常數(shù)項級數(shù)課件

常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)人們認識事物在數(shù)量方面的特性，往往是一個由近似到精確的過程,在這種認識過程中，會遇到由有限個數(shù)量相加到無窮多個數(shù)量相加的問題.例如，約在公元前300年，中國古代經(jīng)典著作《莊子·天下篇》中提出過如下命題：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”如果用數(shù)學方式來表示此命題，可以寫作此式說明常數(shù)1可以用來表示，即無窮多項的連加.常數(shù)項級數(shù)又如，計算半徑為R的圓面積A，具體做法如下：作圓的內(nèi)接正六邊形，算出這個六邊形的面積a1，它是圓面積A的一個粗糙的近似值.為了比較準確地計算出A的值，我們在這個六邊形的每個邊上分別作一個頂點在圓周上的等腰三角形，算出這六個等腰三角形的面積之和a2.那么a1+a2(即內(nèi)接正十二邊形的面積)就是A的一個較好的近似值.同樣的，在這個正十二邊形的每個邊上分別作一個頂點在圓周上的等腰三角形，算出這十二等腰三角形的面積之和a3.那么a1+a2+a3(即內(nèi)接正二十四邊形的面積)是A的一個更好的近似值.如此繼續(xù)下去，內(nèi)接正3×2n邊形的面積就逐步逼近圓的面積：常數(shù)項級數(shù)A≈a1，A≈a1+a2，A≈a1+a2+a3，…，A≈a

1+a2+a3+…+an.如果內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增多，則n無限增大，a1+a2+a3+…+an的極限就是所求的圓面積A.這時和式中的項數(shù)無限增多，于是出現(xiàn)了無窮多個數(shù)量依次相加的數(shù)學式子.一般地，我們給出如下定義.常數(shù)項級數(shù)定理1設(shè)有序列u1，u2，u3，…，un，…，則稱u1+u2+u3+…+un+…為無窮級數(shù)，簡稱級數(shù)，記為

，即其中第n項un稱為級數(shù)的一般項.我們稱un是常數(shù)的級數(shù)為常數(shù)項級數(shù).常數(shù)項級數(shù)是一個常數(shù)項級數(shù)，其中通項為1n.此級數(shù)通常稱為調(diào)和級數(shù).【例1】是一個常數(shù)項級數(shù)，其中通項為arn－1.此級數(shù)稱為公比為r的等比級數(shù)，又稱為幾何級數(shù).【例2】常數(shù)項級數(shù)【例3】

是一個通項為1np的常數(shù)項級數(shù)，稱它為p級數(shù).調(diào)和級數(shù)、等比級數(shù)和p級數(shù)是以后經(jīng)常用到的級數(shù)，請注意識記.級數(shù)是無窮多項和的形式.怎樣理解無限項相加得到的和呢？結(jié)合以上計算圓面積的例子，可以從有限項的和出發(fā)，觀察它們的變化趨勢，從而便可理解無窮多項相加的含義.先看級數(shù)前n項的和Sn=u1+u2+u3+…+un，常數(shù)項級數(shù)稱Sn為級數(shù)

的前n項和.當n依次取1,2,3,…時，就得到一個數(shù)列

S1,S2,S3,…,Sn,…，數(shù)列{Sn}就稱為級數(shù)

的部分和數(shù)列.常數(shù)項級數(shù)定義2如果級數(shù)

的部分和數(shù)列{Sn}有極限，即

則稱級數(shù)

收斂，S稱為該級數(shù)的和，記作常數(shù)項級數(shù)如果級數(shù)

的部分和數(shù)列{Sn}極限不存在，則稱該級數(shù)是發(fā)散的.當級數(shù)收斂時，其部分和Sn是級數(shù)和S的近似值.它們的差S－Sn=rn稱為級數(shù)的余項，且余項rn=S－Sn=un+1+un+2+….用級數(shù)的部分和Sn作為級數(shù)和S的近似值，其絕對誤差就是rn.常數(shù)項級數(shù)【例1】常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)性質(zhì)1常數(shù)項級數(shù)性質(zhì)2常數(shù)項級數(shù)性質(zhì)3在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數(shù)的收斂性.證只證明“改變級數(shù)的前面有限項不會改變級數(shù)的收斂性”，其他兩種情況容易由此結(jié)果推出.設(shè)有級數(shù)(11-1)(11-2)常數(shù)項級數(shù)性質(zhì)4在一個收斂級數(shù)中，任意添加括號所得到的新級數(shù)仍收斂，且其和不變.常數(shù)項級數(shù)若添加括號所得到的級數(shù)收斂，則不能斷定去括弧后原來的級數(shù)也收斂.例如，級數(shù)1－1+1－1+…是發(fā)散的，而級數(shù)(1－1)+(1－1)+…卻是收斂的.注常數(shù)項級數(shù)推論若加括號后所成的級數(shù)發(fā)散，則去括后級數(shù)也發(fā)散.常數(shù)項級數(shù)性質(zhì)5常數(shù)項級數(shù)推論【例6】常數(shù)項級數(shù)【例7】常數(shù)