2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)專題39 雙曲線及其性質(zhì)（解析版）

專題39雙曲線及其性質(zhì)

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)用B的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于忸鳥|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線

（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）.用集合表示為｛M用-或=2a（0v2av忻名|）｝

注意：（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支.

：2）當(dāng)2a=恒用時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以K和6為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2a=0時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段片6的

垂直平分線.

⑶2a>|耳聞時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：

①條件"|耳巴|>2”是否成立；②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定后,從的值），注意

a2+Z>2=d的應(yīng)用.

知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)

雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程+-方=1(°>0消>0)與-==13>0,〃>0)

a~b~

/干

圖形6比.

"a1a二,

焦點(diǎn)坐標(biāo)耳(—c,0),瑪(c,0)百(0,—°),瑪(0,c)

對(duì)稱性關(guān)于x,y軸月憶軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

頂點(diǎn)坐標(biāo)A(一。,0)，A(^0)A(0M),4(0,-a)

范圍|垂。L

實(shí)軸、虛軸實(shí)軸￡為2a,虛軸長(zhǎng)為2〃

e=(e>i)

離心率rf?

令，A0="二為令臺(tái)A0="土"

漸近線方程

焦點(diǎn)到漸近線的距離為人焦點(diǎn)到漸近線的距離為人

>1,點(diǎn)（與,為）在雙曲線內(nèi)

>1,點(diǎn)“0,%）在雙曲線內(nèi)

（含焦點(diǎn)部分）

點(diǎn)和雙曲線y2f（含焦點(diǎn)部分）

，b2=1,點(diǎn)（%，%）在雙曲線上“~~<

的位置關(guān)系/b2=1,點(diǎn)（X0,%）在雙曲線上

<1,點(diǎn)（小,用）在雙曲線外

V1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線外

共焦點(diǎn)的雙2

fv22

—：-------二1(一〃2<k<b2)-^---^—=\(-a<k<b)

曲線方程/+攵b2-ka~+kb~-k

共漸近線的22

~2~^="4工。)與-TT="4。°)

雙曲線方程ab”

切線方程?^-■^■=1,(如%)為切點(diǎn)=1,(%,%)為切點(diǎn)

ahah

對(duì)于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程，只需將雙曲線方程中V換為/X,V換成

切線方程

便得.

3苧一穌）為雙曲線

誓一誓=毛,%）為雙曲線外一點(diǎn)

切點(diǎn)弦所在a"b~1,（

ab~

直線方程外一點(diǎn)

點(diǎn)（飛,為）為雙曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)

設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為4芭,必），B（x2,y2）,kAB=k.

則弦長(zhǎng)/="+k*一切=小+卷.|凹一），2匹0）,

弦長(zhǎng)公式

歸一引=+再）2-4中2=聆，其中"4”是消"y”后關(guān)于“爐的一元二次方程的

“丁，，系數(shù).

2h2

通徑通徑（過焦點(diǎn)且垂直于丹色的弦）是同支中的最短弦，其長(zhǎng)為士

a

叉曲線上一點(diǎn)P(x0,y0)與兩焦點(diǎn)0尸2構(gòu)成的“￡鳥成為焦點(diǎn)三角形，

攵/月〃乃二°,「川=4，|尸6|=弓，貝iJcos〃一1一組，

r\r2

胃或聞

rUol

焦點(diǎn)三角形

=%sin”-八與二曲梵既上

12

21-cos^13ng］c闖,焦點(diǎn)在y軸上

2

考點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

‘儼用-歸用|=2〃(2〃＞2C)

<5.外=今尸耳卜|尸用sinbPE

館曰2=|叫2+附］2冏療周cosNRPK

等軸雙曲線滿足如二充要條件：雙曲線為等軸雙曲線oa=人。離心率6=夜=

等軸雙曲線

兩漸近線互相垂直o漸近線方程為y=±x=方程可設(shè)為x2-丁=工0).

【方法技巧與總結(jié)】

(1)雙曲線的通徑

過雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑.通徑長(zhǎng)為1

(2)點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系

對(duì)于雙曲線二一4?二1(。＞A：＞0),點(diǎn)？(飛,九)在雙曲線內(nèi)部，等價(jià)于4一4力.

a~b~(Tb~

點(diǎn)P3°,%)在雙曲線外部，等價(jià)于每一冬＜］結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)來分析.

