2025年滬科版八年級數學寒假預習 第08講 勾股定理

第08講勾股定理模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題；1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系.（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.2.勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形.圖中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形.圖中，所以。方法三：如圖所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.圖中，所以。3.勾股數滿足不定方程的三個正整數，稱為勾股數（又稱為高數或畢達哥拉斯數），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數，對解題會很有幫助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果(a、b、c)是勾股數，當t為正整數時，以at、bt、ct為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形?？键c01：用勾股定理理解三角形例題1．（24-25八年級上·四川達州·期中）如圖，已知等腰的底邊，為腰上的高，且，求的周長．【變式1-1】在中，斜邊，則的值為（

）A．15 B．25 C．50 D．60【變式1-2】（24-25八年級上·河南鄭州·期中）如圖是一塊長方形草坪，是一條被踩踏的小路，已知米，米．為了避免行人繼續(xù)踩踏草坪（走線段），小梅分別在A，B處各掛了一塊下面的牌子，則牌子上“？”處是（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-3】如圖，在中，，，，垂足為，若，則的長為．考點02：已知兩點坐標求兩點距離例題2．（24-25八年級上·陜西寶雞·期中）閱讀一段文字，再回答下列問題：已知在平面內兩點，，則該兩點間距離公式為，同時，當兩點在同一坐標軸上或所在直線平行于x軸、平行于y軸時，兩點間的距離公式可分別化簡成和．(1)若已知兩點，，試求A，B兩點間的距離；(2)已知點M，N在平行于y軸的同一條直線上，點M的縱坐標為7，點N的縱坐標為，試求M，N兩點間的距離．【變式2-1】已知直角坐標平面上點和，那么．【變式2-2】如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為1,0，過軸上的點作垂直于軸，若，以為圓心，為半徑作圓弧交軸正半軸于點，則點的坐標為．【變式2-3】已知平面內兩點，，，其兩點間的距離．同時，當兩點所在的直線在坐標軸上或平行于坐標軸時，兩點間的距離公式可簡化為或．(1)已知點、，試求、兩點間的距離；(2)點在第一三象限角平分線上，且軸，點的橫坐標為，試求、兩點間的距離．考點03：勾股數問題例題3．（24-25八年級上·江蘇徐州·期中）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經》：“勾廣三，股修四，經隅五”．觀察下列勾股數：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…這類勾股數的特點是：勾為奇數，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數，弦與股相差為2的一類勾股數，如6、8、10；8、15、17；…若此類勾股數的勾為12，則其弦是．【變式3-1】在下列各組數中，是勾股數的一組是（

）A．，， B．5，6，7 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13【變式3-2】下列各組數是勾股數的是（

）A．13，14，15 B．3，4，5 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，11【變式3-3】已知勾股數的兩個數分別是40，，則勾股數的第三個數是．考點04：以直角三角形三邊為邊長的圖形的面積例題4．（24-25八年級上·江蘇鹽城·期中）勾股定理是數學中一顆璀璨的明珠，在人類的文明史上有杰出的貢獻．如圖1，在中，，，分別以的各邊為一邊向外部作正方形，把兩個較小正方形按圖2放置，若圖形①的面積是4，則圖形②的面積是．【變式4-1】圖中的四邊形均為正方形，三角形為直角三角形，最大的正方形的邊長為7cm，則圖中A、B兩個正方形的面積之和為（

）A． B． C． D．【變式4-2】如圖所示，已知在中，，，分別以，為直徑作半圓，面積分別記為，，則的值等于．【變式4-3】（24-25七年級上·山東泰安·期中）如圖，在中，．若，則正方形和正方形的面積差為．考點05：勾股定理與網格問題例題5．如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1，在如圖所示的的網格中，每個小正方形的邊長都為1．(1)寫出格點各頂點的坐標；(2)求出的周長．【變式5-1】如圖所示的網格是正方形網格，圖形的各個頂點均為格點，則的度數是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（24-25八年級上·山西朔州·期中）如圖，在正方形網格中，是格點三角形（每個頂點都是格點），格點與全等（點D與點C不重合），滿足條件的共有個．【變式5-3】（24-25八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖：在長度為1個單位的小正方形組成的網格中，點、、在小正方形的頂點上．(1)在圖中畫出與△關于直線成軸對稱的△；(2)的周長為_________．考點06：勾股定理與折疊問題例題6．（24-25八年級上·浙江溫州·期中）如圖，在中，，，，點在上，將沿直線翻折后，點的對稱點恰好落在上，則線段的長為．【變式6-1】（24-25八年級上·廣東揭陽·期中）如圖，將邊長為的正方形折疊，使點落在邊的中點處，點落在處，折痕為，則線段的長是．【變式6-2】（24-25八年級上·江蘇南京·期中）如圖，將三角形紙片沿折疊，使點落在邊上的點處．，，則的值為．【變式6-3】（24-25八年級上·河南鄭州·期中）如圖，平面直角坐標系中，長方形的頂點分別位于兩坐標軸正半軸，點的坐標為，為軸上一動點，連接，將沿所在直線翻折得到，當點恰好落在軸上時，點的坐標為．考點07：勾股定理的證明例題7．（24-25八年級上·山東濟南·期中）用圖1中四個完全一樣的直角三角形可以拼成圖2的大正方形，解答下列問題：(1)根據圖2，利用圖形的面積關系，試說明．(2)利用（1）的關系式解答：如果大正方形的面積是25，且，求小正方形的面積．【變式7-1】利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示圖形，通過該圖形可以驗證公式（

