27.2.2+相似三角形的性質(zhì)++教案++2023-2024學年人教版九年級數(shù)學下冊+

27.2.2相似三角形的性質(zhì)教案【教學目標】1.理解并掌握相似三角形的性質(zhì).2.理解并掌握相似三角形周長與面積的性質(zhì).3.會運用相似三角形的性質(zhì)解決相關問題.【重難點】重點：探究相似三角形的性質(zhì).難點：理解與掌握相似三角形的性質(zhì)，并能運用相似三角形的性質(zhì)進行計算.【教學過程】【復習鞏固】如何判斷兩個三角形是否相似？(1)定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似.(2)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.(3)三邊成比例的兩個三角形相似.(4)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.(5)兩角分別相等的兩個三角形相似.(6)斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似.師生活動:教師提出問題，學生通過之前所學知識嘗試回答問題【設計意圖】通過回顧之前所學內(nèi)容，為接下來探究相似三角形的性質(zhì)打好基礎.【探究新知】師：思考：三角形中有各種各樣的幾何量，例如三條邊的長度，三個內(nèi)角的度數(shù)，高、中線、角平分線的長度，以及周長、面積等。如果兩個三角形相似，那么它們的這些幾何量之間有什么關系呢?根據(jù)三角形相似的定義，我們可以知道上面的幾何量中：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似.下面，我們研究相似三角形的其它幾何量之間的關系.三角形中除了三個角，三條邊，還有以下要素：師生活動:學生回答問題，教師補充三角形除了三個角，三條邊外，還有高、中線、角平分線、周長、面積這些要素.【猜想】如果兩個三角形相似，那么對應的這些要素有什么關系呢?你能證明嗎?師生活動:學生回答問題.【設計意圖】引導學生類比全等三角形中幾何量的對應關系猜想相似三角形對應幾何量間的關系，激發(fā)學生探究熱情.【知識點一】相似三角形對應線段之比.探究：如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對應高、對應中線、對應角平分線的比各是多少?師生活動:先由學生嘗試在紙上寫出完成的證明過程，教師巡視.①如圖△ABC和△A′B′C′，相似比為k，分別作△ABC和△A′B′C′的對應高AD和A′D′.∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B′.又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，∴△ABD∽△A′B′D′.∴????/"A′D′"=????/"A′B′"=k.結(jié)論1：相似三角形對應高的比等于相似比.【設計意圖】通過提示幫助學生完成證明過程，讓學生理解相似三角形對應高的比等于相似比.②如圖△ABC和△A′B′C′，相似比為k，其中AD和A′D′分別是BC和B′C′邊上的中線.則BD=12BC，B′D′=12B′C∵△ABC∽△A′B′C′，∴ABA'B'=BCB

'∴ABA'B'=BDB

'∴△ABD∽△A′B′D′.∴ADA'D'=結(jié)論2：相似三角形對應中線的比等于相似比.【設計意圖】通過提示幫助學生完成證明過程，讓學生理解相似三角形對應中線的比等于相似比.③如圖，△ABC和△A′B′C′，相似比為k，AD和A′D′分別是對應角的平分線.則∠BAD=12∠BAC，∠B′A′D′=12∠B′A′C∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B′.∠BAC=∠B′A′C′，∴∠BAD=∠B′A′D′，∴∠ABD∽∠A′B′D′，∴ADA'D'=結(jié)論3：相似三角形對應角平分線的比等于相似比.【設計意圖】通過提示幫助學生完成證明過程，讓學生理解相似三角形對應角平分線的比等于相似比.師:你可以嘗試歸納相似三角形的性質(zhì)嗎?師生活動:學生通過所學內(nèi)容，歸納總結(jié)相似三角形的性質(zhì)1.對應角相等，對應邊成比例.2.相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比.得出：相似三角形對應線段的比等于相似比.注意：在應用相似三角形對應線段的性質(zhì)解題時，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中線的比、角平分線的比都等于相似比，而是相似三角形中對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比等于相似比.【典例解析】已知△ABC∽△DEF，BG、EH分別是△ABC和△DEF的角平分線，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm.求EH的長.【鞏固練習】1.如圖，AD經(jīng)過△ABC的重心，點E是AC的中點，過點E作EG//BC交AD于點G，若BC=12，則線段GE的長為（）.A.6B.4C.5D.32.如圖，AD是△ABC的高，AD=h，點R在AC邊上，點S在AB邊上，SR⊥AD，垂足為E。(1)當SR=12BC時，求DE長(2)當SR=13