(3)雙曲線?？夹再|(zhì)

性質(zhì)1：雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)A；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)或；

c

性質(zhì)2：雙曲線上的任意點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)嘩；

C

(4)雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為二萬(可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大)

tan

2

C5)雙曲線的切線

點(diǎn)M5，%)在雙曲線［-與=1S>0，b>0)上，過點(diǎn)M作雙曲線的切線方程為第-岑=1.若點(diǎn)

a'b~a'h'

在雙曲線二—￡=l(a>0,b>0)外，則點(diǎn)〃對(duì)應(yīng)切點(diǎn)弦方程為警-羋=1

a~b~arb~

【題型歸納目錄】

題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

題型二：雙曲線方程的充要條件

題型三：雙曲線中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問題

題型四：雙曲線上兩點(diǎn)距離的最值問題

題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問題

題型六：離心率的值及取值范圍

方向1：利用雙曲線定義去轉(zhuǎn)換

方向2：建立關(guān)于〃和c的一次或二次方程與不等式

方向3：利用e=人,其中2c為焦距長(zhǎng)，2a=歸用-|尸周

方向4：坐標(biāo)法

方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理

方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理

方向7：利用基本不等式

方向8：利用漸近線的斜率求離心率

方向9：利用雙曲線第三定義

方向10：利用對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)焦半徑的取值范圍+8)

題型七：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問題

題型八：利用第一定義求解軌跡

題型九：雙曲線的漸近線

題型十：共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線

【典例例題】

題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

例L(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))“2+(尸3)2—“^+(>+3)2=4表示的曲線方程為()

A.土一上=1(立一2)B.--^-=l(x>2)

4545

>222

c.=I(><-2)D.=l(y>2)

【答案】c

【解析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離的定義，廣-7?+小時(shí)=4表示動(dòng)點(diǎn)U，y）到（0,3）與（0,-3）的距離之

差等于4（且兩個(gè)定點(diǎn)的距離大于4）的集合.

根據(jù)雙曲線定義可知，。=2,。=3

所以/=3?-2?=5

由焦點(diǎn)在y軸上，所以

?-（=1,且到點(diǎn)（3,0）的距離比較大

所以）日—2

即曲線方程為［?一］=1（"-2）

故選：C.

【方法技巧與總結(jié)】

求雙曲線的方程問題，一般有如下兩種解決途杼：

：1）在已知方程類型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù)4,h,C,即利用待定系數(shù)法

求方程.

：2）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足的條件，來確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，然后求解方程中的參數(shù)，即利用定義法

求方程.

例2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：二一￡=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，雙曲線C上有一

97

點(diǎn)尸，若|P￡|=7,則歸用=.

【答案】1或13

【解析】因?yàn)殡p曲線C：—-^-=1,

97

所以a=3t

所以仍外一|「周|=久=6,

又因?yàn)閨P用=7,

所以|P閭=13或|尸周=1,

故答案為：1或13.

例3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知雙曲線的一條漸近線方程為y=2x,且經(jīng)過點(diǎn)心，4石），則該雙曲線

的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】上一1=1

416

【解析】根據(jù)題意知，2x4>46,所以點(diǎn)（4,4⑹在漸近線方程產(chǎn)2x的右下方，

設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為■-￡>=1

所以該雙曲線的焦點(diǎn)在x軸」且。>0,/?>()：

又2=2,所以/>=加；

a

解得1=4,從=]6,

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是￡=1.

故答案為：=1

416

例4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）與雙曲線《一1=1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（3立,2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【答案】--^=\

128

【解析】由雙曲線蘭-￡=1可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為（士2技0'

史上

由題意可得：滔■一齊'=,解得，

〃二8

a2+b2=20

故答案為：—-^-=1.