）A． B．C． D．【變式7-2】（24-25八年級上·江蘇南京·期中）已知直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c．請用兩種不同的方法證明：．【變式7-3】我們知道，有一個內角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角邊所對的邊叫斜邊（如圖①所示）．數學家還發(fā)現(xiàn)：在一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方和等于斜邊長的平方．即如果一個直角三角形的兩條直角邊長度分別是和，斜邊長度是，那么．(1)直接填空：如圖①，若，則_________；若．則直角三角形的面積是_________．(2)觀察圖②，其中兩個相同的直角三角形邊在一條直線上，請利用幾何圖形的之間的面積關系，試說明．考點08：利用勾股定理進行計算或證明例題8．（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）在中，，D是的中點，以為腰向外作等腰直角連接，交AD于點F，交于點G．(1)求證：；(2)試判斷線段與三者之間的等量關系，并證明你的結論．【變式8-1】如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點，則MC2﹣MB2等于．【變式8-2】RtABC中，斜邊，則的值為．【變式8-3】（23-24八年級下·河南商丘·期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，如圖，在“垂美”四邊形中，對角線交于點O，若，則．考點09：以弦圖為背景的計算問題例題9．（24-25八年級上·浙江·期中）勾股定理的證明方法多種多樣，我國古代數學家趙爽構造“弦圖”證明了勾股定理，后人稱其為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形拼成．如圖1為趙爽弦圖，其中，連接交于點，連接，得到圖2，若．(1)求證：；(2)若，求的長．【變式9-1】（24-25八年級上·河南鄭州·期中）如圖是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形．若圖中的直角三角形的長直角邊為，大正方形的面積為，連接圖中四條線段得到如圖的新圖案，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B．10 C． D．【變式9-2】（24-25八年級上·浙江金華·期中）我國古代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（圖1），后人稱其為“趙爽弦圖”．由圖1變化得到圖2，它是用八個全等的直角三角形拼接而成的，記圖中正方形，正方形，正方形的的面積分別為．若，則的值為．【變式9-3】（24-25八年級上·江蘇鹽城·期中）中國古代數學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位，體現(xiàn)了數學研究中的繼承和發(fā)展．現(xiàn)用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．中，，若，，請你利用這個圖形解決下列問題：(1)試說明：；(2)如果大正方形的面積是15，小正方形的面積是4，求的值．考點10：勾股定理的應用例題10．（24-25八年級上·浙江紹興·期中）如圖，一架米長的梯子斜靠在豎直的墻上，這時底端到墻角的距離為米．(1)此時，這架梯子的頂端距離地面有多高？(2)如果梯子的底端向內移動米，則頂端沿墻向上移動多少米？【變式10-1】（24-25八年級上·浙江·期中）如圖，一架的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時梯足距墻角，若梯子的頂端下滑，則梯足將滑動．【變式10-2】（24-25八年級上·貴州貴陽·期中）一架云梯長，按如圖所示的方式斜靠在一面墻上，云梯底端離墻的距離為．(1)求此架云梯的頂端到地面的距離；(2)如果云梯的頂端A下滑了到達E處，求它的底部B在水平方向移動的距離的長．【變式10-3】（24-25八年級上·江蘇泰州·期中）物理課上，老師帶著科技小組進行物理實驗．同學們將一根不可拉伸的繩子繞過定滑輪，一端拴在滑塊上，另一端拴在物體上，滑塊放置在水平地面的直軌道上，通過滑塊的左右滑動來調節(jié)物體的升降．實驗初始狀態(tài)如圖1所示，物體靜止在直軌道上，物體到滑塊的水平距離是6，物體到定滑輪的垂直距離是8．（實驗過程中，繩子始終保持繃緊狀態(tài)，定滑輪、滑塊和物體的大小忽略不計．）(1)求繩子的總長度；(2)如圖2，若物體升高7，求滑塊向左滑動的距離．例題11．（24-25八年級上·山西太原·期中）為打造“宜居、宜業(yè)、宜游”的城市環(huán)境，迎澤大街于今年五月份啟動改造，九月份正式竣工通車．此次改造新?lián)Q的路燈為“中華燈”，讓迎澤大街更顯古樸典雅．如圖是吊車安裝“中華燈”的示意圖，已知為吊車起重臂，長為20米，點到路燈桿的水平距離為16米，點到地面的豎直距離為2米，則起重臂頂端離地面的高度為米．【變式11-1】（24-25八年級上·河南鄭州·期中）如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個結，然后將繩子拉到離旗桿底端5m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子底端距離打結處約1m．如果設旗桿的高度為xm，那么根據題意可列方程（

