，把原方程轉(zhuǎn)化為，然后利用因式分解法求解即可．【解析】設(shè)，原方程變形為：，或解得或，∵，∴．故選：D．【變式6-2】方程，若設(shè)，則原方程可化為關(guān)于y的方程是：【答案】【分析】本題考查了換元法解分式方程，換元法解分式方程時常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點(diǎn)，尋找解題技巧．利用換元法，將代入原方程，再化成整式方程即可．【解析】解：設(shè)，則，則原方程可化為，∴故答案為：．【變式6-3】【材料】請你先認(rèn)真閱讀材料并解決下面問題．已知關(guān)于、的方程，求的值．解：設(shè)，則方程變形為：，即或(1)【引申】已知，則_____________．(2)【拓展】已知，求的值．【答案】(1)10(2)或【分析】本題考查了換元法解一元一次方程與一元二次方程；（1）設(shè)進(jìn)而解一元一次方程，即可求解；（2）設(shè)，得出，解一元二次方程，即可求解．【解析】（1）解：設(shè)∴，∴故答案為：10；（2）設(shè)∴∴∴解得：或即或一、單選題1．（24-25九年級上·安徽黃山·期中）把方程化成的形式，則m，n的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了解一元二次方程配方法，解題的關(guān)鍵是首先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，然后方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并為一個常數(shù)，開方即可求出解．將方程常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，左右兩邊都加上9，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到所求的結(jié)果．【解析】解：，移項(xiàng)得：，配方得：，即．∴，，故選A．2．（22-23九年級上·安徽蕪湖·期中）若實(shí)數(shù)x滿足，則的值為（）A．8 B． C．8或 D．或2【答案】A【分析】本題考查解一元二次方程，把看成一個整體，利用因式分解法解方程即可．【解析】解：，因式分解得，，∴，，∴，（滿足此式實(shí)數(shù)不存在，舍去），故選：A．3．（23-24八年級下·安徽安慶·期末）已知是一元二次方程的一個根，則m的值為（

）A． B．3或 C．3 D．或1【答案】C【分析】首先把代入解方程可得，，再結(jié)合一元二次方程定義可得的值．本題考查了一元二次方程的解及定義和解一元二次方程，正確理解定義及熟練掌握解方程是解題的關(guān)鍵．【解析】解：把代入得，，，解得：，，，，，，故選：C．二、填空題4．（23-24八年級下·安徽淮北·期末）若，則的值為．【答案】【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程，找出整體將原式進(jìn)行適當(dāng)變形，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程是解題的關(guān)鍵，并注意根據(jù)已知條件判斷的值．可用換元法將原式化為，解此方程可求出的值，即可得出結(jié)果．【解析】解：設(shè)，則原式可化為：，即，解得：或，，故，故答案為：．5．（23-24九年級上·安徽黃山·期末）若關(guān)于的一元二次方程的一個根為，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的解及解一元二次方程；把根代入方程中即可求得k的值，但要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0．【解析】解：∵關(guān)于的一元二次方程的一個根為，∴，解得：，但，即，∴；故答案為：3．三、解答題6．（24-25九年級上·貴州貴陽·期中）解方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接開平方法，配方法，因式分解法及公式法，根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選取解題的方法是解題的關(guān)鍵．（1）方程移項(xiàng)后得：，利用直接開平方法求解即可；（2）先化為一元二次方程的一般式的形式，利用公式法求解；（3）方程右邊移項(xiàng)后，利用因式分解法即可求解；（4）方程移項(xiàng)，并化二次項(xiàng)系數(shù)化為1得，再利用配方法求解．【解析】（1）解：移項(xiàng)后得：，開平方得：，即；（2）解：原方程化為：，，∴，即；（3）解：方程化簡得：，即或，解得：；（4）解：方程化為，配方得：，即，開方得：，即．7．解方程：(1)；(2)．(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握解方程的方法與步驟是解本題的關(guān)鍵；（1）先計算，再利用求根公式解方程即可；（2）先移項(xiàng)，把方程化為，再化為兩個一次方程求解即可；（3）把方程化為，再化為兩個一次方程求解即可；（4）把方程化為，再化為兩個一次方程求解即可；【解析】（1）解：，∴，∴，解得，，；（2）解：，移項(xiàng)：，整理得：，∴，∴，解得，．（3）解：，，或，解得，；（4）解：，，即．或．解得，．8．阿成與阿龍兩位同學(xué)解一元二次方程的過程如下框：阿成：兩邊同除以得．則．阿龍：移項(xiàng)，得．提取公因式，得．則或．解得．你認(rèn)為他們的解法是否正確？直接寫出判斷結(jié)果．(1)阿成的解法，阿龍的解法．（填“正確”或者“不正確”）(2)請你選擇