128

22

例5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知耳（-3,0）,鳥（3,0）分別是雙曲線,〉］（4>0為>0）的左、右焦點(diǎn),

點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，若IWI+I%|=6處且△刊但的最小內(nèi)角為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】B

【解析】設(shè)點(diǎn)戶為雙曲線右支上一點(diǎn)，則|P￡|>|P閭,

因?yàn)閨PK|一|P瑪1=2,且為耳|+|%|=3,

所以仔耳1=4,任周=2,

由題，因?yàn)檠苡?2r=6,則2:c>2:^7,所以NPK瑪為最小角，故/歷居=g,

4a>2a'6

所以在△尸6鳥中，由余弦定理可得，（旬*（加）--（勿）-=正,解得〃=&,

2-4a-2c2

所以b=6?

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為工-廿=1.

36

故選：B

例6.⑵22?河北石家莊?高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)代2,。）、相,。），將函數(shù)必的圖像繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)泮

到曲線C,在C上任取一點(diǎn)P,則||尸A|-|PB||=（）

A.2丘B(yǎng).2C.y/2D.不確定

【答案】A

【解析】直線丁=%與聯(lián)立得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1）、（T-D,這兩點(diǎn)間的距離為?+產(chǎn)+（1+1>=2五,

所以由數(shù)V的圖像繞原點(diǎn)順時(shí)針旋，吟得到雙曲線方程為=1,由雙曲線定義得

\\PA\-\PB\\=2yf2.

故選：A.

例7.12022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲線5=1（"0"）的離心率為回左、右焦點(diǎn)分別為R,F2,

以耳尸:為直徑的圓與雙曲線右支的一個(gè)交點(diǎn)為P.若|Pgl=2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.r-^-=lB.--/=1

44

C.--^-=1D.—-^-=1

2882

【答案】A

【解析】因?yàn)殡x心率為所以6=2=^^=小+5=6’所以匕二為’因?yàn)?也1=2，12用-1%1=兄

所以|P￡|=2+2?,又|耳耳|=2c,且△尸石瑪為以/寫尸”為直角的直角三角形，所以4+（2+24）2=（2C）2,

即8+必+4。2=4<?2,又/=々2+b2=5々2,所以2。2-〃一1=0，解得。=］或（舍去）

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：/_￡=1

4

故選：A

例8.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為人（-3,0）,6（3,0）,P為雙

曲線上一點(diǎn)且11MHp周|=4,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】A

【解析】由雙曲線的定義可得。=3,為=4,即。=2,/>2=^-^=9-4=5,且焦點(diǎn)在“軸上，所以雙曲

線的方程為：4-v-=i-

45

故選：A.

例9.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））雙曲線C的兩焦點(diǎn)分別為（-6,0）,（6,0）,且經(jīng)過點(diǎn)（-5,2）,則

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】B

【解析】21=,（-5+6）2+2z-J（-5-6）2閉=4后

所以。=26，又c=6,

所以“=^一/=36—20=16.

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（-，=1

故選：B

22

例10.（2022?江蘇?高三階段練習(xí)）已知雙曲線烏-1=1（"0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為用，鳥，過得且斜

aa'

率為與的直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為4,若優(yōu)耳+尸2人）6人=。，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）

l22

,xy-cF/_iD,廣―

A.----=7B.—-^-=1J------------=1

4334169916

【答案】D

【解析】由題可知，F(xiàn)iA=-F2Fl+F2A,

若（石耳+6A）KA=0,

即為（5耳+瑪用?（一/月+豆）=0,

可得川［=鳥耳"

即有H6耳|=2c,

由雙曲線的定義可知|從周一|人閭=2〃，

可得|.4用=%+2。，

由于過a的直線斜率為半，

24

所以在等腰三角形斗七工中，tanNA鳥耳=-萬，

則cosZARK二一￡，

「hA產(chǎn)小工田汨〃廠廠74c2+4c2-（2a+2c）2

由余弦定理得：cos乙4圾￡=--=-----——------,

252>2o2c

化簡(jiǎn)得：3c=5a,

即白3=/64

可得a:b=3:4,/：62=9：］6,

所以比雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為：—-^=1.

916

故選：D.

例11.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳（0,-5）,5（0,5）,雙曲線上一點(diǎn)尸與耳,

K的距離差的絕對(duì)值等于6,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】C

【解析】由題意，c=5,2a=6na=3,則底后二7=4,結(jié)合條件可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡一片=1.