）A． B．C． D．【變式11-2】（23-24八年級上·陜西咸陽·期中）如圖，用兩根木棒、加固小樹，木棒、與小樹在同一平面內，且小樹與地面垂直，點在地面上的同一水平線上，，，，求小樹的高度．【變式11-3】如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地的垂直高度為，將它往前推送6（水平距離）時，秋千的踏板離地的垂直高度為，秋千的繩索始終拉得很直．若踏板垂直高度差，求繩索的長．例題12．（24-25八年級上·江西撫州·期中）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高5米，兩樹相距24米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，小鳥至少飛行米．【變式12-1】如圖，某自動感應門的正上方裝著一個感應器，離地距離米，當人體進入感應范圍內時，感應門就會自動打開，一個身高米的學生剛走到離門間距米的地方時，感應門自動打開，則該感應器感應長度為（）A．米 B．米 C．米 D．米【變式12-2】（24-25八年級上·浙江·期中）如圖，一條路的兩邊有兩棵樹，一棵樹高為11米，另一棵樹高為6米，兩樹的距離為12米．若一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少要飛行米．【變式12-3】（24-25七年級上·山東東營·期中）如圖，小明操縱無人機從樹尖飛向旗桿頂端，已知樹高，旗桿高，樹與旗桿之間的水平距離為，則無人機飛行的最短距離為多少？例題13．（24-25八年級上·江蘇常州·期中）2024年第13號臺風“貝碧嘉”于9月16日17時前后經過常州，給當地造成了巨大損失．如圖，一棵垂直于地面并且高9米的銀杏樹被臺風折斷，樹頂A落在離樹底部C的6米處，求這棵樹在離地面多高處被折斷．【變式13-1】（24-25八年級上·廣東清遠·期中）《九章算術》有這樣一個問題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？這道題的意思是：有一個正方形的池塘，邊長為1丈，有一棵蘆葦生長在池塘的正中央，并且蘆葦高出水面部分有1尺，如果把蘆葦拉向岸邊則恰好碰到岸沿，則蘆葦的高度為尺．（1丈＝10尺）【變式13-2】如圖，某人欲垂直橫渡一條河，由于水流的影響，他實際上岸地點C偏離了想要到達的B點（即），其結果是他在水中實際游了（即），則該河處的寬度是．【變式13-3】（24-25八年級上·江蘇淮安·期中）淮安某大酒店為了迎接“淮揚美食文化節(jié)”，要在高5米，長13米的一段臺階面上鋪上地毯，臺階的剖面如圖，則地毯的長度至少需要米．例題14．如圖所示，緝毒警方在基地B處獲知有販毒分子分別在P島和M島進行毒品交易后，緝毒艇立即出發(fā)，已知甲艇沿北偏東方向以每小時36海里的速度前進，乙艇沿南偏東方向以每小時32海里的速度前進，15分鐘后甲到M島，乙到P島，則M島與P島之間的距離是多少？（結果保留根號）【變式14-1】（24-25八年級上·江蘇南京·期中）一艘輪船以3海里/時的速度從港口出發(fā)向北航行，另一艘輪船以4海里/時的速度同時從港口出發(fā)向東航行，離開港口1小時，兩船相距（

）A．3海里 B．4海里 C．5海里 D．10海里【變式14-2】（24-25八年級上·四川·期中）一艘帆船由于風向原因先向正東方向航行了，然后向正北方向航行了，這時他離出發(fā)點．【變式14-3】如圖所示，在一次夏令營活動中，小明坐車從營地A點出發(fā)，沿北偏東方向走了到達B點，然后再沿北偏西方向走了到達目的地C點，求出A、C兩點之間的距離．一、單選題1．（23-24八年級下·安徽合肥·期中）已知的三個角度數的比，，則為（）A． B．4 C．2 D．2．（22-23八年級下·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐標系中，點到原點的距離為(

)A．1 B． C． D．33．（23-24八年級下·安徽阜陽·期中）下列各組數中是勾股數的為（

）A． B． C． D．4．（23-24八年級下·安徽六安·期中）如圖是一個圍棋棋盤的局部，若棋盤是由邊長均為1的小正方形組成的，則黑、白兩棋子的距離為（

）A．4 B．5 C．7 D．255．（23-24八年級下·安徽合肥·期中）如圖，在中，，點D是上一動點，連接，將沿折疊，點C落在點E處，連接交于點F，當是直角時，的長為（

）A．5 B．3 C． D．二、填空題6．（22-23八年級下·安徽馬鞍山·期中）如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設，則斜邊的長是．7．（23-24八年級上·安徽宿州·期中）如圖，在一個長方形草坪上，放著一根長方體的木塊．已知米，米，該木塊的較長邊與平行，橫截面是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從點爬過木塊到達處需要走的最短路程是米．三、解答題8．（24-25八年級上·安徽淮北·期中）已知：直角三角形約三邊長為，，，且的平方根分別為與，求的值．9．（22-23八年級下·安徽阜陽·期中）如圖，某地有兩條筆直的公路，，它們相交成角，沿公路方向離點的處是一所學校，當拖拉機沿公路方向行駛時，以點為圓心，長為半徑的圓形區(qū)域內都會受到拖拉機噪音的影響，且拖拉機與學校的距離越近影響越大．若拖拉機行駛的速度為．(1)求對學校A的影響最大時，拖拉機B與學校A之間的距離．(2)求拖拉機B沿公路行駛一次給學校A帶來噪音影響的時間．10．（23-24八年級下·安徽合肥·期中）（1）如圖，在中，，求證：；（）在中，，，邊上的高，求邊的值．第08講勾股定理模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題；1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系.（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.2.勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形.圖中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形.圖中，所以。方法三：如圖所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.圖中，所以。3.勾股數滿足不定方程的三個正整數，稱為勾股數（又稱為高數或畢達哥拉斯數），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數，對解題會很有幫助：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果(a、b、c)是勾股數，當t為正整數時，以at、bt、ct為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形。考點01：用勾股定理理解三角形例題1．（24-25八年級上·四川達州·期中）如圖，已知等腰的底邊，為腰上的高，且，求的周長．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質、勾股定理，根據勾股定理得出，設，則，再勾股勾股定理求出即可，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理及逆定理的應用和等腰三角形的性質．【解析】解：∵為腰上的高，∴，∵，，∴，∵是等腰三角形，∴，設，則，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，∴的周長為．【變式1-1】在中，斜邊，則的值為（

