2025高考數(shù)學一輪復習-第7章-第5節(jié) 空間直線、平面的垂直【課件】

第七章立體幾何與空間向量第5節(jié)空間直線、平面的垂直1.以立體幾何的定義、基本事實和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直、面面垂直的有關性質與判定定理.2.能運用基本事實、定理和已獲得的結論證明一些有關空間圖形的垂直關系的簡單命題.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內的______一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.任意(2)直線與平面垂直的判定定理與性質定理兩條相交直線平行2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的______所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是_____；一條直線和平面平行或在平面內，則它們所成的角是____.(2)范圍：_________.射影90°0°3.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的____________所組成的圖形叫做二面角.(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是_________.(3)二面角的平面角α的范圍：[0，π].兩個半平面∠AOB4.兩個平面垂直(1)兩個平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是__________，就說這兩個平面互相垂直.直二面角(2)兩個平面垂直的判定定理與性質定理垂線l?β交線l?β1.與“直線與平面垂直”有關的結論 (1)直線與平面垂直的定義常常逆用，即a⊥α，b?α?a⊥b. (2)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面. (3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.2.三垂線定理

在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.3.三垂線定理的逆定理

平面內的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內的射影垂直.常用結論與微點提醒1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)×××解析(1)直線l與平面α內的無數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)⊥α或l與α斜交或l?α或l∥α，故(1)錯誤.(2)垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交，故(2)錯誤.(1)直線l與平面α內的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(

)(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.(

)(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.(

)(4)若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數(shù)條直線，則α⊥β.(

)×(3)若兩個平面垂直，則其中一個平面內的直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內，故(3)錯誤.(4)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BC1⊥AB，所以BC1垂直于平面ABCD內所有與AB平行的直線，而平面ABC1D1過BC1，顯然平面ABC1D1與平面ABCD不垂直，故(4)錯誤.2.(必修二P159T2改編)已知直線a，b與平面α，β，γ，能使α⊥β的充分條件是(

)A.α⊥γ，β⊥γ

B.α∩β＝a，b⊥a，b?β C.a∥β，a∥α

D.a∥α，a⊥βD解析α⊥γ，β⊥γ?α與β相交或平行，故A不正確；因為α∩β＝a，b⊥a，b?β，所以β可以繞交線a任意旋轉，所以不能得到α⊥β，故B不正確；a∥β，a∥α?α與β相交或平行，故C不正確；當a⊥β，a∥α，過直線a作平面與平面α交于直線b，所以a∥b，又a⊥β，所以b⊥β

，又b?α，所以α⊥β，故D正確.

3.(必修二P158例8改編)如圖，AB是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于A，B的一點，D為下底面圓周上一點，且AD⊥圓柱的底面，則必有(

)A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABDB解析因為AB是圓柱上底面的一條直徑，所以AC⊥BC，又AD垂直于圓柱的底面，所以AD⊥BC，因為AC∩AD＝A，AC，AD?平面ACD，所以BC⊥平面ACD，因為BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD，故選B.4.在三棱錐P－ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心.(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心.外垂解析(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，因為在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O為△ABC的外心.(2)如圖2，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于點H，D，G.因為PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，所以PC⊥平面PAB.又AB?平面PAB，所以PC⊥AB.因為PO⊥AB，PO∩PC＝P，PO，PC?平面PGC，所以AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，所以AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高.同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心.考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一直線與平面垂直的判定與性質例1

如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，點E為垂足. (1)求證：PA⊥平面ABC；證明如圖，在平面ABC內取一點D，過點D作DF⊥AC于點F.因為平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，DF?平面ABC，所以DF⊥平面PAC.因為PA?平面PAC，所以DF⊥PA.過點D作DG⊥AB于點G，同理可證DG⊥PA.因為DG，DF都在平面ABC內，且DG∩DF＝D，所以PA⊥平面ABC.(2)當點E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形.證明如圖，連接BE并延長交PC于點H.因為點E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.又AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，所以PC⊥AE.因為AE∩BH＝E，AE，BH?平面ABE，所以PC⊥平面ABE.又AB?平面ABE，所以PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC，所以PA⊥AB.因為PA∩PC＝P，PA，PC?平面PAC，所以AB⊥平面PAC.又AC?平面PAC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.感悟提升證明線面垂直的常用方法及關鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質.(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質.訓練1

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點.證明：(1)CD⊥AE；證明在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.證明由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，而AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE?平面ABE，∴PD⊥平面ABE.考點二平面與平面垂直的判定與性質例2(2023·全國甲卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；證明因為A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，因為∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，又A1C∩AC＝C，A1C，AC?平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，又BC?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)設AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高.解如圖，過點A1作A1H⊥CC1，交CC1于點H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1H?平面ACC1A1，所以A1H⊥平面BB1C1C，即四棱錐A1－BB1C1C的高為A1H.由題意知AB＝A1B，BC＝BC，∠A1CB＝∠ACB＝90°，則△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1.感悟提升1.面面垂直判定的兩種方法與一個轉化(1)兩種方法：面面垂直的定義；面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).(2)一個轉化：利用面面垂直的判定定理證明兩個平面垂直，通常是通過線線垂直→線面垂直→面面垂直來實現(xiàn)的.2.面面垂直性質定理的應用(1)兩平面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內的直線”.(2)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線垂直于第三個平面.訓練2

