經濟應用數(shù)學教程-微積分課件：定積分及其應用（下）

《經濟應用數(shù)學教程——微積分》《經濟應用數(shù)學教程——微積分》

本節(jié)將分析和解決一些實際應用問題.其目的不僅在于建立一些公式，而更重要的是運用實際問題中經常采用的一種“微元法”的分析方法.它使得定積分應用于實踐更加方便.什么是微元法呢？以下先來回顧一下本章第一節(jié)中討論過的曲邊梯形的面積問題.第五節(jié)

定積分在幾何中的應用《經濟應用數(shù)學教程——微積分》第二步，求和：在任意一個子區(qū)間上任取一點小曲邊梯形的面積的近似值，曲邊梯形的面積第一步，分割：

將區(qū)間任意分割成n個子區(qū)間《經濟應用數(shù)學教程——微積分》.

如果將第三步近似形式中的用代替,用代替，即得為第三步中的被積表達式.

第三步，求極限：當時，曲邊梯形面積《經濟應用數(shù)學教程——微積分》于是，求面積過程如下：第一步，選取積分變量（或）,并確定其變化范圍，例如選，在其上任取一個子區(qū)間；

第二步，取曲邊梯形面積在子區(qū)間上的部分量的近似值，即.如圖4－13.

叫做面積微元，記為.于是

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一般地，為求得某一實際問題中的量，只需先求出的微元量，然后，對取相應的定積分即可.這種方法通常叫做微元法.下面將應用這種方法來先來討論一些幾何問題.

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定積分為不規(guī)則的圖形求面積問題提供了有效的解決方法.一、平面圖形的面積

一般地，設是上的兩條連續(xù)曲線.不論的位置如何，由這兩條曲線及直線所圍成的平面圖形的面積的微元（如圖4－14）總可以表示為，從而.《經濟應用數(shù)學教程——微積分》類似地，設是上的兩條連續(xù)曲線.不論的位置如何，由這兩條曲線及直線所圍成的平面圖形的面積的微元總可以表示為，從而

.

《經濟應用數(shù)學教程——微積分》例1

求由兩條拋物線及所圍圖形的面積.

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例2求由拋物線，其上點處的切線與軸所圍圖形的面積.《經濟應用數(shù)學教程——微積分》

例3求由曲線，直線，，所圍圖形的面積.

《經濟應用數(shù)學教程——微積分》例4求由拋物線與所圍成的平面圖形面積

《經濟應用數(shù)學教程——微積分》如果選取縱坐標y為積分變量， 積分變量的恰當選取，可使計算過程更加簡便.《經濟應用數(shù)學教程——微積分》例5求橢圓所圍圖形的面積.

《經濟應用數(shù)學教程——微積分》由一平面圖形繞此平面內一條直線旋轉一周而成的立體稱為旋轉體，這條直線稱為旋轉體的旋轉軸.例如，矩形繞它的一條邊、直角三角形繞它的一條直角邊、直角梯形繞它的直角腰和半圓繞它的直徑旋轉一周而成的分別是常見的圓柱體、圓錐體、圓臺體和球體.

二、旋轉體的體積

《經濟應用數(shù)學教程——微積分》設有一旋轉體，如圖4－20(a)，是由連續(xù)曲線，直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周而成的立體，現(xiàn)在用定積分計算它的體積.取橫坐標為積分變量，其變化范圍時是.任取一子區(qū)間上的窄曲邊梯形繞軸旋轉一周而成的薄片的體積近似于以為底半徑、為高的扁圓柱體的體積，即體積微元，于是

《經濟應用數(shù)學教程——微積分》類似地，可求得由曲線軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周而成的旋轉體的體積為(如圖4－20(b))

《經濟應用數(shù)學教程——微積分》例6求由，所圍圖形分別繞軸和軸旋轉一周所得的旋轉體的體積.

解：(1)繞軸旋轉,如圖4-21(a)，取為積分變量,體積微元，積分區(qū)間為，所以旋轉體體積為

《經濟應用數(shù)學教程——微積分》(2)繞軸旋轉,如圖4-21(b)，取為積分變量,積分區(qū)間為,體積微元分別為，所求旋轉體體積為

《經濟應用數(shù)學教程——微積分》例7求由橢圓所圍成圖形繞軸旋轉一周所得的旋轉體(旋轉橢球體)的體積.解：由對稱性知，這個旋轉體也可看作是由半個橢圓及軸圍成的平面圖形繞軸旋轉一周而成的立體.積分區(qū)間為體積微元為《經濟應用數(shù)學教程——微積分》故所以旋轉橢球體的體積為

特別，當時，就得到了球體的體積公式.《經濟應用數(shù)學教程——微積分》

*第六節(jié)定積分的近似計算如果被積函數(shù)是解析式，牛頓－萊布尼茨公式為計算定積分提供了有力的工具.但在許多實際問題中遇到的定積分，有一些函數(shù)不是用解析式，而是用圖形或者用表格給出的，有一些被積函數(shù)雖然能用解析式表示，但要計算它的原函數(shù)卻十分困難，或者它的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示；另一方面，許多實際問題的結果也不一定要求其精確值，因此需要解決定積分的近似計算問題.由于計算機日益普及，定積分的近似計算容易實現(xiàn)從而在實際應用中顯得更加重要.