）A．15 B．25 C．50 D．60【答案】C【分析】本題考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值．【解析】解：∵在中，斜邊，∴，∴，故選：C．【變式1-2】（24-25八年級上·河南鄭州·期中）如圖是一塊長方形草坪，是一條被踩踏的小路，已知米，米．為了避免行人繼續(xù)踩踏草坪（走線段），小梅分別在A，B處各掛了一塊下面的牌子，則牌子上“？”處是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的應用，由勾股定理求出的長是解題的關鍵．根據勾股定理求出的長，進而可得出結論．【解析】解：米，米，（米），（米），故選：D．【變式1-3】如圖，在中，，，，垂足為，若，則的長為．【答案】【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質，勾股定理，易得為等腰直角三角形，得到，勾股定理求出的長，再根據線段的和差關系進行求解即可．【解析】解：∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，在中，，∴，∴；故答案為：．考點02：已知兩點坐標求兩點距離例題2．（24-25八年級上·陜西寶雞·期中）閱讀一段文字，再回答下列問題：已知在平面內兩點，，則該兩點間距離公式為，同時，當兩點在同一坐標軸上或所在直線平行于x軸、平行于y軸時，兩點間的距離公式可分別化簡成和．(1)若已知兩點，，試求A，B兩點間的距離；(2)已知點M，N在平行于y軸的同一條直線上，點M的縱坐標為7，點N的縱坐標為，試求M，N兩點間的距離．【答案】(1)(2)9【分析】本題考查兩點間的距離，解題的關鍵是巧妙的運用兩點間的距離公式求出任意兩點間的距離．（1）根據兩點間的距離公式進行計算即可；（2）根據點，在平行于軸的直線上，點的縱坐標為7，點的縱坐標為，可以利用垂直于軸的距離公式進行計算即可．【解析】（1）解：點，，，即，兩點間的距離是；（2）解：點，在平行于軸的直線上，點的縱坐標為7，點的縱坐標為，，即，兩點間的距離是9．【變式2-1】已知直角坐標平面上點和，那么．【答案】【分析】本題考查了平面直角坐標系中兩點的距離公式，熟知若兩點的坐標分別為，則這兩點的距離是解題的關鍵．根據平面直角坐標系中兩點的距離公式直接計算即可．【解析】解：∵直角坐標平面上點和，∴．故答案為：．【變式2-2】如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，過軸上的點作垂直于軸，若，以為圓心，為半徑作圓弧交軸正半軸于點，則點的坐標為．【答案】【分析】本題主要考查了已知兩點坐標求兩點距離，勾股定理，線段的和與差等知識點，熟練掌握相關知識點并能加以綜合運用是解題的關鍵．先求出，的長，然后利用勾股定理求出的長，于是可得的長，利用線段的和與差可求得的長，于是即可求出點的坐標．【解析】解：，，，，，又，，，，點的坐標為，故答案為：．【變式2-3】已知平面內兩點，，，其兩點間的距離．同時，當兩點所在的直線在坐標軸上或平行于坐標軸時，兩點間的距離公式可簡化為或．(1)已知點、，試求、兩點間的距離；(2)點在第一三象限角平分線上，且軸，點的橫坐標為，試求、兩點間的距離．【答案】(1)A、B兩點間的距離為13；(2)A、B兩點間的距離為6．【分析】本題考查了兩點間的距離公式，關鍵是掌握并運用兩點間的距離公式．（1）根據兩點間的距離公式可得；（2）因為點在第一三象限角平分線上，所以，解得的值，可得點坐標，因為軸，所以、兩點間的距離，可得、兩點間的距離．【解析】（1）解：，答：、兩點間的距離為13；（2）解：點在第一三象限角平分線上，，解得：，，軸，，答：、兩點間的距離為6．考點03：勾股數問題例題3．（24-25八年級上·江蘇徐州·期中）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經》：“勾廣三，股修四，經隅五”．觀察下列勾股數：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…這類勾股數的特點是：勾為奇數，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數，弦與股相差為2的一類勾股數，如6、8、10；8、15、17；…若此類勾股數的勾為12，則其弦是．【答案】37【分析】本題考查勾股定理，根據勾為偶數，弦與股相差為2，設弦為，則：股為，利用勾股定理，列出方程進行求解即可．【解析】解：設弦為，則：股為，由勾股定理，得：，解得：；故答案為：37．【變式3-1】在下列各組數中，是勾股數的一組是（

）A．，， B．5，6，7 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13【答案】D【分析】本題主要考查了勾股數的定義，熟練掌握能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數是解題的關鍵．根據能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數，即可求解．【解析】解：A．不是正整數，則，，不是勾股數，故本選項不符合題意；B．，則5，6，7不是勾股數，故本選項不符合題意；C．不是正整數，則0.3，0.4，0.5不是勾股數，故本選項不符合題意；D．因為，所以5，12，13是勾股數，故本選項符合題意；故選：D．【變式3-2】下列各組數是勾股數的是（