BC時，求DE【探究新知】探究：相似三角形的周長有什么關系?如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們的周長有什么關系？師生活動:先由學生嘗試在紙上寫出完成的證明過程.具體證明過程如下∵△ABC∽△A′B′C′，∴ABA'B'=ACA'由等比性質(zhì)，得AB+BC+ACA'B結(jié)論4：相似三角形周長的比等于相似比.【設計意圖】通過提示幫助學生完成證明過程，讓學生理解相似三角形周長的比等于相似比.【鞏固練習】1.已知，△ABC和△DEF中，ABED=BCEF=ACDF=43，△ABC的周長為80厘米，求2.如圖，在△ABC中，兩條中線BE，CD相交于點O，則△EOD的周長：△BOC的周長為()A.1:2B.2:3C.1:3D.1:4【知識點二】相似三角形面積的比.探究：如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，其中AD和A′D′分別是BC、B′C′邊上的高，它們對應面積的比是多少？師生活動:先由學生嘗試在紙上寫出完成的證明過程.具體證明過程如下∵△ABC∽△A′B′C′，∴BCB'C'=ADA'D'=k，∴BC=kB′C′，AD=kA則S△ABCS△A'B'結(jié)論5：相似三角形面積的比等于相似比的平方.注意：相似三角形面積的比等于相似比的平方，不要與其周長的比等于相似比混淆.【設計意圖】通過提示幫助學生完成證明過程，讓學生理解相似三角形面積的比等于相似比的平方.【典例解析】例3如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的邊BC上的高為6，面積為125，求△DEF的邊EF上的高和面積.【鞏固練習】如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊AD的中點，連接EC交對角線BD于點F，若S△DEC=3，則S△BCF=.【課堂練習】（教材習題）1.判斷題(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”).(1)一個三角形的各邊長擴大為原來的5倍，這個三角形的角平分線也擴大為原來的5倍；()(2)一個三角形的各邊長擴大為原來的9倍，這個三角形的面積也擴大為原來的9倍.()2.如圖，△ABC和△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求證ADA'D'3.在一張復印出來的紙上，一個三角形的一條邊由原圖中的2cm變成了6cm，放縮比例是多少？這個三角形的面積發(fā)生了怎樣的變化?【課堂檢測】1.把一個三角形變成和它相似的三角形.1)如果邊長擴大為原來的5倍，那么面積擴大為原來的倍.2)如果面積擴大為原來的100倍，那么邊長擴大為原來的倍.3)如果邊長縮小到原來的一半，那么面積縮小為原來的.2.若△ABC與△A′B′C′相似且對應中線之比為3:5，則周長之比和面積比分別是、.3.已知兩相似三角形的對應中線的比是2:3，其中較大的三角形的面積為27，則較小的三角形的面積是.4.如圖，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于點H，與DE交于點G.若DEBC=35

，則AGGH=.5.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面積分別為4和9，求△ABC的面積.6.如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等，則ADAB=7.已知，△ABC和△DEF中，ABED=BCEF=ACDF=43，△ABC的周長為80厘米，求8.如圖，平行四邊形ABCD中，E為AD的中點，已知△DEF的面積為S，則四邊形ABCE的面積為()A.8SB.9SC.10SD.11S【鏈接中考】1.（2019·沈陽·中考真題）已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它們的對應中線，若AD=10，A′D′=6，則△ABC與△A′B′C′的周長比是().A.5:3B.9:25C.5:3D.25:92.（2024·陜西·中考真題）如圖，正方形CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊CD上，AF與DC交于點H，若AB=6，CE=2，則DH的長為().A.2B.3C.52D.8【歸納小結(jié)】相似三角形的性質(zhì)1.相似三角形對應高的比等于相似比；2.相似三角形的面積比等于相似比的平方；3.相似三角形的周長比等于相似比；4.相似三角形對應邊上的中線的比等于相似比；5.相似三角形對應