根據(jù)定積分(的幾何意義是曲邊梯形的面積，由此可以得到求定積分的近似值計算法的基本思想.下面介紹三種常用而簡便的近似計算方法──矩形法、梯形法、拋物線法.《經濟應用數(shù)學教程——微積分》一、矩形法矩形法就是把曲邊梯形先分成若干個小曲邊梯形，然后用小矩形來近似代替小曲邊梯形，將小矩形的面積累加，從而求得定積分的近似值.具體做法如下：

（1）分割把區(qū)間分成等分，設分點為

每個小區(qū)間的長度均為，過各分點作平行于軸的直線，把曲邊梯形分成個小曲邊梯形（如圖4－23）.設曲線與上述直線交點的坐標分別為

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（1）

（2）求和取小區(qū)間左端點的函數(shù)值作為小矩形的高，此時個小矩形的面積分別為所以

類似地，若取小區(qū)間的右端點的函數(shù)值作為小矩形的高，此時，個小矩形的面積分別為.所以有

（2）式（1）和式（2）都叫做矩形法公式.它們其中一個是不定積分的不足近似值而另一個是不定積分的過剩近似值.

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例1用矩形法計算，取計算到三位小數(shù)的近似值.

解：把區(qū)間分成10等份，設分點為將對應的函數(shù)值列表如下：《經濟應用數(shù)學教程——微積分》利用矩形法公式(1)，得

《經濟應用數(shù)學教程——微積分》也可以利用矩形法公式(2)，得

.

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為了提高計算的精確度，分割的小區(qū)間個數(shù)的取值一般較大，這一目標利用計算機編程容易達到.

如果在分割的每個小區(qū)間上采用一次或二次多項式來近似代替被積函數(shù)，對于相同的分割等分n，得到定積分的近似計算公式比矩形法的精確程度更好．梯形法和拋物線法就是這一思想的具體體現(xiàn)．《經濟應用數(shù)學教程——微積分》二、梯形法

梯形法就是先把曲邊梯形分割成若干個小曲邊梯形然后連接曲線上相鄰分點，得到小直角梯形，將小直角梯形面積累加，從而求得定積分的近似值.具體做法如下:

（1）分割

把區(qū)間分成等分，設分點為每個小區(qū)間的長度均為過各分點作平行于軸的直線，把曲邊梯形分割成個小曲邊梯形（如圖4—24）.設曲線與上述直線交點的坐標分別為《經濟應用數(shù)學教程——微積分》《經濟應用數(shù)學教程——微積分》式(3)叫做梯形法公式.由這個公式所得的近似值實際上是式(1)，式(2)所得近似值的平均值.

所以

(3)

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例2用梯形法計算，取計算到三位小數(shù)的近似值.解：把區(qū)間分成10等分，設分點為將對應的函數(shù)值，列于下表：《經濟應用數(shù)學教程——微積分》由梯形公式(3)，得≈

=0.1×(0.5000+8.3403)≈0.884.

由梯形法求定積分近似值，當函數(shù)曲線為凹曲線時，計算結果就偏小；當函數(shù)曲線為凸曲線時，它就偏大．為了進一步提高精確度，可用與函數(shù)曲線凹凸性相同的拋物線來近似每個小區(qū)間上的曲線，這就是拋物線法．

《經濟應用數(shù)學教程——微積分》三、拋物線法（Sinpson法）拋物線法就是把曲邊梯形先分割成若干個小曲邊梯形，然后用對稱軸平行于軸的拋物線上的一段弧來近似代替原來的曲線弧，即以拋物線為曲邊的小曲邊梯形近似代替原小曲邊梯形，從而算出定積分的近似值.具體做法如下：