）A．13，14，15 B．3，4，5 C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，11【答案】B【分析】本題主要考查了勾股數的定義，熟練掌握能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數是解題的關鍵．根據能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數，即可求解．【解析】解：A、∵，∴不是勾股數，不符合題意；B、∵，∴3，4，5是勾股數，符合題意；C、∵都不是整數，∴不是勾股數，不符合題意；D、∵，∴不是勾股數，不符合題意；故選：B．【變式3-3】已知勾股數的兩個數分別是40，，則勾股數的第三個數是．【答案】【分析】此題考查了勾股數，構成一個直角三角形的三邊的一組正整數，叫做勾股數，根據勾股數的定義列式計算即可，熟練掌握勾股數的定義是解題的關鍵．【解析】解：設第三個數為，∵是一組勾股數，則，∴，是整數，符合題意；，∴，不是整數，不符合題意；綜上可知：勾股數的第三個數是，故答案為：．考點04：以直角三角形三邊為邊長的圖形的面積例題4．（24-25八年級上·江蘇鹽城·期中）勾股定理是數學中一顆璀璨的明珠，在人類的文明史上有杰出的貢獻．如圖1，在中，，，分別以的各邊為一邊向外部作正方形，把兩個較小正方形按圖2放置，若圖形①的面積是4，則圖形②的面積是．【答案】5【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，先根據勾股定理求出，再根據得出答案．【解析】解：根據勾股定理，得，∴．∵①的面積是4，∴②的面積是5．故答案為：5．【變式4-1】圖中的四邊形均為正方形，三角形為直角三角形，最大的正方形的邊長為7cm，則圖中A、B兩個正方形的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．根據正方形的面積公式，運用勾股定理，發(fā)現(xiàn)：2個小正方形的面積和等于最大正方形的面積．【解析】解∶由圖形可知2個小正方形的面積和等于最大正方形的面積，故正方形A，B的面積之和．故選：D．【變式4-2】如圖所示，已知在中，，，分別以，為直徑作半圓，面積分別記為，，則的值等于．【答案】【分析】此題考查勾股定理的應用，根據圖形得到，，根據勾股定理推出即可求解.【解析】解：由題意，得，，所以，故答案為：.【變式4-3】（24-25七年級上·山東泰安·期中）如圖，在中，．若，則正方形和正方形的面積差為．【答案】4【分析】本題考查勾股定理與面積，解題關鍵是將勾股定理和正方形的面積公式進行靈活的結合和應用．由勾股定理可得出答案．【解析】解：，，，正方形和正方形的面積差為．故答案為：4．考點05：勾股定理與網格問題例題5．如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1，在如圖所示的的網格中，每個小正方形的邊長都為1．(1)寫出格點各頂點的坐標；(2)求出的周長．【答案】(1)，，(2)【分析】本題主要考查了勾股定理和坐標與圖形性質，解決本題的關鍵是熟練掌握坐標與圖形的性質．（1）根據圖形直接寫出答案；（2）由勾股定理求得三角形的三邊長度，進而得到其周長．【解析】（1）解：，，；（2）解：由勾股定理知：，，．所以，的周長為；【變式5-1】如圖所示的網格是正方形網格，圖形的各個頂點均為格點，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了網格與勾股定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，掌握網格的特點，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．根據題意可證，得到，則有，由網格的性質可得是等腰直角三角形，，由此即可求解．【解析】解：如圖所示，∵網格是正方形網格，∴，，，∴，∴，∴，∴，在中，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故選：A．【變式5-2】（24-25八年級上·山西朔州·期中）如圖，在正方形網格中，是格點三角形（每個頂點都是格點），格點與全等（點D與點C不重合），滿足條件的共有個．【答案】3【分析】本題考查了勾股定理與網格，全等三角形的判定，掌握勾股定理的判定方法是解題的關鍵．運用勾股定理可得的長，根據全等三角形的判定方法作圖分析即可求解．【解析】解：如圖所示，∵，是公共邊，，∴運用邊邊邊可證：，∴滿足條件的共有3個，故答案為：3．【變式5-3】（24-25八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖：在長度為1個單位的小正方形組成的網格中，點、、在小正方形的頂點上．(1)在圖中畫出與△關于直線成軸對稱的△；(2)的周長為_________．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了作圖?軸對稱變換以及求三角形的面積等知識，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．（1）根據軸對稱的性質，找出關鍵點、，作圖即可即可；（2）利用網格及勾股定理確定，然后求周長即可．【解析】（1）解：關于直線l成軸對稱的如下圖，