916

故選：C.

例12.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為￡（0,3）,^（0-3）,P是雙曲線上一點(diǎn)

且||p61Tp引=4,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【答案】C

【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1-\=1（〃〉0力>0）,半焦距為c,

則由題意可知c=3,2a=4,即。=2,故從=/_°2=”4=5,

22

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二-三=1.

45

故選：c.

例13.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:*-￡=l（a>0,b>0）的左、右俵點(diǎn)分別為片，區(qū),一條漸近

線方程為y="r,過雙曲線。的右焦點(diǎn)用作傾斜角為|■的直線/交雙曲線的右支于A,8兩點(diǎn)，若

的周長(zhǎng)為36,則雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程為：)

2

A.二上X2v2

1B.—-^-=1C.X2--=1D.—-y2=l

244222)

【答案】C

【解析】因?yàn)殡p曲線=的一條漸近線方程為y=

2j

所以力=缶，則雙曲線方程為之■一上7=13〉。），M（-島,0）,巴（島,0）,

a2a

所以直線/為y=lan。（x-6a）=G（x-,

設(shè)A（X1,y）,8（々,必），

儼丁7

由?a22a2,得J-66ax+11?2=0?

了=?*—鳥）

則x}+x,=&J3a,xlx2=11/,

所以|AB|=4m?J（K+%f-4內(nèi)毛=24）8/-44/=18,

因?yàn)閨A用二|A周+勿，忸用=忸用+為，

所以|新|+忸制=|傷|+忸閭+4=|陰+缶=200,

因?yàn)椤?1//的周長(zhǎng)為36,

所以|叫|+忸耳|+|明=36,

所以20a+16?=36?得。=1,

所以雙曲線方程為x2-^-=\,

2

故選：C

例14.（2022?全國(guó)?高三階段練習(xí)（理））與橢圓。:得+”1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)（1典的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.X2--=1B.y2-2x2=1

3?

【答案】C

【解析】橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±2）,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=力＞0）,

由雙曲線的定義可得2a=』十（6+2）2-』+回2『=（太+夜夜）=2夜，

a—5/2?'**c=2?:.b=＞/c2—a2=V2?

22

因此，雙曲線的方程為E-工=1.

22

故選：C.

例15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）工、瑪是雙曲線5g=l（a＞0,方＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，拋物線產(chǎn)=4后的

準(zhǔn)線/過雙曲線的焦點(diǎn)片,準(zhǔn)線與漸近線交于點(diǎn)A,=則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

22

22

A.—-y=lB.x-^-=i

16,16

C.丁-21=1D.—-y2=l

44

【答案】C

【解析】拋物線產(chǎn)=4后的準(zhǔn)線方程為才=-有，

則則￡（-石,。）、6（布,0）,

_b

不妨設(shè)點(diǎn)A為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立'=一￡”,

x=-c

x=-c

可得qbe,即點(diǎn)A

y=—

a

因?yàn)镴_匕巴且NE居A=￡,則為等腰直角三角形，

4

且|A￡|=|耳段，即3=2°,可得g=2,又由0=石,°2=々2+心

解得。=1力=2,因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/-亡=1.

4

故選：C.

例16.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲線。：［-1=1（。＞0力＞0）滿足2=且，且與橢圓￡+《=1有

公共焦點(diǎn)，則雙曲線C的方程為（）

【答案】A

【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+￡=1，可得/=12-3=9,即c=3,

123

因?yàn)殡p曲線C的焦點(diǎn)與橢圓《+《=1的焦點(diǎn)相同，所以雙曲線。中，半焦距c=3,

123

又因?yàn)殡p曲線=滿足2=2^,即〃=^-a>

a-匕a22

//7Y

又由/+從=。2,即/+岑〃=9,解得/=4,可得巨=5，

I2)

所以雙曲線。的方程為W-￡=i.

45

故選：A.

