2019屆新課標高考數(shù)學二輪復(fù)習專題二函數(shù)2.3導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用講義理

第3講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-2-熱點考題詮釋高考方向解讀1.(2017浙江,7)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是(

)答案解析解析關(guān)閉設(shè)導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的三個零點分別為x1,x2,x3,且x1<0<x2<x3,所以在區(qū)間(-∞,x1)和(x2,x3)上,f'(x)<0,f(x)是減函數(shù);在區(qū)間(x1,x2)和(x3,+∞)上,f'(x)>0,f(x)是增函數(shù).所以函數(shù)y=f(x)的圖象可能為D.故選D.答案解析關(guān)閉D-3-熱點考題詮釋高考方向解讀2.(2017全國2,理11)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點,則f(x)的極小值為(

)A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-4-熱點考題詮釋高考方向解讀答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-5-熱點考題詮釋高考方向解讀-6-熱點考題詮釋高考方向解讀-7-熱點考題詮釋高考方向解讀5.(2017天津,理20)設(shè)a∈Z,已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個零點x0,g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)m∈[1,x0)∪(x0,2],函數(shù)h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求證:h(m)h(x0)<0;(3)求證:存在大于0的常數(shù)A,使得對于任意的正整數(shù)p,q,且-8-熱點考題詮釋高考方向解讀-9-熱點考題詮釋高考方向解讀(2)證明

由h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),得h(m)=g(m)(m-x0)-f(m),h(x0)=g(x0)(m-x0)-f(m).令函數(shù)H1(x)=g(x)(x-x0)-f(x),則H'1(x)=g'(x)(x-x0).由(1)知,當x∈[1,2]時,g'(x)>0,故當x∈[1,x0)時,H'1(x)<0,H1(x)單調(diào)遞減;當x∈(x0,2]時,H'1(x)>0,H1(x)單調(diào)遞增.因此,當x∈[1,x0)∪(x0,2]時,H1(x)>H1(x0)=-f(x0)=0,可得H1(m)>0,即h(m)>0.令函數(shù)H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),則H'2(x)=g(x0)-g(x).由(1)知g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,故當x∈[1,x0)時,H'2(x)>0,H2(x)單調(diào)遞增;當x∈(x0,2]時,H'2(x)<0,H2(x)單調(diào)遞減.因此,當x∈[1,x0)∪(x0,2]時,H2(x)<H2(x0)=0,可得H2(m)<0,即h(x0)<0.所以,h(m)h(x0)<0.-10-熱點考題詮釋高考方向解讀由(2)知,當m∈[1,x0)時,h(x)在區(qū)間(m,x0)內(nèi)有零點;當m∈(x0,2]時,h(x)在區(qū)間(x0,m)內(nèi)有零點.所以h(x)在(1,2)內(nèi)至少有一個零點,不妨設(shè)為x1,由(1)知g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,故0<g(1)<g(x1)<g(2).-11-熱點考題詮釋高考方向解讀-12-熱點考題詮釋高考方向解讀導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學選修板塊中重要的部分,應(yīng)用廣泛.隨著浙江進入新高考,導(dǎo)數(shù)回歸高考,導(dǎo)數(shù)試題在知識和能力考查中將占有重要地位.高考對導(dǎo)數(shù)的考查主要有:用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率、判斷單調(diào)性、求極值、最值等,而利用導(dǎo)數(shù)考查能力的壓軸題型,往往以數(shù)列、方程、不等式為背景,綜合考查學生邏輯推理、轉(zhuǎn)化和化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想的應(yīng)用能力.導(dǎo)數(shù)試題的類型主要有:一是利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程和判斷直線與曲線的位置關(guān)系;二是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的極值或最值;三是利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)零點有關(guān)的問題;四是利用導(dǎo)數(shù)解決不等式和求參數(shù)范圍的問題.考向預(yù)測:通過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合考查單調(diào)性和最值問題仍然是浙江省的熱點,也是難點,題型主要是解答題,也不排除出現(xiàn)考查切線或函數(shù)最值問題的選擇題或填空題.-13-命題熱點一命題熱點二命題熱點三答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-14-命題熱點一命題熱點二命題熱點三規(guī)律方法求曲線的切線方程必須分清條件“在點P”與“過點P”的區(qū)別,對于前者可直接由已知點的橫坐標代入導(dǎo)函數(shù)求出切線斜率;而對于后者,則必須設(shè)出切點坐標,用切點坐標來表示切線方程,再由已知條件解出切點坐標.-15-命題熱點一命題熱點二命題熱點三遷移訓(xùn)練1

若直線y=kx與曲線y=x+e-x相切,則k=

.

答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-16-命題熱點一命題熱點二命題熱點三遷移訓(xùn)練2

已知函數(shù)f(x)=x3-3x,若過點A(1,m)(m≠2)可作曲線y=f(x)的三條切線,則實數(shù)m的取值范圍為

.

