3年高考2年模擬2025版新教材高考數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.1指數(shù)與指數(shù)函數(shù)4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像第2課時指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像的應(yīng)用講義

PAGEPAGE10第2課時指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像的應(yīng)用探究一指數(shù)式的大小比較例1比較下列各題中兩個值的大小:(1)1.7-2.5,1.7-3;(2)1.70.3,1.50.3;(3)1.70.3,0.83.1.解析(1)∵1.7>1,∴y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函數(shù).∵-2.5>-3,∴1.7-2.5>1.7-3.(2)解法一:∵1.7>1.5,∴在(0,+∞)上,y=1.7x的圖像位于y=1.5x的圖像的上方.又∵0.3>0,∴1.70.3>1.50.3.解法二:1.70.31.50.3(3)∵1.70.3>1.70=1,0.83.1<0.80=1,∴1.70.3>0.83.1.思維突破比較兩個冪的大小的方法(1)比較同底數(shù)不同指數(shù)的兩個冪的大小時,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來推斷.(2)比較底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個冪的大小時,利用指數(shù)函數(shù)的圖像的改變規(guī)律來推斷.(3)比較底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個冪的大小時,則通過中間值來推斷.1.若a=0.512,b=0.51A.a>b>c B.a<b<cC.a<c<b D.b<c<a答案B∵y=0.5x在R上是減函數(shù),且12>13>1探究二解含指數(shù)式的不等式例2(易錯題)解關(guān)于x的不等式:a2x+1≤ax-5(a>0,且a≠1).易錯辨析:忽視對底數(shù)a的探討致誤.解析當(dāng)0<a<1時,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≥x-5,解得x≥-6.當(dāng)a>1時,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.綜上所述,當(dāng)0<a<1時,不等式的解集為{x|x≥-6};當(dāng)a>1時,不等式的解集為{x|x≤-6}.易錯點撥解含指數(shù)式的不等式的基本方法是先將其化為同底指數(shù)式,再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解,留意底數(shù)對不等號方向的影響.2.已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,則x的取值范圍是.