例17,(2022,全國(guó)?高三專題練習(xí))求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)頂點(diǎn)在x軸上，焦距為10,離心率是：；

(2)一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2),一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-6)；

(3)焦點(diǎn)在y軸上，一條漸近線方程為y=實(shí)軸長(zhǎng)為12；

(4)漸近線方程為y=?%，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-572,0)和(5&,0).

【分析】

根據(jù)雙曲線的頂點(diǎn)或焦點(diǎn)位置、潮近線方程及焦距、實(shí)軸長(zhǎng)，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求雙曲線方程.

_c_5

(1)由題設(shè)，。=5且~?-4,則a=4,b2=c2-a2=9,

又頂點(diǎn)在x軸上，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為4=1.

169

(2)由題設(shè)，a=2,c=#,則從

又一個(gè)焦點(diǎn)為伍,一百），故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為?-f=1?

士二=1

（3）由題設(shè)，。=6,又焦點(diǎn)在y軸上，令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為36b2~

又一條漸近線方程為y="即於=/則從=據(jù)，

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.

3664

《-￡=1

（4）由題設(shè)，。=5&且焦點(diǎn)在x軸上，令/b2

又漸近線方程為尸?%釁i而

所以d=32,從=18,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為占-￡=1

3218

例18.（2022,全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:

（1）。=4,經(jīng)過點(diǎn)4（1，一號(hào)^）

⑵與雙曲線分/1有相同的焦點(diǎn)’且經(jīng)過點(diǎn)（3立2）.

22

土-與=1S>O）

【解析】（1）當(dāng)焦點(diǎn)在“軸上時(shí)，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為16b2

把點(diǎn)力的坐標(biāo)代入，可得從=-j|x與<0,不符合題意;

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)所求標(biāo)準(zhǔn)方程為（-￡=1伍>0）,

把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得從二9，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為X-三

169

22

綜上，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為上-三=1.

169

x2v2

----------<16）

（2）設(shè)所求雙曲線的方程為16-24+/,

1Q4

因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)（3應(yīng),2）,所以「~7一7==1，解得；1=4或-14（舍）.

16-24+2

所以雙曲線的方程為《-《=1

128

題型二：雙曲線方程的充要條件

例19.（2022?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測(cè)（理））“加〈0”是“,加+町，2=1為雙曲線,，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】因?yàn)榉匠?，?+，4=1表示雙曲線，所以〃加＜0，

又當(dāng)如?＜（）時(shí)，方程如：2+融2=]表示雙曲線,

因此0”是“方程必2+〃爐=1表示雙曲線,，的充要條件

故選：C

【方法技巧與總結(jié)】

-------1-------=1表示橢圓的充要條件為:ni>O,n>Ojn^n；

mn

22

三+21=1表示雙曲線方程的充要條件為：""?＜（）；

mn

22

三+21=1表示圓方程的充要條件為：m=〃＞0.

mn

22

例20.（2022?廣東?高三階段練習(xí)）“辰2”是“方程+工=1表示雙曲線”的（）

25-kk-9

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】???方程工一+工=1為雙曲線，???（25-幻伏-9）＜0,

25-kk—9

22

.」＜9或左＞25,.??“Av2”是“方程=^+二一=1為雙曲線”的充分不必要條件，

25-kk-9

故選：A.

例21.（多選題）（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若曲線。的方程為三十上方=1（〃〉。），則（）

w2-m~'

A.當(dāng)m=也時(shí)，曲線。表示橢圓，離心率為:

22

B.當(dāng)切=百時(shí)，曲線C表示雙曲線，漸近線方程為y=士,x

C.當(dāng)〃?=1時(shí)，曲線C表示圓，半徑為1

D.當(dāng)曲線C表示橢圓時(shí)，焦距的最大值為4

【答案】BC

廠x2y2

【解析】選項(xiàng)A,也時(shí)，曲線方程為T+虧=1，表示橢圓，其中。2=],從=《，則/=/-從=1,

23322

_c_1_V6

禽心率為"=i=FA錯(cuò)；

選項(xiàng)B,切=6時(shí)曲線方程為表示雙曲線，漸近線方程為［一>2=0,即y=±冬，B正確；

選項(xiàng)C,機(jī)=1時(shí)，曲線方程為Y+y2=］,表示圓，半徑為1,C正確；

2-zn2>0

選項(xiàng)D,曲線C表示橢圓時(shí)，,w2>00C<］或］<2，

m2w2-tri1

0v/n?vl時(shí)，a2=2-m2?b2=m2,c2=a2-b2=2-2m2e（0,2）,

1</<2時(shí)，/=m2,A>2=2-7M2,c2=a2-b1=2ni2-2e（0,2）,

所以/e（0,2）,即ce（0,V?）,無最大值.D錯(cuò).