答案解析解析關(guān)閉設(shè)切點為(t,t3-3t),f'(x)=3x2-3,則切線方程為y=(3t2-3)(x-t)+t3-3t,整理得y=(3t2-3)x-2t3,把A(1,m)代入整理得2t3-3t2+m+3=0①,因為可作三條切線,所以方程①有三個解,記g(t)=2t3-3t2+m+3,則g'(t)=6t2-6t=6t(t-1),所以當t=0時,有極大值g(0)=m+3,當t=1時,有極小值g(1)=m+2,要使g(t)有三個零點,只需m+3>0,且m+2<0,所以-3<m<-2,答案為(-3,-2).答案解析關(guān)閉(-3,-2)

-17-命題熱點一命題熱點二命題熱點三(1)當k≤0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)存在兩個極值點,求k的取值范圍.-18-命題熱點一命題熱點二命題熱點三解:

(1)∵由題意可知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),∵當k≤0時,kx≤0,∴ex-kx>0,令f'(x)=0,則x=2,∴當0<x<2時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當x>2時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞).-19-命題熱點一命題熱點二命題熱點三(2)由(1)知,k≤0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)不存在極值點;當k>0時,設(shè)函數(shù)g(x)=ex-kx,x∈(0,+∞).∵g'(x)=ex-k=ex-eln

k,當0<k≤1時,當x∈(0,2)時,g'(x)=ex-k>0,y=g(x)單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)不存在兩個極值點;當k>1時,得x∈(0,ln

k)時,g'(x)<0,函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞減,x∈(ln

k,+∞)時,g'(x)>0,函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞增,∴函數(shù)y=g(x)的最小值為g(ln

k)=k(1-ln

k),函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)存在兩個極值點,-20-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-21-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-22-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-23-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-24-命題熱點一命題熱點二命題熱點三規(guī)律方法1.利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟:(1)確定函數(shù)的定義域.(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x).(3)①若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性),只需在函數(shù)y=f(x)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0;②若已知y=f(x)的單調(diào)性,則轉(zhuǎn)化為不等式f'(x)≥0或f'(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解.2.對于函數(shù)y=f(x),若在點x=a處有f'(a)=0,且在點x=a附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,則當x=a時f(x)有極小值f(a);若在點x=b處有f'(b)=0,且在點x=b附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0,則當x=b時f(x)有極大值f(b).-25-命題熱點一命題熱點二命題熱點三3.求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.-26-命題熱點一命題熱點二命題熱點三遷移訓(xùn)練3

已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x),f(x)不是常數(shù)函數(shù),且(x+1)f(x)+xf'(x)≥0對x∈[0,+∞)恒成立,則下列不等式一定成立的是(

)

A.f(1)<2ef(2) B.ef(1)<f(2)C.f(1)<0 D.ef(e)<2f(2)答案解析解析關(guān)閉原式等于xf(x)+f(x)+xf'(x)=xf(x)+[xf(x)]'≥0,設(shè)F(x)=ex[xf(x)],則F'(x)=ex[xf(x)]+ex[xf(x)]'=ex{xf(x)+[xf(x)]'}≥0,所以函數(shù)F(x)=ex[xf(x)]是單調(diào)遞增函數(shù),F(1)<F(2)?ef(1)<e2·2·f(2),即f(1)<2ef(2).故選A.答案解析關(guān)閉C-27-命題熱點一命題熱點二命題熱點三遷移訓(xùn)練4

已知函數(shù)f(x)=excosx-x.

(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;-28-命題熱點一命題熱點二命題熱點三解：

(1)因為f(x)=excos

x-x,所以f'(x)=ex(cos

x-sin

x)-1,f'(0)=0.又因為f(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=1.(2)設(shè)h(x)=ex(cos

x-sin

x)-1,則h'(x)=ex(cos

x-sin

x-sin

x-cos

x)=-2exsin

x.-29-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-30-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-31-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-32-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-33-命題熱點一命題熱點二命題熱點三例4已知函數(shù)f(x)=lnx+ax.(1)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程為y=2x+m,求實數(shù)a和m的值;(2)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有兩個不同的零點x1,x2,求實數(shù)a的取值范圍.

解:(1)∵f(x)=ln

x+ax,∵函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程為y=2x+m,∴f'(1)=1+a=2,得a=1.又∵f(1)=ln

1+a=1,∴函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1,∴m=-1.-34-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-35-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-36-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-37-命題熱點一命題熱點二命題熱點三規(guī)律方法1.函數(shù)恒成立問題和存在性問題應(yīng)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性,從而得出最值,求出參數(shù)的取值范圍.2.與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點,并結(jié)合特殊點,從而判斷函數(shù)的大致圖象,討論其圖象與x軸的位置關(guān)系(或者轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)圖象的交點問題),進而確定參數(shù)的取值范圍.特別對三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d(a>0)-38-命題熱點一命題熱點二命題熱點三3.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,主要是構(gòu)造函數(shù).通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,由函數(shù)的單調(diào)性證明不等式成立,或通過求函數(shù)的最值,當該函數(shù)的最大值或最小值可使不等式成立時,則不等式恒成立,從而可將不等式的證明轉(zhuǎn)化到求函數(shù)的最值上來.不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題的解題方法是依據(jù)不等式的特點,進行等價變形.構(gòu)造函數(shù),借助圖象觀察或參變分離,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.-39-命題熱點一命題熱點二命題熱點三遷移訓(xùn)練5

已知函數(shù)f(x)=(t+1)lnx+tx2+3t,t∈R.

(1)若t=0,求證:當x≥0時,f(x+1)≥x-x2;(2)若f(x)≥4x對任意x∈[1,+∞)恒成立,求t的取值范圍.-40-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-41-答題規(guī)范提分解答題解題過程要求“解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟”,因此,在解答題答題過程中應(yīng)該有規(guī)范的書寫步驟,分步得分.-42--43--44-123451.已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-lnx的圖象在點(1,f(1))處的切線為l,則l在y軸上的截距為

.

答案解析解析關(guān)閉答案解析關(guān)閉-45-123452.若函數(shù)exf(x)(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為

.

①f(x)=2-x

②f(x)=3-x

③f(x)=x3

④f(x)=x2+2答案:①④

-46-12345∴g(x)在R上單調(diào)遞減,不具有M性質(zhì);對③,設(shè)g(x)=ex·x3,則g'(x)=ex·x2(x+3),令g'(x)=0,得x1=-3,x2=0,∴g(x)在(-∞,-3)上單調(diào)遞減