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G為AD的中點.(1)求證：BG⊥平面PAD；證明在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點，所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG?平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.(2)求證：AD⊥PB；證明如圖，連接PG，因為△PAD為正三角形，G為線段AD的中點，所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，又PG∩BG＝G，PG，BG?平面PGB，所以AD⊥平面PGB.因為PB?平面PGB，所以AD⊥PB.(3)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結論.解能，當F為線段PC的中點時，平面DEF⊥平面ABCD.證明如下：如圖，取線段PC的中點F，連接DE，EF，DF.在△PBC中，F(xiàn)E∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.而FE?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E，PB?平面PGB，GB?平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB.因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，PG⊥AD，所以PG⊥平面ABCD.又PG?平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.考點三平行、垂直關系的綜合應用例3(2024·石家莊模擬)如圖所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E為線段AB上的一點. (1)若OE∥平面D1BC，求證：E為AB的中點；證明因為四邊形AA1D1D為正方形，A1D∩AD1＝O，所以O為AD1的中點.又因為OE∥平面D1BC，平面ABD1∩平面D1BC＝BD1，OE?平面ABD1，所以OE∥BD1.又因為O為AD1的中點，所以E為AB的中點.(2)在線段AB上是否存在點E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的長；若不存在，請說明理由.設AC∩DE＝F，因為四邊形AA1D1D為正方形，所以D1D⊥AD，又因為平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，平面AA1D1D⊥平面ABCD，D1D

平面AA1D1D，所以D1D⊥平面ABCD，又因為AC

平面ABCD，所以D1D⊥AC.在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，所以∠ADE＝∠BAC，又因為∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°，所以∠ADE＋∠DAC＝90°，則∠AFD＝90°，所以AC⊥DE，又因為DE∩DD1＝D，DE，DD1

平面D1DE，所以AC⊥平面D1DE.又因為AC

平面AD1C，所以平面D1DE⊥平面AD1C.感悟提升1.垂直與平行的結合問題，求解時應注意平行、垂直性質及判定的綜合應用.2.對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質進行推理論證.所以△OBA∽△ABC，所以∠CAB＝∠AOB.記BF⊥AO的垂足為H，則△BHA∽△OBA，所以∠HBA＝∠AOB.所以∠HBA＝∠CAB，所以BF＝AF，∠BCF＝∠CBF，所以CF＝BF，CF＝AF，故F是AC的中點.因為E，F(xiàn)分別是AP，AC的中點，所以EF∥PC.因為D，O分別是BP，BC的中點，所以DO∥PC，所以EF∥DO.又DO?平面ADO，EF

平面ADO，所以EF∥平面ADO.(2)若∠POF＝120°，求三棱錐P－ABC的體積.解由(1)得FO∥AB，因為AB⊥BC，所以FO⊥BC.又PO⊥BC，所以∠POF是二面角P－BC－F的平面角，如圖，過點P作PM⊥平面ABC于點M，連接MO，則∠POM是二面角P－BC－M的平面角，所以∠POM＝60°.微點突破

幾何法求線面角、二面角1.求線面角的三個步驟：一作(找)角，二證明，三計算，其中作(找)角是關鍵，先找出斜線在平面上的射影，關鍵是作垂線，找垂足，然后把線面角轉化到三角形中求解.2.作二面角的平面角的方法作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個半平面內找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.C解析取BC的中點E，連接DE，AE，如圖.依題意三棱柱ABC－A1B1C1為正三棱柱，因為D，E分別是BC1和BC的中點，所以DE∥CC1，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥AE，因為AE⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E，BC，DE?平面BB1C1C，所以AE⊥平面BB1C1C，所以∠ADE是AD與平面BB1C1C所成的角，B解析取MN的中點E，連OE，PE，因為OM＝ON，所以OE⊥MN，因為PM＝PN，所以PE⊥MN，所以∠PEO是二面角P－MN－O的平面角，因為PO⊥平面OMN，OE?平面OMN，所以PO⊥OE，D解析在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，所以∠A1CA是A1C與平面ABCD所成的角，連接AC，且AC?平面ABCD，則AA1⊥AC，又AB＝1，BC＝2，AA1＝5，(2)我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.在如圖所示的“塹堵”中，AC＝CB＝CC1，則二面角C1－AB－C的正切值為(

)D解析由AC＝CB知，AC⊥CB，取AB的中點M，連接C1M，CM，由條件，可知∠C1MC即為二面角C1－AB－C的平面角，課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.(多選)若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P

l，則下列命題中是真命題的為(

)A.過點P垂直于平面α的直線平行于平面βB.過點P垂直于直線l的直線在平面α內C.過點P垂直于平面β的直線在平面α內D.過點P且在平面α內垂直于l的直線必垂直于平面βACD解析由于過點P垂直于平面α的直線必平行于平面β內垂直于交線的直線，則直線平行于平面β，因此A正確；過點P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內，因此B不正確；根據(jù)面面垂直的性質定理知，選項C，D正確.2.(2024·河南名校聯(lián)考)設α是空間中的一個平面，l，m，n是三條不同的直線，則下列說法正確的是(

