【考研數(shù)學(xué)】極限的求法模版課件

【考研數(shù)學(xué)】極限的求法掌握極限的求法是考研數(shù)學(xué)中至關(guān)重要的一環(huán)。本課程將帶您全面學(xué)習(xí)極限的相關(guān)知識(shí)，并結(jié)合例題講解，助您輕松應(yīng)對(duì)考研數(shù)學(xué)中的極限考點(diǎn)。課程目標(biāo)理解極限概念對(duì)極限的概念和性質(zhì)有深刻的理解，并能靈活運(yùn)用掌握極限的求法熟練掌握求極限的各種方法，包括函數(shù)極限的四則運(yùn)算、夾逼定理、洛必達(dá)法則等極限概念回顧1極限的概念當(dāng)自變量趨于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就稱為函數(shù)的極限2極限的定義使用ε-δ語(yǔ)言來(lái)嚴(yán)格定義函數(shù)極限，體現(xiàn)極限的本質(zhì)3極限的性質(zhì)極限的唯一性、有界性、保號(hào)性等，為求極限提供了基礎(chǔ)極限的兩種求法直接求法利用函數(shù)的解析式，直接進(jìn)行化簡(jiǎn)和代入，求得極限值間接求法當(dāng)直接求法無(wú)法得到結(jié)果時(shí)，使用夾逼定理、洛必達(dá)法則等間接方法求解極限兩種求法的區(qū)別直接求法適用于解析式簡(jiǎn)單，可以直接化簡(jiǎn)代入的極限問(wèn)題間接求法適用于解析式復(fù)雜，直接代入無(wú)法求解的極限問(wèn)題，需要借助定理和法則函數(shù)極限的四則運(yùn)算加法lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)減法lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)乘法lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)除法lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x),其中l(wèi)img(x)≠0夾逼定理1定理內(nèi)容如果f(x)≤g(x)≤h(x)且limf(x)=limh(x)=A，則limg(x)=A2應(yīng)用場(chǎng)景適用于無(wú)法直接求解極限，但可以找到兩個(gè)函數(shù)f(x)和h(x)夾住g(x)的情況3舉例求極限lim(sinx/x)時(shí)，可以利用夾逼定理，找到兩個(gè)函數(shù)夾住sinx/x，從而求得極限洛必達(dá)法則定理內(nèi)容如果limf(x)=limg(x)=0或∞，且f(x)和g(x)在x附近可導(dǎo)，則lim(f(x)/g(x))=lim(f'(x)/g'(x))應(yīng)用場(chǎng)景適用于求解0/0或∞/∞型不定式極限，通過(guò)對(duì)分子和分母分別求導(dǎo)，化簡(jiǎn)極限舉例求極限lim(x-sinx/x^3)時(shí)，可以利用洛必達(dá)法則，對(duì)分子和分母分別求導(dǎo)，得到新的極限無(wú)窮小的概念1定義當(dāng)自變量趨于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)值無(wú)限趨近于零，則稱該函數(shù)為該點(diǎn)的無(wú)窮小2性質(zhì)無(wú)窮小與常數(shù)的乘積仍為無(wú)窮小，無(wú)窮小的和仍為無(wú)窮小3應(yīng)用無(wú)窮小的概念是理解極限、求解極限的重要工具無(wú)窮小的比較1定義如果lim(α(x)/β(x))=0，則稱α(x)為比β(x)高階無(wú)窮小2應(yīng)用在求解極限時(shí)，可以通過(guò)比較無(wú)窮小的階數(shù)，簡(jiǎn)化計(jì)算3舉例當(dāng)x趨于0時(shí)，x^2為比x高階無(wú)窮小，可以忽略x^2，簡(jiǎn)化極限的求解等價(jià)無(wú)窮小的概念1定義如果lim(α(x)/β(x))=1，則稱α(x)和β(x)為等價(jià)無(wú)窮小2性質(zhì)等價(jià)無(wú)窮小可以用另一個(gè)等價(jià)無(wú)窮小替換，不改變極限值3應(yīng)用利用等價(jià)無(wú)窮小替換，可以簡(jiǎn)化極限的求解，提高效率重要等價(jià)無(wú)窮小sinx≈x當(dāng)x趨于0時(shí)tanx≈x當(dāng)x趨于0時(shí)1-cosx≈x^2/2當(dāng)x趨于0時(shí)單側(cè)極限極限存在的充要條件充要條件函數(shù)f(x)在x=a處極限存在的充要條件是左極限和右極限都存在且相等應(yīng)用判斷函數(shù)在某點(diǎn)處是否存在極限，需要分別計(jì)算左極限和右極限，比較結(jié)果