；（2）由網格得：，的周長為：．故答案為：．考點06：勾股定理與折疊問題例題6．（24-25八年級上·浙江溫州·期中）如圖，在中，，，，點在上，將沿直線翻折后，點的對稱點恰好落在上，則線段的長為．【答案】5【分析】本題考查了勾股定理，折疊問題，根據勾股定理列方程求解是解題的關鍵；由勾股定理可求，由翻折可得，則，，根據勾股定理可得，解方程即可得解．【解析】解：，，將沿直線翻折后，點的對稱點恰好落在上，，，，在中，，，解得：，故答案為：5．【變式6-1】（24-25八年級上·廣東揭陽·期中）如圖，將邊長為的正方形折疊，使點落在邊的中點處，點落在處，折痕為，則線段的長是．【答案】/3厘米【分析】本題考查了折疊的性質，勾股定理，由折疊的性質可得：，設，則，再由勾股定理計算即可得解．【解析】解：由題意可得：，，∵點是邊的中點，∴，由折疊的性質可得：，設，則，在中，由勾股定理可得：，∴，解得：，∴，故答案為：．【變式6-2】（24-25八年級上·江蘇南京·期中）如圖，將三角形紙片沿折疊，使點落在邊上的點處．，，則的值為．【答案】9【分析】本題考查了翻折變換，勾股定理，由折疊的性質可得，根據，，求出，根據勾股定理可求的值．【解析】解：將三角形紙片沿折疊，使點落在邊上的點處，，，，在中，，在中，，，故答案為：9．【變式6-3】（24-25八年級上·河南鄭州·期中）如圖，平面直角坐標系中，長方形的頂點分別位于兩坐標軸正半軸，點的坐標為，為軸上一動點，連接，將沿所在直線翻折得到，當點恰好落在軸上時，點的坐標為．【答案】或【分析】本題主要考查了坐標與圖形，勾股定理與折疊問題，先由題意求出，再由折疊的性質得到，利用勾股定理求出的長，進而求出的長，在中，由勾股定理建立方程求出的長即可得到答案．【解析】解；由題意得，軸，軸，∵的坐標為，∴，∴，分兩種情況：當點在軸的正半軸時，如圖所示：由折疊的性質可得，在中，由勾股定理得，∴，設，則，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，②當點在軸的負半軸時，如圖所示：由折疊的性質可得，在中，由勾股定理得，∴，設，則，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，故答案為：或．考點07：勾股定理的證明例題7．（24-25八年級上·山東濟南·期中）用圖1中四個完全一樣的直角三角形可以拼成圖2的大正方形，解答下列問題：(1)根據圖2，利用圖形的面積關系，試說明．(2)利用（1）的關系式解答：如果大正方形的面積是25，且，求小正方形的面積．【答案】(1)見解析；(2)小正方形的面積等于1．【分析】本題考查了對勾股定理的證明，掌握三角形和正方形面積計算公式是解決問題的關鍵．（1）方法1、根據圖2是由4個完全一樣的直角三角形和1個小正方形構成的，所以其面積個正方形的面積個三角形的面積；方法2、觀察圖形發(fā)現(xiàn)圖2是一個正方形，所以其面積邊長；寫出、、之間的等量關系；（2）直接用（1）的結論求出結果．【解析】（1）證明：，，，；（2）解：大正方形的面積是25，，，，，．由（1）得，，小正方形的面積等于1．【變式7-1】利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示圖形，通過該圖形可以驗證公式（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了勾股定理的證明，大正方形是邊長為c的正方形，則其面積為，大正方形面積等于四個直角三角形的面積加上中間小正方形的面積，則大正方形的面積為，根據兩種表示方法表示的面積相等即可得到結論．【解析】解：大正方形是邊長為c的正方形，則其面積為，中間的小正方形是邊長為的正方形，則其面積為，大正方形面積等于四個直角三角形的面積加上中間小正方形的面積，則大正方形的面積為，∴，即，故選：C．【變式7-2】（24-25八年級上·江蘇南京·期中）已知直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c．請用兩種不同的方法證明：．【分析】本題主要考查了勾股定理的證明，對于方法1，根據三個直角三角形其面積和等于直角梯形的面積列出等式，再整理即可；對于方法2，根據四個全等的直角三角形面積加上小正方形的面積等于大正方形的面積．【解析】方法1：如圖，有三個直角三角形其面積分別為ab，ab和，直角梯形的面積為．由圖形可知：，整理得，∴．故結論為：直角邊長分別為a、b，斜邊為c的直角三角形中．方法2：先做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，然后按圖1的方法將它們擺成正方形．由圖1可以得到，整理，得．所以．【變式7-3】我們知道，有一個內角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角邊所對的邊叫斜邊（如圖①所示）．數學家還發(fā)現(xiàn)：在一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方和等于斜邊長的平方．即如果一個直角三角形的兩條直角邊長度分別是和，斜邊長度是，那么．(1)直接填空：如圖①，若，則_________；若．則直角三角形的面積是_________．(2)觀察圖②，其中兩個相同的直角三角形邊在一條直線上，請利用幾何圖形的之間的面積關系，試說明．【答案】(1)5；(2)見詳解【分析】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵；（1）根據勾股定理可進行求解；（2）根據梯形的面積等于三個直角三角形面積之和即可求解．【解析】（1）解：∵，，∴；∵，∴，∴，∴該直角三角形的面積為；故答案為5；；（2）解：由圖可知：，整理得：．考點08：利用勾股定理進行計算或證明例題8．（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）在中，，D是的中點，以為腰向外作等腰直角連接，交AD于點F，交于點G．(1)求證：；(2)試判斷線段與三者之間的等量關系，并證明你的結論．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質、全等三角形綜合問題以及勾股定理，證是解題關鍵．（1）證得，結合、可得，即可求證；（2）由得，結合，得，根據勾股定理即可求解.【解析】（1）證明：∵，D是的中點，∴，∵，∴，∴，由題意得：，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴．【變式8-1】如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點，則MC2﹣MB2等于．【答案】69【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結果．【解析】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2），＝132?102，＝69．故答案為：69．【變式8-2】RtABC中，斜邊，則的值為．【答案】16【分析】由勾股定理得＝＝8，則，即可得出結論．【解析】解：∵在中，斜邊BC＝，∴＝＝8，∴＝＝16．故答案為：16．【變式8-3】（23-24八年級下·河南商丘·期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，如圖，在“垂美”四邊形中，對角線交于點O，若，則．【答案】625【分析】本題考查的是垂直的定義，勾股定理的應用，正確理解“垂美”四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題的關鍵．根據垂直的定義和勾股定理解答即可．【解析】解：由題意得：，由勾股定理得，故答案為：625．考點09：以弦圖為背景的計算問題例題9．（24-25八年級上·浙江·期中）勾股定理的證明方法多種多樣，我國古代數學家趙爽構造“弦圖”證明了勾股定理，后人稱其為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形拼成．如圖1為趙爽弦圖，其中，連接交于點，連接，得到圖2，若．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了等腰三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理；（1）根據等角對等邊得出，進而可得，根據三線合一，即可得證；（2）由（1）得：，可以求得，進而證明，得出，再根據勾股定理，即可求解．【解析】（1）證明：（2）由（1）得：，趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形拼成，∴，在中，∴，在中，【變式9-1】（24-25八年級上·河南鄭州·期中）如圖是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形．若圖中的直角三角形的長直角邊為，大正方形的面積為，連接圖中四條線段得到如圖的新圖案，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B．10 C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的應用，根據題意得，，，，進而由勾股定理可得，即得，可得，最后用大正方形的面積減去個空白部分三角形的面積即可求解，正確識圖是解題的關鍵．【解析】解：如圖，根據題意得，，，，，∴，∴，∴，∴陰影部分的面積，故選：．【變式9-2】（24-25八年級上·浙江金華·期中）我國古代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（圖1），后人稱其為“趙爽弦圖”．