行列式的性質(zhì)

行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)由行列式的定義可知，行列式是一個(gè)算式，所以行列式的計(jì)算就是一個(gè)重要的問(wèn)題，但也是一個(gè)比較煩瑣的問(wèn)題.n階行列式的展開(kāi)式是n!項(xiàng)n個(gè)數(shù)的乘積的代數(shù)和，當(dāng)n較大時(shí)，n!就是一個(gè)很大的數(shù).因此，必須考慮行列式的性質(zhì)，通過(guò)行列式的一些性質(zhì)，將行列式進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，然后再計(jì)算.行列式的性質(zhì)在給出行列式的性質(zhì)之前，我們先給出行列式展開(kāi)式的另外一種表達(dá)方式.設(shè)D是由定義1-1所定義的一個(gè)行列式，則D的展開(kāi)式（1-3）也可以寫(xiě)成如下形式：（1-11）行列式的性質(zhì)事實(shí)上，在D的展開(kāi)式（1-6）中，為了確定a1j1a2j2…anjn的符號(hào)，將式中的n個(gè)數(shù)按照行標(biāo)從小到大的順序來(lái)排列.但是數(shù)的乘法是滿足交換律的，因此，這n個(gè)數(shù)的次序是可以任意交換的.一般地，n階行列式中的任意一個(gè)乘積項(xiàng)都可以寫(xiě)成ai1j1ai2j2…ainjn

（1-12）其中i1i2…in;j1j2…jn是1,2,…,n的兩個(gè)n級(jí)排列.下面確定式（1-12）所帶的符號(hào).行列式的性質(zhì)為了根據(jù)式（1-3）確定式（1-12）所帶的符號(hào)，就需要把這n個(gè)數(shù)，按行標(biāo)從小到大的順序進(jìn)行重新排列，也就是排成a1j′1a2j′2…anj′n

（1-13）而式（1-13）所帶的符號(hào)為（-1）τ(j′1j′2…j′n).顯然，由式（1-12）變到式（1-13）可以經(jīng)過(guò)一系列元素的對(duì)換來(lái)得到.每做一次對(duì)換，這n個(gè)元素的行標(biāo)和列標(biāo)所構(gòu)成的n級(jí)排列i1i2…in和j1j2…jn都同時(shí)做了一次對(duì)換，這就是說(shuō)τ(i1i2…in)和τ(j1j2…jn)同時(shí)改變奇偶性，于是τ(i1i2…in)+τ(j1j2…jn)的奇偶性不發(fā)生改變.行列式的性質(zhì)因此，經(jīng)過(guò)一系列元素的對(duì)換之后，將式（1-12）變到式（1-13）時(shí)，τ(i1i2…in)+τ(j1j2…jn)和τ(12…n)+τ(j′1j′2…j′n)=τ(j′1j′2…j′n)的奇偶性相同.于是，式（1-12）所帶的符號(hào)(－1)τ(j′1j′2…j′n)=(－1)τ(i1i2…in)+τ(j1j2…jn)（1-14）這樣，當(dāng)j1j2…jn取成從小到大的自然順序時(shí)，就可以確定乘積項(xiàng)a