連續(xù)函數(shù)的定義定義如果函數(shù)f(x)在x=a處滿足limf(x)=f(a)，則稱f(x)在x=a處連續(xù)解釋函數(shù)圖像在x=a處沒(méi)有斷裂，可以連續(xù)畫出來(lái)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)加減乘除兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的加減乘除運(yùn)算結(jié)果仍然是連續(xù)函數(shù)復(fù)合如果函數(shù)f(x)和g(x)都連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))也連續(xù)極限連續(xù)函數(shù)的極限等于函數(shù)值，即limf(x)=f(a)初等函數(shù)的連續(xù)性1定義冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等都屬于初等函數(shù)2性質(zhì)初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的3應(yīng)用在判斷函數(shù)的連續(xù)性時(shí)，可以利用初等函數(shù)的連續(xù)性來(lái)簡(jiǎn)化判斷復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定義復(fù)合函數(shù)是指由多個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)性質(zhì)如果內(nèi)層函數(shù)在x=a處連續(xù)，外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)的值處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在x=a處連續(xù)應(yīng)用判斷復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，需要分別判斷內(nèi)外層函數(shù)的連續(xù)性分段函數(shù)的連續(xù)性1定義分段函數(shù)是指在不同區(qū)間上定義不同的函數(shù)表達(dá)式2判斷判斷分段函數(shù)在連接點(diǎn)處的連續(xù)性，需要分別計(jì)算左極限和右極限，比較結(jié)果3應(yīng)用分段函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用廣泛，需要掌握判斷其連續(xù)性的方法間斷點(diǎn)的分類1第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)2第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)3判斷根據(jù)左極限和右極限是否存在以及是否相等，可以判斷間斷點(diǎn)的類型間斷函數(shù)的連續(xù)性判斷1判斷方法判斷函數(shù)在某點(diǎn)處的連續(xù)性，需要分別計(jì)算左極限、右極限和函數(shù)值2判斷條件如果左極限、右極限和函數(shù)值都存在且相等，則函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)3應(yīng)用可以利用連續(xù)性判斷，分析函數(shù)的圖像特征，以及函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用金融市場(chǎng)利用連續(xù)函數(shù)分析股價(jià)趨勢(shì)，制定投資策略氣象預(yù)報(bào)利用連續(xù)函數(shù)預(yù)測(cè)天氣變化，制定出行計(jì)劃人口增長(zhǎng)利用連續(xù)函數(shù)模擬人口增長(zhǎng)趨勢(shì)，預(yù)測(cè)未來(lái)人口規(guī)模極限運(yùn)算練習(xí)例題1求極限lim(x^2-1/x-1)例題2求極限lim(sin2x/x)夾逼定理練習(xí)例題1求極限lim(x^2/(1+x^2))例題2求極限lim(sinx/x)洛必達(dá)法則練習(xí)例題1求極限lim(x^2-1/x-1)例題2求極限lim(e^x-1/x)無(wú)窮小比較練習(xí)1例題1比較x^2和x的階數(shù)2例題2比較sinx和x的階數(shù)單側(cè)極限練習(xí)例題1求函數(shù)f(x)=|x|/x在x=0處的左極限和右極限例題2求函數(shù)f(x)=1/(x-1)在x=1處的左極限和右極限連續(xù)性判斷練習(xí)1例題1判斷函數(shù)f(x)=x^2在x=1處的連續(xù)性2例題2判斷函數(shù)f(x)=|x|在x