由圖1變化得到圖2，它是用八個全等的直角三角形拼接而成的，記圖中正方形，正方形，正方形的的面積分別為．若，則的值為．【答案】12【分析】本題考查勾股定理，解題的關鍵掌握勾股定理．根據面積加減關系求解減即可得到答案；【解析】解：設這八個全等的直角三角形的面積都是，∵，∴，∴，故答案為：12．【變式9-3】（24-25八年級上·江蘇鹽城·期中）中國古代數學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位，體現(xiàn)了數學研究中的繼承和發(fā)展．現(xiàn)用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．中，，若，，請你利用這個圖形解決下列問題：(1)試說明：；(2)如果大正方形的面積是15，小正方形的面積是4，求的值．【答案】(1)見解析(2)26【分析】此題考查了勾股定理的證明和應用．（1）大正方形的面積=四個直角三角形的面積+小正方形的面積，據此列式計算即可得到結論；（2）由大正方形的面積=四個直角三角形的面積+小正方形的面積列式求出，由題意知，即可求出的值．【解析】（1）由圖形可知，大正方形的面積=四個直角三角形的面積+小正方形的面積．，，．（2）由圖形可知，大正方形的面積=四個直角三角形的面積+小正方形的面積．大正方形的面積是15，小正方形的面積是4，，，由題意知，．考點10：勾股定理的應用例題10．（24-25八年級上·浙江紹興·期中）如圖，一架米長的梯子斜靠在豎直的墻上，這時底端到墻角的距離為米．(1)此時，這架梯子的頂端距離地面有多高？(2)如果梯子的底端向內移動米，則頂端沿墻向上移動多少米？【答案】(1)這架梯子的頂端到地面的距離為；(2)梯子的頂端沿墻向上移動了．【分析】（）根據勾股定理即可得到結論；（）先求出，根據勾股定理求出的長，然后即可求解；本題考查了勾股定理在實際生活中的應用，勾股定理在直角三角形中的正確運用，掌握勾股定理的應用是解題的關鍵．【解析】（1）解：在中，由勾股定理得，即，所以，即這架梯子的頂端到地面的距離為；（2）解：，，在中，由勾股定理得，即，∴，∴，即梯子的頂端沿墻向上移動了．【變式10-1】（24-25八年級上·浙江·期中）如圖，一架的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時梯足距墻角，若梯子的頂端下滑，則梯足將滑動．【答案】【分析】本題考查的知識點是勾股定理的應用，根據勾股定理求解即可．掌握勾股定理是解題的關鍵．【解析】解：如圖所示：根據題意得，根據勾股定理可得，，如果梯子的頂度端下滑2米，則．在直角三角形中，，根據勾股定理得到：，則梯子滑動的距離就是，故答案為：．【變式10-2】（24-25八年級上·貴州貴陽·期中）一架云梯長，按如圖所示的方式斜靠在一面墻上，云梯底端離墻的距離為．(1)求此架云梯的頂端到地面的距離；(2)如果云梯的頂端A下滑了到達E處，求它的底部B在水平方向移動的距離的長．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題的關鍵．（1）利用勾股定理直接求解即可．（2）如果云梯的頂端A下滑了到達E處，則，再利用勾股定理求出，再根據求解即可．【解析】（1）解：，則此架云梯的頂端到地面的距離為.（2）解：如果云梯的頂端A下滑了到達E處，則，則，∴【變式10-3】（24-25八年級上·江蘇泰州·期中）物理課上，老師帶著科技小組進行物理實驗．同學們將一根不可拉伸的繩子繞過定滑輪，一端拴在滑塊上，另一端拴在物體上，滑塊放置在水平地面的直軌道上，通過滑塊的左右滑動來調節(jié)物體的升降．實驗初始狀態(tài)如圖1所示，物體靜止在直軌道上，物體到滑塊的水平距離是6，物體到定滑輪的垂直距離是8．（實驗過程中，繩子始終保持繃緊狀態(tài)，定滑輪、滑塊和物體的大小忽略不計．）(1)求繩子的總長度；(2)如圖2，若物體升高7，求滑塊向左滑動的距離．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了勾股定理的應用，注意計算的準確性即可.（1）計算即可求解；（2）計算即可求解；【解析】（1）解：由題意得6，．∴，∴，即：繩子的總長度為（2）解：如圖所示：由題意得，6，8．∴，∴，即：滑塊向左滑動的距離為例題11．（24-25八年級上·山西太原·期中）為打造“宜居、宜業(yè)、宜游”的城市環(huán)境，迎澤大街于今年五月份啟動改造，九月份正式竣工通車．此次改造新?lián)Q的路燈為“中華燈”，讓迎澤大街更顯古樸典雅．如圖是吊車安裝“中華燈”的示意圖，已知為吊車起重臂，長為20米，點到路燈桿的水平距離為16米，點到地面的豎直距離為2米，則起重臂頂端離地面的高度為米．【答案】14【分析】此題考查了勾股定理的應用，根據勾股定理求出米，然后計算米求解即可．【解析】解：∵米，米，∴米，∵點到地面的豎直距離為2米，∴米，∴起重臂頂端離地面的高度為14米．故答案為：14．【變式11-1】（24-25八年級上·河南鄭州·期中）如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個結，然后將繩子拉到離旗桿底端5m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子底端距離打結處約1m．如果設旗桿的高度為xm，那么根據題意可列方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵；由題意可直接進行求解【解析】解：由題意可得方程為；故選D【變式11-2】（23-24八年級上·陜西咸陽·期中）如圖，用兩根木棒、加固小樹，木棒、與小樹在同一平面內，且小樹與地面垂直，點在地面上的同一水平線上，，，，求小樹的高度．【答案】小樹的高度為．【分析】本題考查了勾股定理的實際應用．在和中，分別運用勾股定理表示出的長，建立方程求解即可．【解析】解：在中，，在中，，∴，解得：，所以，即小樹的高度為．【變式11-3】如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地的垂直高度為，將它往前推送6（水平距離）時，秋千的踏板離地的垂直高度為，秋千的繩索始終拉得很直．若踏板垂直高度差，求繩索的長．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應用．熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．由題意知，，，由勾股定理得，，即，計算求解即可．【解析】解：由題意知，，，由勾股定理得，，即，解得，，∴繩索的長為．例題12．（24-25八年級上·江西撫州·期中）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高5米，兩樹相距24米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，小鳥至少飛行米．【答案】25【分析】本題考查正確運用勾股定理．根據“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出即可．【解析】解：如圖，設大樹高為米，小樹高為米，連接，平移到，則米，，兩樹相距米，∴（米），在中，（米），故小鳥至少飛行米．故答案為：25．【變式12-1】如圖，某自動感應門的正上方裝著一個感應器，離地距離米，當人體進入感應范圍內時，感應門就會自動打開，一個身高米的學生剛走到離門間距米的地方時，感應門自動打開，則該感應器感應長度為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本題考查勾股定理的應用，解題的關鍵是理解題意，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．過點作于點，利用勾股定理求解即可．【解析】解：如圖，過點作于點．，四邊形是長方形，米，米，米，（米，（米．故選：B．【變式12-2】（24-25八年級上·浙江·期中）如圖，一條路的兩邊有兩棵樹，一棵樹高為11米，另一棵樹高為6米，兩樹的距離為12米．若一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少要飛行米．【答案】13【分析】本題考查了勾股定理，過C作平行地面，連接，由題意得米，米，由勾股定理可得的長，即小鳥至少要飛行的距離．【解析】解：過C作平行地面，連接，由題意得，米，米，米，由勾股定理得，米，故答案為：13．【變式12-3】（24-25七年級上·山東東營·期中）如圖，小明操縱無人機從樹尖飛向旗桿頂端，已知樹高，旗桿高，樹與旗桿之間的水平距離為，則無人機飛行的最短距離為多少？【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應用，作于，連接，由題意得：，，，求出，最后由勾股定理計算即可，添加適當的輔助線構造直角三角形是解此題的關鍵．【解析】解：如圖，作于，連接，，由題意得：，，，，．即：無人機飛行的最短距離為．例題13．（24-25八年級上·江蘇常州·期中）2024年第13號臺風“貝碧嘉”于9月16日17時前后經過常州，給當地造成了巨大損失．如圖，一棵垂直于地面并且高9米的銀杏樹被臺風折斷，樹頂A落在離樹底部C的6米處，求這棵樹在離地面多高處被折斷．【答案】這棵樹在離地面米高處被折斷【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，根據圖示知大樹折斷部分、下部、地面恰好構成直角三角形，標注相應點后，則有，，利用勾股定理求解即可．【解析】解：設離地面高度x米處折斷，則，，∵∴，∴