答案12解析∵a2+a+2=a+122∴(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x?x>1-x?x>12,∴x∈1探究三指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性例3函數(shù)y=12A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]C.[1,+∞) D.(-∞,1]答案C解析函數(shù)由y=12t,t=-x2+2x(x∈R)復(fù)合而成,因為y=12t是減函數(shù),所以只需求t=-x2思維突破確定指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性的方法與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題,可先求出內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再與外層函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合,利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定其單調(diào)性.3.(1)(變條件)f(x)=12x2(2)(變條件、變問法)函數(shù)y=12-x2+x+2答案(1)(-∞,-5](2)123解析(1)令y=12u,u=x2+10x-5(x∈R),易知y=12u為減函數(shù),u=x2+10x-5的圖像的對稱軸是x=-5,∴u=x2(2)易知函數(shù)的定義域為[-1,2],令t=-x2+x+2則0≤t≤32,∴y=12ty=12t是減函數(shù),當(dāng)∴函數(shù)y=12-x1.若2x+1<1,則x的取值范圍是()A.(-1,1) B.(-1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)答案D不等式2x+1<1=20,∵y=2x是增函數(shù),∴x+1<0,即x<-1.2.已知三個數(shù)a=60.7,b=0.70.8,c=0.80.7,則這三個數(shù)的大小關(guān)系是()A.a>b>c B.b>c>aC.c>b>a D.a>c>b答案D因為a=60.7>60=1,c=0.80.7>0.70.7>0.70.8=b,c=0.80.7<0.80=1,所以a>c>b.3.(2024北京北師大試驗中學(xué)高三月考)函數(shù)y=2-|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(-∞,+∞) B.(-∞,0]C.[0,+∞) D.[1,+∞)答案B∵y=2-|x|=2-∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0],故選B.4.設(shè)0<a<1,則關(guān)于x的不等式a2x2-3x+2答案(1,+∞)解析∵0<a<1,∴y=ax在R上是減函數(shù),又∵a2x2∴2x2-3x+2<2x2+2x-3,解得x>1.5.函數(shù)y=52x2答案34解析設(shè)u=2x2-3x+1(x∈R),其圖像的對稱軸為直線x=34則u=2x2-3x+1在-∞,3在34因為y=5u是增函數(shù),所以y=52x2在34邏輯推理——利用函數(shù)性質(zhì)求解不等式(2024上海建平中學(xué)高一月考)已知函數(shù)f(x)=12+1(1)推斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并說明理由;(2)解不等式f(x)≥56素養(yǎng)探究:利用所給條件推理出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,再利用奇偶性、單調(diào)性的性質(zhì)求值或解不等式,考查學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).解析(1)f(x)為奇函數(shù).理由:函數(shù)f(x)=12+12x定義域為{x|x≠0},關(guān)于原點對稱,且f(-x)=2-x+1所以f(x)為奇函數(shù).(2)f(x)≥56,即為12+12即有12x-1≥解得0<x≤2,即原不等式的解集為(0,2].已知定義域為R的函數(shù)f(x)=-2(1)求實數(shù)m,n的值;(2)已知t∈[-1,1]時,不等式f(t2-a)+f(at-2)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.解析(1)∵f(x)是奇函數(shù),且定義域為R,∴f(0)=0,即n-1m又由f(1)=-f(-1)知1-2m解得m=2,經(jīng)檢驗符合題意,故m=2,n=1.(2)由(1)知f(x)=1-2x2+2∵f(x)是奇函數(shù),∴f(t2-a)≥f(2-at).∵f(x)為減函數(shù),∴t2-a≤2-at,即t∈[-1,1]時,有t2-a+at-2≤0,∴1+a-a故實數(shù)a的取值范圍是a≥-12——————————————課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練—————————————1.若122aA.(1,+∞) B.1C.(-∞,1) D.-∞,答案B∵函數(shù)y=12x∴2a+1>3-2a,∴a>122.函數(shù)y=ax在[0,1]上的最大值與最小值的和為3,則函數(shù)y=2ax-1在[0,1]上的最大值是()A.6 B.1 C.3 D.3答案C函數(shù)y=ax在[0,1]上是單調(diào)函數(shù),故其最大值與最小值都在端點處取得,故有a0+a1=3,解得a=2,因此函數(shù)y=2ax-1=4x-1在[0,1]上是單調(diào)遞增函數(shù),當(dāng)x=1時,ymax=3.3.已知a=5-12,函數(shù)f(x)=axA.m+n<0 B.m+n>0C.m>n D.m<n答案D∵0<5-12<1,∴f(x)=ax=又∵f(m)>f(n),∴m<n,故選D.4.(2024上海行知中學(xué)高一月考)若函數(shù)f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)滿意f(1)=19A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]答案B5.設(shè)y1=40.9,y2=80.48,y3=12A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2答案D40.9=21.8,80.48=21.44,12-1.因為y=2x在R上是增函數(shù),所以21.8>21.5>21.44,即y1>y3>y2,故選D.6.(2024山東濟(jì)寧一中高一月考)函數(shù)f(x)=8-12x的定義域是答案[-3,+∞);[0,22)解析∵8-12x≥0,∴12x∴x≥-3,∴f(x)的定義域是[-3,+∞).∴0<12x≤8,∴0≤8-∴0≤8-12∴f(x)的值域是[0,22).7.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=1-2-x,求不等式f(x)<-12解析∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(0)=0.當(dāng)x<0時,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(1-2x)=2x-1,由2x-1<-12,得2x<2-1當(dāng)x>0時,由1-2-x<-12,得12x當(dāng)x=0時,f(0)=0<-12綜上可知,x∈(-∞,-1).8.(多選)若指數(shù)函數(shù)y=ax在區(qū)間[-1,1]上的最大值和最小值的和為52A.2 B.12 C.3 D.答案AB當(dāng)a>1時,可得ymin=1a,ymax=a,那么1a+a=5當(dāng)0<a<1時,可得ymax=1a,ymin那么1a+a=52,解得a=故a的值可能是12故選AB.9.設(shè)f(x)=|3x-1|,c<b<a且f(c)>f(a)>f(b),則下列關(guān)系式中肯定成立的是()A.3c<3b B.3c>3bC.3c+3a>2 D.3c+3a<2答案Df(x)=|3x-1|的圖像如圖所示.由c<b<a且f(c)>f(a)>f(b),可知c,b,a不在同一個單調(diào)區(qū)間上,故有c<0,a>0,∴f(c)=1-3c,f(a)=3a-1,∴1-3c>3a-1,即3c+3a<2.10.已知函數(shù)f(x)=ax,x≥1,4-a2x+2,x<1,若對隨意答案[4,8)解析因為對隨意的x1,x2且x1≠x2都有f(x1解得4≤a<8.11.若對隨意x∈(-∞,-1),都有(3m-1)2x<1成立,則m的取值范圍是.

答案(-∞,1]解析由題意得3m<12x+1,又y=12x+1在x∈(-∞,-1)上單調(diào)遞減,所以112.已知定義域為R的函數(shù)f(x)=b-(1)求a,b的值;(2)用定義法證明f(x)在R上為減函數(shù);(3)若對于隨意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍.解析(1)∵f(x)為R上的奇函數(shù),∴f(0)=0,∴b=1.又f(-1)=-f(1),∴a=1.(2)證明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,由(1)知f(x)=1-則f(x1)-f(x2)=1-2=(=2(∵x1<x2,∴2x2-又(2x1+1)(∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在R上為減函數(shù).(3)∵對于隨意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,∴f(t2-2t)<-f(2t2-k),∵f(x)是奇函數(shù),∴f(t2-2t)<f(k-2t2),又f(x)為減函數(shù),∴t2-2t>k-2t2,即k<3t2-2t恒成立,∵3t2-2t=3t-132-∴k<-1313.設(shè)A是同時符合以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的集合:①x∈[0,+∞)時,都有f(x)∈(1,4];②f(x)在[0,+∞)上是減函數(shù).(1)推斷函數(shù)f1(x)=2-x和f2(x)=1+3·12(2)把(1)中你認(rèn)為是集合A中的一個函數(shù)記為g(x),若不等式g(x)+g(x+2)≤k對隨意的x≥0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.解析