第二章 結(jié)構(gòu)矩陣分析

第二章結(jié)構(gòu)矩陣分析§2-1平面桁架（直接法，結(jié)構(gòu)矩陣分析中常用的力法，處理靜定問題，位移法，可處理靜定&靜不定）p圖２－１已知：p,A,E,(0,0)

,(a,a),(a,0)求桁架中各桿件的變形和內(nèi)力

２xup②①③１３pyvq圖２－２1.結(jié)構(gòu)的離散化對結(jié)點及單元編號

每根桿為一個單元以①,②,③加以編號；取桿的鉸接點為結(jié)點，以１、２、３加以編號（總體結(jié)點序號）

2.建立總體坐標(biāo)系并確定結(jié)點坐標(biāo)和自由度

以u,v分別表示沿

x,y方向的位移分量，

p,q分別表示力沿

x,y

軸的力分量（投影）。（x1,y1）=(0,0)、（x2,y2）=(a,a)、（x3,y3）=(a,0){u1，

v1}T

、{u2

，v2}T

、{u3，

v3}T{u1

v1

u2

v2

u3

v3

}T每個結(jié)點有兩個自由度，對結(jié)點１、２、３分別為若暫時不考慮支承約束條件，整個結(jié)構(gòu)的結(jié)點自由度為3.單元分析（建立結(jié)點力與結(jié)點位移之間的關(guān)系）

取一個一般性的單元，設(shè)它的兩個結(jié)點在結(jié)構(gòu)中的編號為i,j（單元內(nèi)部的結(jié)點序號）。由材料力學(xué)可知，桿的軸向剛度為EA/L。其中Ｌ為桿的長度

xupyvqijy’v’q’x’u’p’ss①圖２－３α（１）單元局部坐標(biāo)系

一般性的單元按如下方式建立一個局部坐標(biāo)系：原點：與結(jié)點i重合,x’軸：沿

i,j方向,y’軸：與x’軸垂直。在單元局部坐標(biāo)系中可以規(guī)定：結(jié)點自由度{u’iv’i}T，{u’jv’j}T

；單元結(jié)點自由度{

u’}＝{u’iv’iu’jv’j

}T。（２）局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣以p’i

,q’i

,p’j

,q’j

分別表示結(jié)點i,j作用于單元的力在x’,y’軸上的投影，由①號單元的靜力平衡有（圖2-3）有

xupyvqijy’v’q’x’u’p’ss①圖２－３α(2-1-1)矩陣的形式

(2-1-2)(2-1-3)若引入單元廣義力矢量：其中則式（2-1-1）改寫為：

稱為局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣,它只與桿的幾個參數(shù)E、A、L有關(guān)，與桿的方位無關(guān)。（３）坐標(biāo)變換

為了研究結(jié)構(gòu)整體的平衡，必須將結(jié)點給單元的力以及相應(yīng)的單元剛度矩陣轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一的坐標(biāo)系──總體坐標(biāo)系。在總體坐標(biāo)系中單元結(jié)點自由度{

u

}＝{uiviujvj

}T

結(jié)點給單元的力{r}＝{piqipjqj}T結(jié)點的位移分量的坐標(biāo)變換為xupyvqijy’v’q’x’u’p’ss①圖２－３α單元的位移分量的坐標(biāo)變換為(2-1-４)或縮寫為

類似，{r’}

與{r}

之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為(2-1-５)(2-1-6)(2-1-7)所以將（2-1-4）、（2-1-5）代入（2-1-2）有(2-1-8)(2-1-9)式（2-1-9）稱為單元在總體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣。(2-1-10)（４）單元剛度矩陣的具體形式單元①：(2-1-11)（i）單元剛度矩陣是對稱矩陣

(ii)單元剛度矩陣是奇異矩陣（５）單元剛度矩陣的物理意義和特點平面桁架單元在總體坐標(biāo)系中剛度矩陣的一般形式為

(2-1-8)令則即單元剛度矩陣的每一列相當(dāng)于一組特定位移下的結(jié)點力

表2-1平面桁架單元剛度矩陣的物理意義單元結(jié)點位移作用于單元的結(jié)點力{1000}T{k11k21k31k41

}T{0100}T{k12k22k32k42

}T{0010}T{k13k23k33k43

}T{0001}T{k14k24k34k44

}Tk11k41k21k311jik12k42k22k321jik33k43k23jik131k44jk24ik34k141４.總體平衡方程總體剛度矩陣的組裝p１２R3Y②①③１３R1X圖２－５R1Y

