第3章離散傅里葉變換講課教案

3.1定義和物理意義3.2基本性質3.3頻率域采樣3.4應用舉例序列的FT有理論價值嗎？有！序列的FT有實用價值嗎？沒有！第3章離散傅里葉變換(DFT)3.1離散傅里葉變換的定義設x(n)是一個長度為M的有限長序列，則定義x(n)的N點離散傅里葉變換為X(k)的離散傅里葉逆變換為,n=0,1,…,N-1(3.1.2)N稱為DFT的變換區(qū)間長度N≥M。下面對比DFT與DFS:DFT和DFS基本相同。所不同的是DFT的取值范圍是：0~N-1，而DFS的取值范圍是：-∞~+∞。1為什么用DFT代替DFS是DSP的必然？2能把有限長的序列當作周期序列來看嗎？3序號k代表什么？X(k)代表什么？例3.1.1設x(n)=R4(n)，求它的Z變換、傅里葉變換、8點和16點DFT。解：,|z|≥0設變換區(qū)間N=8，則k=0,1,...,7

用MATLAB畫圖觀察clear,closeallw=linspace(0,2*pi,1000);k1=0:7;k2=0:15;X1=exp(-j*3*w/2).*sin(2*(w+eps))./sin((w+eps)/2);X2=exp(-j*3*pi*k1/8).*sin(pi*(k1+eps)/2)./sin(pi*(k1+eps)/8);X3=exp(-j*3*pi*k2/16).*sin(pi*(k2+eps)/4)./sin(pi*(k2+eps)/16);figure(1),subplot(3,1,1);plot(w,abs(X1));subplot(3,1,2);stem(k1,abs(X2));subplot(3,1,3);stem(k2,abs(X3));figure(2),plot(w,abs(X1),k1*2*pi/8,abs(X2),'^r',k2*2*pi/16,abs(X3),'ok');

3.2離散傅里葉變換的基本性質

3.2.1序列的循環(huán)移位設x(n)為有限長序列，長度為N，則x(n)的循環(huán)移位定義為y(n)=x((n+n0))NRN(n)(3.2.2)((n))N表示n對N求余，x((n))N表示有限長序列x(n)以N為周期的周期延拓序列。例如：x(n)為6點長的序列，以N=6為周期的延拓序列為x((n))6，將它左移n0得x((n+n0))6，取其主值得循環(huán)移位序列x((n+n0))6R6(n)，也叫圓周移位。MATLAB:clear,closealln=0:20;x=[1,2,3,4,zeros(1,17)];subplot(4,1,1);stem(n,x);a=x(1+mod(n,4));subplot(4,1,2);stem(n,a);b=x(1+mod(n+2,4));subplot(4,1,3);stem(n,b);c=b.*(1-[n>=4]);subplot(4,1,4);stem(n,c);3.2.2循環(huán)卷積設有限長序列x1(n)和x2(n)，長度分別為N1和N2，N=max［N1,N2］。定義循環(huán)卷積為：循環(huán)卷積的直線坐標圖解法：畫出x1(l)和x2(l)，周期化x2(l)得x2((l))N，反轉x2((l))N得x2((-l))N，移位x2((-l))N得x2((n-l))N,x1(l)和x2((n-l))N在l=0~N-1上求積和。循環(huán)卷積的圓圈坐標圖解法：畫出x1(l)和x2(l)，反轉x2(l)得x2(-l)，移位x2(-l)得x2(n-l),x1(l)和x2(n-l)在圓坐標上求積和。