)A.若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥αB.若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥αC.若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l⊥nD.若m?α，n⊥α，l⊥n，則l∥mB解析A選項，若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l與α相交、平行或l?α，如圖1，m∥n，且滿足m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，但此時l與α斜交，故A錯誤；B選項，因為l∥m，m∥n，所以l∥n，因為l⊥α，所以n⊥α，故B正確；C選項，因為m⊥α，n⊥α，所以m∥n，因為l∥m，所以l∥n，故C錯誤；D選項，若m?α，n⊥α，l⊥n，則l與m相交、平行或異面，如圖2，滿足m?α，n⊥α，l⊥n，但此時l與m異面，故D錯誤.故選B.3.(2024·杭州質檢)已知直線a，b與平面α，β，γ，能使α⊥β成立的充分條件是(

)A.a∥α，b∥β，a⊥b B.α⊥γ，β⊥γC.a∥α，a⊥β D.α∩β＝a，a⊥b，b

βC解析對于A，a∥α，b∥β，a⊥b，α與β可分別繞直線a與b任意轉動，則α與β可能相交，也可能平行，故不是α⊥β的充分條件，A錯誤；對于B，α⊥γ，β⊥γ，則α與β可能相交，也可能平行，B錯誤；對于C，設過直線a的平面與α交于直線c，因為a∥α，所以a∥c，又a⊥β，所以c⊥β，又c?α，所以α⊥β，所以C為α⊥β的充分條件，C正確；對于D，α∩β＝a，a⊥b，b?β，若作直線d使得a⊥d，且d?α，則b與d的夾角即二面角α－a－β的平面角，由于該二面角不一定為直角，所以α與β不一定垂直，D錯誤.故選C.4.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在(

)A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內部A解析連接AC1(圖略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上.5.(多選)如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是(

)BD解析對于A，顯然AB與CE不垂直，則直線AB與平面CDE不垂直；對于B，因為AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；對于C，顯然AB與CE不垂直，所以直線AB與平面CDE不垂直；對于D，因為ED⊥平面ABC，則ED⊥AB，同理CE⊥AB，因為ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.6.(多選)如圖，AC＝2R為圓O的直徑，∠PCA＝45°，PA垂直于圓O所在的平面，B為圓周上不與點A，C重合的點，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，則下列結論正確的是(

)A.平面ANS⊥平面PBC B.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBC D.平面ABC⊥平面PACACD解析∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又AC為圓O直徑，所以AB⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又AN?平面PAB，∴BC⊥AN，又AN⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB?平面PBC，∴AN⊥平面PBC，∵AN?平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC，∴A，C，D正確.7.(2024·東營模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和線段BC1上的動點，則滿足與DD1垂直的直線MN(

)A.有且僅有1條 B.有且僅有2條C.有且僅有3條 D.有無數(shù)條D解析如圖，過點N作NE⊥BC，垂足為E，連接DE，當M，N高度一樣，即MD＝NE時，一定有DD1⊥MN，理由如下：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD，又MD＝NE，所以四邊形MDEN為平行四邊形，所以MN∥DE.因為DD1⊥平面ABCD，且DE?平面ABCD，所以DD1⊥DE，則DD1⊥MN.所以當M，N高度一樣，即MD＝NE時，一定有DD1⊥MN，此時滿足條件的直線MN有無數(shù)條.8.如圖所示是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中，棱_________________________________所在的直線與棱AB所在的直線是異面直線且互相垂直.(注：填上你認為正確的一條棱即可，不必考慮所有可能的情況)CG，DH，EH，F(xiàn)G(任選一個作答)解析如圖，結合平面圖形還原出正方體，結合正方體性質易知，棱CG，DH，EH，F(xiàn)G所在的直線與棱AB所在的直線是異面直線且互相垂直.9.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足條件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的__________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認為是正確的條件序號即可).②(或③)解析連接AC(圖略)，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.∵底面各邊都相等，∴AC⊥BD.∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.10.在矩形ABCD中，AB<BC，現(xiàn)將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折的過程中，給出下列結論： ①存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直； ②存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直； ③存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直.

其中正確結論的序號是________.②解析①假設AC與BD垂直，過點A作AE⊥BD于點E，連接CE，如圖所示.則BD⊥CE，而在平面BCD中，CE與BD不垂直，故假設不成立，①不正確；②假設AB⊥CD，∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB<BC可知，存在這樣的直角三角形，使AB⊥AC，故假設成立，②正確；③假設AD⊥BC，∵CD⊥BC，AD∩CD＝D，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，即△ABC為直角三角形，且AB為斜邊，而AB<BC，故矛盾，假設不成立，③不正確.11.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點. (1)求證：BD⊥平面PAC；證明因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.因為底面ABCD為菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.