i11ai22…ai

nn

所帶的符號(hào)就為(－1)τ(i1i2…in).從而式（1-11）成立，即行列式D按列標(biāo)從小到大的順序展開(kāi).行列式的性質(zhì)以后根據(jù)需要，可以將行列式D按式（1-3）或式（1-11）展開(kāi).提示行列式的性質(zhì)定義1-8設(shè)是一個(gè)n階行列式，如果把行列式D的行列互換（行變?yōu)榱?，列變?yōu)樾校?，就得到一個(gè)新的行列式將行列式DT稱為D的轉(zhuǎn)置行列式.行列式的性質(zhì)性質(zhì)1-1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即也可以寫(xiě)為|aij|n1=|aji|n1.（1-15）行列式的性質(zhì)因?yàn)樵谑剑?-15）右端的行列式中，aij處于行列式的第j行第i列，即行標(biāo)為j，列標(biāo)為i，不妨用bji代表aij，即令bji=aij，則有證明（1-16）行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)此性質(zhì)說(shuō)明，行列式中的行與列是對(duì)稱的，即行和列具有同等的地位.對(duì)行成立的性質(zhì)，對(duì)列也成立；對(duì)列成立的性質(zhì)，對(duì)行也成立.在以后說(shuō)明行列式的性質(zhì)時(shí)，主要是針對(duì)行進(jìn)行證明，由這個(gè)性質(zhì)可知，對(duì)列也成立，我們就不重復(fù)說(shuō)明.提示行列式的性質(zhì)性質(zhì)1-2交換行列式兩行（列）的位置得到的新行列式與原行列式相差一個(gè)負(fù)號(hào).證設(shè)原行列式為行列式的性質(zhì)其中旁邊的i與j（i<j）是為了標(biāo)明行號(hào).交換行列式D的第i行和第j行，其他行保持不變，得到的新行列式記為行列式的性質(zhì)由行列式的定義知，D的每一項(xiàng)可以寫(xiě)成a1k1…aiki…ajkj…ankn（1-17）其中行標(biāo)按從小到大的自然順序，k1…ki…kj…kn是1,2,…,n的一個(gè)n級(jí)排列.顯然這一項(xiàng)也位于D1的不同行不同列，所以它也是D1的一項(xiàng)，這一項(xiàng)為a1k1…ajkj…aiki…ankn

ij（1-18）其中i與j表示ajkj和aiki分別取自第i行與第j行，并且除了這兩個(gè)元素以外其他元素都保持不變.同理，D1的每一項(xiàng)也是D的一項(xiàng).從而D1與D具有相同的項(xiàng).下面確定式（1-17）在D中與式（1-18）在D1中的符號(hào).行列式的性質(zhì)顯然式（1-17）在D中的符號(hào)為(－1)τ(k1…ki…kj…kn).而在D1中，原行列式的第i行與第j行交換了位置，但列的位置并沒(méi)有發(fā)生改變.因?yàn)閍jkj和aiki分別處于第i行第kj列與第j行第ki列，所以式（1-18）在D1中的符號(hào)為(－1)τ(k1…kj…ki…kn)，由于k1…kj…ki…kn是由k1…ki…kj…kn經(jīng)過(guò)一次(ki,kj)對(duì)換得到的，因此，由定理1-1有行列式的性質(zhì)推論1-1

如果一個(gè)行列式的兩行（列）對(duì)應(yīng)的數(shù)分別相等，則這個(gè)行列式等于0.行列式的性質(zhì)設(shè)行列式D的第i行和第j行（i≠j）對(duì)應(yīng)的數(shù)分別相等.由性質(zhì)1-2知，交換這兩行后得到的新行列式的值為-D；另一方面，由于這兩行的數(shù)分別相等，交換這兩行后，行列式?jīng)]有發(fā)生改變.因此D=-D.于是D=0.證明行列式的性質(zhì)性質(zhì)1-3用一個(gè)數(shù)k乘以行列式的某一行（列）得到的新行列式等于這個(gè)數(shù)乘以原行列式，即（1-19）行列式的性質(zhì)證把式（1-19）的左端的行列式記為D1，則D1的第i行元素為kai1,kai2,…,kain

于是，D1按式（1-3）展開(kāi)有其中D表示式（1-19）等號(hào)右端的行列式.因此結(jié)論成立.行列式的性質(zhì)推論1-2

行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式外面.這個(gè)推論即為性質(zhì)1-3用一個(gè)數(shù)乘以行列式某一行（列）的逆過(guò)程.提示行列式的性質(zhì)推論1-3

行列式的某兩行（列）對(duì)應(yīng)成比例，則這個(gè)行列式的值為0.利用性質(zhì)1-3的推論1-2與性質(zhì)1-2的推論很容易得到這個(gè)結(jié)論.提示行列式的性質(zhì)推論1-4

行列式的某一行（列）全為0，則這個(gè)行列式的值為0.利用性質(zhì)1-3的推論1-2，將0提到行列式的外面.提示行列式的性質(zhì)性質(zhì)1-1行列式某一行（列）的所有元素都可以寫(xiě)成兩項(xiàng)的和，則這個(gè)行列式可以拆成兩個(gè)行列式之和，即行列式的性質(zhì)把式（1-20）左端的行列式記為D，則D的第i行元素為ai1+bi1,ai2+bi2,…,ain+bin

將D按式（1-3）展開(kāi)得其中D1和D2分別為式（1-20）等號(hào)右端