作用于圖2-5每個結(jié)點上的外載荷、支座反力以及來自單元的力應(yīng)處于平衡

對結(jié)點１：對結(jié)點2：對結(jié)點3：(2-1-1４)(1)結(jié)點平衡條件結(jié)構(gòu)的總體平衡方程(2)單元剛度矩陣的擴充

將每個單元的自由度擴充到與結(jié)構(gòu)總體自由度相同（本例為６），并在單元剛度矩陣中補充零元素由單元①由單元②由單元③

(3)組裝總體剛度矩陣(2-1-19)(2-1-20)桁架結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣桁架結(jié)構(gòu)的總體平衡方程實際采用的總剛陣組裝方法

單元號單元自由度LM(1)LM(2)LM(3)LM(4)①{u1v1u2v2}T1234②{u2v2u3v3}T3456③{u1v1u3v3}T1256

單元剛度矩陣中第s行第t列的元素kst加到總剛度矩陣的第LM(s)行LM(t)列即可。這一組裝總體剛度矩陣的方法被形象的稱為“對號入座”。

如果已選定各結(jié)點位移在結(jié)構(gòu)總體自由度中的排列次序為{u1v1u2v2u3v3}T，對每個單元在形成單元剛度矩陣的同時還形成了個定位數(shù)組LM，它將指出單元自由度的各分量在總體自由度中的序號，如下表：u2v2２v3②①③１３u1v1u3單元號單元自由度LM(1)LM(2)LM(3)LM(4)①{u1v1u2v2}T1234②{u2v2u3v3}T3456③{u1v1u3v3}T1256

單元剛度矩陣中第s行第t列的元素kst加到總剛度矩陣的第LM(s)行LM(t)列即可（4）引入位移約束條件(2-1-24)有限元方程5.解有限元方程6.求單元內(nèi)力單元號單元結(jié)點位移內(nèi)力（以拉為正）①②③

本節(jié)所討論的桁架是一個十分簡單的靜定桁架，用理論力學(xué)的知識即可得到各桿的內(nèi)力。但是，若桁架為超靜定桁架且桿的數(shù)目有上千個，那么本節(jié)所討論的方法原則上不會遇到任何困難，我們要解決的課題將轉(zhuǎn)為如何管理有關(guān)的大量數(shù)據(jù)和如何解一個數(shù)千階的代數(shù)方程組這樣一些技術(shù)問題。

§2-2平面框架③2a①②az,θ,M4231（圖2－６）y,v,qP

平面框架，示于圖２－６。構(gòu)成它的元件是梁。設(shè)外載荷P只作用于梁的剛結(jié)點上。求框架的變形和內(nèi)力。x,u,p1.結(jié)構(gòu)的離散化

取每根梁為一個單元，編號為①、②、③。取梁之間的剛結(jié)點為結(jié)點，以１、２、３、４對結(jié)點進行編號。

2.總體坐標(biāo)系結(jié)點坐標(biāo)和自由度結(jié)點坐標(biāo)為:結(jié)構(gòu)的結(jié)點總自由度為:

約束條件:非約束結(jié)點自由度為:

x’,u’,p’y’,v’,q’z’,θ’,M’αij（圖２－７）3.單元分析（１）建立單元局部坐標(biāo)系原點：與結(jié)點i重合；x’軸：沿i，j方向；y’軸：在xy平面內(nèi)，與x’軸垂直；z’軸：與z軸一致。單元局部坐標(biāo)系中，各結(jié)點自由度為:單元結(jié)點自由度:

（２）局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣單元剛度矩陣的元素相當(dāng)單元結(jié)點位移在六種位移模式:

~情況下的結(jié)點力。則u’將是x’的線性函數(shù)，v’是x’的三次函數(shù)，

利用材料力學(xué)知識不難求得梁的變形曲線和結(jié)點力

如果我們約定：（i）單元內(nèi)彎曲剛度EI為常數(shù)；

(ii)單元只在端點受到外力；

(iii)不計剪切變形。表２－２平面梁單元的位移場和結(jié)點力序號結(jié)點位移和單元位移場結(jié)點作用于單元的力<1><2><3>ij1ij1radij表２－２平面梁單元的位移場和結(jié)點力序號結(jié)點位移和單元位移場結(jié)點作用于單元的力<4><5><6>ij1i1ji1radj由此求得平面梁單元在局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣[k’](2-2-3)（３）坐標(biāo)變換(2-2-４)每個單元有兩個結(jié)點，單元結(jié)點自由度的轉(zhuǎn)換關(guān)系為(2-2-５)單元剛度矩陣的變換公式為