故選：BC.

例22.（多選題）（2022?重慶八中模擬預(yù)測(cè)）曲線。的方程為+工=1,則下列說法正確的是（）

A.存在實(shí)數(shù)4使得曲線。的軌跡為圓

B.存在實(shí)數(shù)4使得曲線C的軌跡為橢圓

C.存在實(shí)數(shù)4使得曲線C的軌跡為雙曲線

D.無論4（4>-16且義工-9）取何值，曲線C的焦距為定值

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,因?yàn)?6+/>9+4,所以不存在實(shí)數(shù);I使得曲線C的軌跡為圓，故A不正確；

22

對(duì)于B,當(dāng)16+4乂）且9+/IX）時(shí)，即力>-9時(shí)，-一+上=1表示橢圓，所以存在實(shí)數(shù);I使得曲線。的

16+29+2

軌跡為橢圓，故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)（16+義）（9+2）<0,即一16<4<-9時(shí)，而三力+g=1表示雙戊線，故C正確；

對(duì)于D,當(dāng);1>一9時(shí)，——+上=1表示橢圓，此時(shí)橢圓的/=16+%—（9+#=7,所以曲線C的焦距為

16+29+2

定值；

當(dāng)一16<a<一9時(shí)，工—+上=1表示雙曲線，此時(shí)雙曲線的。2=16+2+［-（9+/1）］=7,所以曲線。的焦

16+29+2

距為定值；故D正確，

故選：BCD.

例23.（多選題）（2022?湖南?長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí)）已知曲線Cfnx2+nyn=m-\,則（）

A.當(dāng)m=n=2時(shí)，C為圓B.當(dāng)m=n=1時(shí)，C為拋物線

c.c不可能為橢圓D.C可能為雙曲線

【答案】ABD

【解析】當(dāng)加=〃=2時(shí)，C為圓A正確；

當(dāng)加=〃=1時(shí)，C為拋物線f=-y,B正確；

當(dāng)m=2,〃>0且〃中2時(shí)，。為橢圓2f+外，2=i,c錯(cuò)誤；

當(dāng)相=2,〃<0時(shí)，C為雙曲線2f+〃y2=],D正確.

故選：ABD.

例24.（多選題）（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知曲線C：—+=1,則下列說法正確的是（）

k-15-k

A.若曲線C表示雙曲線，則女>5

B.若曲線C表示橢圓，則1<攵<5且女工3

C.若曲線。表示焦點(diǎn)在彳軸上的雙曲線且離心率為手，則左二7

D.若曲線C與橢圓|《+上=1有公共焦點(diǎn)，則％=4

42

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A：若曲線C：￡+上=1表示雙曲線，則（女—1）（5-2）<0,解得%>5或&<1,故A錯(cuò)

k-\5-k

誤；

22"1>0

對(duì)于B：若曲線C：工+上=1表示橢圓，則[5-Q0,解得1<2<5且攵工3,故B正確；

k-[5-k.,.

若曲線C表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線且離心率為限則{a2=k-\

對(duì)于C：

[b2=k-5

、29t-64

所以°2=/+62=22一6,則/=】r=絲上=2,解得A=7,故C正確;

ak-\3

對(duì)于D：橢圓1的焦點(diǎn)為（土近,0），

42

/=人一1>0

若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,則，則欠>5,則1=22-6=2,解得左二4（舍去）;

b2=k-5>0

fa2=k-\>0

若曲線C表示焦點(diǎn)在彳軸上的橢圓，則加=5-女>0,則3<%<5,則。2=2左-6=2,解得2=4,符合題

|1>5-左

意，故％=4,故D正確;

故選：BCD

題型三：雙曲線中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問題

例25.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲稅工2一二=|的兩個(gè)焦點(diǎn)為尸2,。為雙曲線右支上一點(diǎn).若

24

4

|PF/|=-|PF2|,則尸2的面積為（）

A.23B.24

C.25D.26

【答案】B

【解析】由雙曲線的定義可得IPBITP尸2|=g|P產(chǎn)2|=2a=2,

解得IP尸21=6,故|PB|=8,

又尸/尸2|=10,故鳥為直角三角形，

因此S.法=J|PF/|.|PF2|=24.