3.2.3卷積定理設時域里循環(huán)卷積為：則頻域里X(k)=X1(k)X2(k)。注意：X(k)、X1(k)和X2(k)都是N點的DFT。?。?！因為DFT是DFS的代表，?。?！所以DFT具有與DFS類似的性質。3.3頻率域采樣設任意序列x(n)的Z變換為且X(z)收斂域包含單位圓(即x(n)存在傅里葉變換)。在單位圓上對X(z)等間隔采樣N點得到實際上X(k)的反變換是有限長的序列xN(n)，xN(n)=IDFT［X(k)］，0≤n≤N-1請問，原序列x(n)和它的頻譜采樣后恢復的序列xN(n)一樣嗎？頻率采樣定理：如果序列x(n)的長度為M，則只有當頻域采樣點數(shù)N≥M時，才有xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n)即可以由頻率采樣恢復原序列，否則xN(n)會產(chǎn)生混疊失真現(xiàn)象。3.4DFT的應用舉例DFT的快速算法FFT的出現(xiàn)，使DFT在數(shù)字通信、語音信號處理、圖像處理、功率譜估計、仿真、系統(tǒng)分析、雷達理論、光學、醫(yī)學、地震以及數(shù)值分析等各個領域都得到廣泛應用。各種應用一般都是以卷積和相關運算為依據(jù)，或是以DFT作為連續(xù)傅里葉變換的近似為基礎。這兩種理論是DFT應用的基礎。例如：Thereareapplicationswhereitisnecessarytocompareonereferencesignalwithoneormoresignalstodeterminethesimilaritybetweenthepairandtodetermineadditionalinformationbasedonthesimilarity.Forexample,indigitalcommunications,asetofdatasymbolsarerepresentedbyasetofuniquediscrete-timesequences.Ifoneofthesesequencesistransmitted,thereceiverhastodeterminewhichparticularsequencehasbeenreceivedbycomparingthereceivedsignalwitheverymemberofpossiblesequencesfromtheset.Similarly,inradarandsonarapplications,thereceivedsignalreflectedfromthetargetisthedelayedversionofthetransmittedsignalandbymeasuringthedelay,onecandeterminethelocationofthetarget.Thedetectionproblemgetsmorecomplicatedinpractice,asoftenthereceivedsignaliscorruptedbyadditiverandomnoise.Ameasureofsimilaritybetweenapairofenergysignals,x(n)andy(n),isgivenbythecross-correlationsequencerxy(l)definedbyTheparameterlcalledlag,indicatesthetime-shiftbetweenthepair.Thetimesequencey(n)issaidtobeshiftedbylsampleswithrespecttothereferencesequencex(n)totherightforpositivevaluesofl,andshiftedbylsamplestotheleftfornegativevaluesofl.Theorderingofthesubscriptsxyintheabove-mentionedequationspecifiesthatx(n)isthereferencesequencewhichremainsfixedintimewhereasthesequencey(n)isbeingshiftedwithrespecttox(n).3.4.1用DFT計算線性卷積因為有所以處理信號時，希望利用DFT的卷積定理。但是，可以嗎？設x(n)長N1，h(n)長N2。對于，長(N1+N2-1)，，長L，還有周期性；若(N1+N2-1)>L時，包含的后面部份，若(N1+N2-1)<=L時，包含的全部份。所以，當L>=(N1+N2-1)時，可以等于，可以用計算。這種做法稱為快速卷積。當x(n)很長，而h(n)較短時，怎么計算循環(huán)卷積呢？（1）重疊相加法將x(n)分成幾段，每段的長和h(n)相當，對它們分別求循環(huán)卷積，然后將結果相加。（2）重疊保留法將x(n)分成幾段，每段的長和h(n)相當；每段連上前一段的一部份后與h(n)分別求循環(huán)卷積，然后去掉循環(huán)卷積重疊失真的部份；最后將結果相加。例如：設信號s=2[n(0.9)n]，用M點的moving-averagefilter對被噪聲污染的信號進行濾波處理。用M-filefftfilt可以執(zhí)行上述方法。clear,closeallr=70;m=0:r-1;%噪聲和信號的長M=3;%濾波器的長d=rand(r,1)-0.5;%產(chǎn)生噪聲s=2*m.*(0.9.^m);%產(chǎn)生信號x=s+d';%信號受干擾h=ones(1,3)/3;%moving-averagefilter的系數(shù)y=fftfilt(h,x,4);%重疊相加法輸出plot(m,s,'-r',m,x,'b--',m,y,'k');legend('s','x','y')3.4.2用DFT對信號進行譜分析信號的譜分析就是計算信號的傅里葉變換。連續(xù)信號與系統(tǒng)的傅里葉分析不能用計算機計算。而DFT是一種時域和頻域均離散化的變換，適合計算機計算。因為：1對連續(xù)信號xa(t)采樣近似得x(n)；2對連續(xù)信號xa(t)的頻譜Xa(jΩ)采樣近似得Xa(kF)，F(xiàn)=fs/N稱為頻譜分辨率；3對比Xa(kF)和X(k)可以得到Xa(kF)=T*X(k)所以：用DFT可以近似地分析連續(xù)信號的頻譜。但是要注意：1對于有限長序列，它的頻譜是連續(xù)的？還是離散的？增加DFT的長度N可以減小柵欄效應的影響。2對于無限長序列，它的頻譜是連續(xù)的？還是離散的？增加DFT的長度N可以減小窗口效應（頻率混疊或泄漏）的影響。下面用實驗說明：用DFT分析信號的頻譜。clear,closeall%柵欄效應和開窗效應實驗r=0:15;x1=sin(2*pi/16*r);X1=fft(x1);subplot(3,2,1);stem(r,x1);legend('ω0=2π/16')subplot(3,2,2);stem(r,abs(X1));xlabel('k(ω=2πk/16)');axis([0,16,0,10]);legend('N=16正好為周期')n=0:19;x2=(sin(2*pi/16*n)).*[n<16];subplot(3,2,3);stem(n,x2);w=linspace(0,2*pi,1000);X2=x2*exp(-j*n'*w);k=w*20/2/pi;w1=w/2/pi;k=0:19;%1000點中取20點subplot(3,2,4);plot(w1,abs(