(2-2-6)4.總體剛度矩陣和載荷向量的組裝

利用（2-2-3）和（2-2-6）可求得單元①、②、③在總體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣[k]1、[k]2、[k]3?？傮w載荷向量為

(2-2-7)有限元方程

5.非約束自由度結(jié)點位移(由（2-2-7解得）)

6.由結(jié)點位移求單元內(nèi)力

(例如：軸力、剪力、彎矩，對空間梁單元還可求扭矩)

本節(jié)側(cè)重討論在組裝剛度矩陣的過程中實現(xiàn)劃行劃列，即由[k]直接組裝[K]的方法。對每個單元，根據(jù)（2-2-1）和(2-2-2)可形成一個數(shù)組LM，如下表所示：單元號單元自由度LM(1)LM(2)LM(3)LM(4)LM(5)LM(6)①000123②123456③456000

每個LM數(shù)組有六個元素，分別與單元自由度中的各位移分量對應(yīng)。當(dāng)這個位移分量被約束時對應(yīng)的LM元素取零；若這個位移屬于非約束自由度，對應(yīng)的LM元素取該位移在（2-2-1）中的序號，利用LM數(shù)組即可實現(xiàn)由[k]直接組裝[K]。對于[k]的第s行第t列的元素kst，若LM(s)和LM(t)中至少一個為零，則對該元素不予組裝（相當(dāng)于劃行劃列）；否則將kst迭加入總剛度矩陣[K]的第LM(s)行第LM(t)列。§2-3平面應(yīng)力問題常應(yīng)變?nèi)切螁卧拢粒茫膓③②④⑤①⑦⑥⑧q６９４７１８５２３t圖２－８

圖2-8為一邊長為a、厚度為t的正方形薄板。其中AB邊固定，BC、CD邊自由，AD邊作用均布壓力q。對這一問題進行有限元分析。１.離散求解域?qū)BCD劃分（離散）為８個三角形（單元），編號①—⑧。各單元僅在頂點（結(jié)點）鉸接，結(jié)點編號1—9。建立坐標(biāo)系后，不難定出各結(jié)點的坐標(biāo)（xi,yi）。２.單元分析

任取一個一般性的單元，如圖２－９所示。三個結(jié)點的編號為i,j,k。結(jié)點位移為(ui,vi

)、(uj,vj)、(uk,vk

)單元結(jié)點位移為y,v,qijk圖（２－９）x,u,p(1)假定單元內(nèi)位移場u,v

是x,y的一次函數(shù)(2-3-1)為待定常數(shù)，在結(jié)點處可解出

當(dāng)

i,j,k的位置為逆時針排列時，2Δ恒正，且等于三角形單元面積的兩倍。將這些結(jié)果代入（2-3-1）有單元內(nèi)的位移場為形函數(shù)與結(jié)點位移的表達式(2-3-2)可以合并成（２）單元的應(yīng)變、應(yīng)力(2-3-3)(2-3-4)

[B]稱為幾何矩陣，在假定單元內(nèi)位移場u、v是x,y的一次函數(shù)的前提下，幾何矩陣中各元素均為常數(shù)。故單元內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力將是常數(shù)，這種單元又稱為常應(yīng)變?nèi)窃?。（３）單元剛度矩陣[k]

為了在單元內(nèi)構(gòu)成均勻應(yīng)力場，必須在單元的各邊施加均布載荷，它們的合力一定作用在各邊的中點，如圖2-10(a)所示。圖（２－10）(a)xyijkF1xF3xF2xF3yF1yF2yσxτxy0σy

再將各邊上的合力平分到這邊的兩點結(jié)點，由圖2-10(b)不難得出xyijk02-10(b)類似可求得

qi、pj、qj、pk、qk

并可合并寫成(2-3-5)

根據(jù)單元剛度矩陣[k]的直觀意義，常應(yīng)變?nèi)窃膯卧獎偠染仃嚰礊?/p>

（４）結(jié)點載荷

單元①和②的邊上作用著均布的外載荷，可以把它們的合力平分到兩結(jié)點，如圖2-11所示

①①44f1q8787f1②②41f