．∴答：這棵樹在離地面2.5米高處被折斷．【變式13-1】（24-25八年級上·廣東清遠·期中）《九章算術》有這樣一個問題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？這道題的意思是：有一個正方形的池塘，邊長為1丈，有一棵蘆葦生長在池塘的正中央，并且蘆葦高出水面部分有1尺，如果把蘆葦拉向岸邊則恰好碰到岸沿，則蘆葦的高度為尺．（1丈＝10尺）【答案】13【分析】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數學的關鍵．找到題中的直角三角形，設水深為x尺，根據勾股定理解答．【解析】解：1丈尺設水深為x尺，則蘆葦長為尺，根據勾股定理得：，解得：，蘆葦的長度（尺），故答案為：13．【變式13-2】如圖，某人欲垂直橫渡一條河，由于水流的影響，他實際上岸地點C偏離了想要到達的B點（即），其結果是他在水中實際游了（即），則該河處的寬度是．【答案】480【分析】本題考查了勾股定理的應用；根據勾股定理求出即可．【解析】解：，即該河處的寬度是；故答案為：480．【變式13-3】（24-25八年級上·江蘇淮安·期中）淮安某大酒店為了迎接“淮揚美食文化節(jié)”，要在高5米，長13米的一段臺階面上鋪上地毯，臺階的剖面如圖，則地毯的長度至少需要米．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理的應用—求臺階上地毯長度，利用平移解決實際問題等知識點，利用平移的知識，把要求的所有線段平移到一條直線上進行計算是解題的關鍵．根據題意，結合圖形，先把臺階的橫豎面向上向左平移，構成一個矩形，再求矩形的長，則可求出地毯的長度至少需要多少米．【解析】解：如圖，利用平移線段，把臺階的橫豎面向上向左平移，構成一個矩形，則矩形的長為：（米），地毯的長度為：（米），故答案為：．例題14．如圖所示，緝毒警方在基地B處獲知有販毒分子分別在P島和M島進行毒品交易后，緝毒艇立即出發(fā)，已知甲艇沿北偏東方向以每小時36海里的速度前進，乙艇沿南偏東方向以每小時32海里的速度前進，15分鐘后甲到M島，乙到P島，則M島與P島之間的距離是多少？（結果保留根號）【答案】M島與P島之間的距離是海里．【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，在一個直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么．根據條件可以證得是直角三角形，求得與的長，根據勾股定理即可求得的長．【解析】解：由題意得：，∴為直角三角形，（海里），（海里），在中，由勾股定理得：（海里），答：M島與P島之間的距離是海里．【變式14-1】（24-25八年級上·江蘇南京·期中）一艘輪船以3海里/時的速度從港口出發(fā)向北航行，另一艘輪船以4海里/時的速度同時從港口出發(fā)向東航行，離開港口1小時，兩船相距（

）A．3海里 B．4海里 C．5海里 D．10海里【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的運用，熟練運用勾股定理是解題的關鍵；根據兩艘輪船出發(fā)的方向，可以得到，結合勾股定理求解即可．【解析】解：根據題意，如圖所示，可知，，海里，海里，在中，（海里），故兩船相距海里故選：C．【變式14-2】（24-25八年級上·四川·期中）一艘帆船由于風向原因先向正東方向航行了，然后向正北方向航行了，這時他離出發(fā)點．【答案】26【分析】本題考查了直角三角形的性質及勾股定理的應用．兩段航行的路線正好互相垂直，構成直角三角形，利用勾股定理即可解答．【解析】解：根據題意，這艘船航行路線可以構成一個直角三角