故選：B.

【方法技巧與總結(jié)】

對(duì)于題中涉及雙曲線上點(diǎn)到雙曲線兩焦點(diǎn)距離問題常用定義，即歸國(guó)-尸周卜加，在焦點(diǎn)三角形面

積問題中若已知角，則用=3。6卜|尸用sin。，忸用一|尸修=加及余弦定理等知識(shí)；若未知角，

則用5“情=；2也|?

2

例26.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知尸是雙曲線9-y2=1的右焦點(diǎn)，若直線y=砥4>0）與雙曲線相交

于A,8兩點(diǎn)，且NA陽(yáng)N120。，則A的范圍是.

【答案】悍書

【解析】Vy-y2=l

/.?2=3,從=1焦點(diǎn)在“上

:.c2=3+1=4

二.焦點(diǎn)坐標(biāo)為E（—20）,/（20）

由雙曲線的對(duì)稱性可得尸，設(shè)43，X）,5*2，%），

X2.

1-y2=1

又??13,,Q0,

y=kx

23k2,顯

y~=----r/.y=±-/,

1-3/G后

，S…小耶，「小苦

又.恒尸|一|4國(guó)=恒尸|-忸尸|=26,

.\\AF2+|BF|2-2|AF||fiF|=12,

而|A42=|AF|2+|B/^2-2\AF\\BF\cosAAFB,

S^=^\AF\\BF\sinZAFB,

當(dāng)ZAFB=120時(shí)，=|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|cosZAFB=|AF|2+忸尸『+\AF\\BF\=\2+3\AF\\BF\,

S"小日陰陽(yáng)"慮，網(wǎng)陽(yáng)=備，

112k2241______

a+m.K=“+E’整理得小義向.

又?;&>0,/.k=—，

7

又???E—y2=］的漸近線方程為廣土立x,k<2

333

例27.（2022?全國(guó)?高三競(jìng)賽）設(shè)雙曲線±-）2=],￡是它的左焦點(diǎn)，宜線/通過它的右焦點(diǎn)尸2,且與雙曲

4

線的右支交于4,B兩點(diǎn),則歸可忖可的最小值為.

Q1

【答案】—

4

【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為（石,。）

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為丫=攵[一"）

代入雙曲線方程，消去y得（1-4*”2+8品Kx-20k2-4=0

設(shè)4（不,），5（再,必）

山中—生加俎8扁220M+4

由韋匕定理得陽(yáng)+/=獲』，*再=可』

根據(jù)雙曲線的第二定義得：

阿惘卜凈+2

再+逐（％+々）+4

8185、81

44（4*-1）~4

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，忸4卜忸q二g

根據(jù)雙曲線的第一定義得：

IM=H=i+2fl=1

I同詞卷

綜上：忖4忻目的最小值為日

Q1

故答案為：4

4

例28.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)%是雙曲線C：1一＜=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸在雙

169

曲線C上且|0片=5,則的面積為.

【答案】9

【解析】由雙曲線定義可知：||尸不—|叫||=2々=8,內(nèi)用=2c=10,

由已知，因?yàn)閨OP|=5=g但段，所以點(diǎn)尸在以￡鳥為直徑的圓上，

BP是以尸為更角頂點(diǎn)的直角三角形，故IP￡F+|PEF=|3p,

即|尸7/+1pF]|2=I.又|助|"=2〃=8,

22

所以64=||PFX\-\PF2||=I可F+1pF]|-2|加||PF21=100-2|歷||P8|,

解得:1至11尸61=18,所以S△如=]尸耳IIP片1=9

故答案為：9

/一