（1）分割把區(qū)間分成等份，設分點為

每個小區(qū)間的長度均為，過各分點作軸的平行直線，與曲線交點的坐標分別為

從而得到個小曲邊梯形（如圖4－25）.《經濟應用數(shù)學教程——微積分》

（2）求和

為不失一般性，不妨把軸平移至直線處，設過三點,,的拋物線方程為，以此拋物線為曲邊的曲邊梯形面積

《經濟應用數(shù)學教程——微積分》注意到，因此可進一步化簡為

同樣地可以計算得到區(qū)間上以過三個點，的拋物線為曲邊的曲邊梯形的面積為

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上式稱為拋物線公式（或辛普森（Simpson）公式）．

把以拋物線作曲線邊構成的個曲邊梯形的面積相加，即可得到定積分的近似值《經濟應用數(shù)學教程——微積分》

例3分別用矩形法、梯形法和拋物線法計算定積分的近似值.解：把區(qū)間等分為段，設分點為()，對應的函數(shù)值()，計算數(shù)據(jù)見下表，《經濟應用數(shù)學教程——微積分》則用矩形法（取左端點），得；用矩形法（取右端點），得；用梯形法，得；《經濟應用數(shù)學教程——微積分》用拋物線法，得

由N—L公式知，定積分，因此，對于相同的分割等分n=10，三種近似計算方法中，其中拋物線法誤差最小.

《經濟應用數(shù)學教程——微積分》例4分別用矩形法、梯形法和拋物線法計算定積分的近似值.

解：由于被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以無法用牛頓—萊布尼茨公式計算出此積分值.把區(qū)間等分為段設分點為()，對應的函數(shù)值()計算數(shù)據(jù)見下表，《經濟應用數(shù)學教程——微積分》則用矩形法（取左端點），得用矩形法（取右端點），得利用梯形法，得；《經濟應用數(shù)學教程——微積分》

當被積函數(shù)不用解析式給出，而通過圖形或表格給出時，定積分的計算就只能采取近似計算的方法.

利用拋物線法，得

《經濟應用數(shù)學教程——微積分》例5

某河床橫截面如圖4-26所示，測量各點()處所得的數(shù)據(jù)如下表所示（為測量站點，為河床深度，單位：米），分別用矩形法、梯形法和拋物線法計算該圖形的面積.《經濟應用數(shù)學教程——微積分》解：由定積分的幾何意義知，該圖形的面積等于曲線段在區(qū)間上的定積分，所以利用矩形法（取左端點），得利用矩形法（取右端點），得《經濟應用數(shù)學教程——微積分》利用梯形法，得利用拋物線法，得

由以上三例可知，對于同一個問題取相同的，其精確程度依矩形法、梯形法、拋物線法而逐步增高；另一方面，計算定積分的近似值時，無論采用哪種方法，當取得越大則近似程度就越好．《經濟應用數(shù)學教程——微積分》

第七節(jié)

定積分在經濟分析中的應用舉例

定積分在經濟分析中也有著廣泛的應用1、求原經濟函數(shù)問題

由邊際函數(shù)求原經濟函數(shù)(即原函數(shù))，一般采用不定積分來解決，也可以通過求一個變上限的定積分解決.利用變上限的定積分可以求總需求函數(shù),總成本函數(shù),總收益函數(shù)以及總利潤函數(shù).

設經濟應用函數(shù)的邊際函數(shù)為,則有《經濟應用數(shù)學教程——微積分》例1

生產某產品的邊際成本函數(shù)為,固定成本,求出生產個產品的總成本函數(shù).例2某企業(yè)生產噸產品時的邊際成本為(元/噸)，固定成本為元,求產量為多少時平均成本最低?《經濟應用數(shù)學教程——微積分》例3某工廠生產一種產品，每日總收入的變化率（即邊際收益）是日產量的函數(shù)（單位：元/件）.該廠生產此種產品的能力為每小時30件，問怎樣安排生產才能使這種產品每日的總收益最大？并求出此最大總收益《經濟應用數(shù)學教程——微積分》例4設生產個產品的邊際成本,固定成本為元,產品單價為500元，假設生產的產品能完全銷售,問產量為多少時利潤最大?并求出最大利潤.《經濟應用數(shù)學教程——微積分》2、求經濟函數(shù)在區(qū)間上的增量成本、收益和利潤在產量的變動區(qū)間上的改變量（增量）分別等于邊際成本，邊際收益和邊際利潤在區(qū)間上的定積分，即

《經濟應用數(shù)學教程——微積分》例5已知一工廠某商品邊際收益為（萬元/t），邊際成本為5（萬元/t），求產量從250t增加到300t時銷售收入，總成本，利潤的改變量（增量）.例6已知某產品邊際產量為(件/天),求從第5天到第10天產品的產量.《經濟應用數(shù)學教程——微積分》.3、求消費者剩余與生產者剩余

由第一章已知，需求函數(shù)是價格p的單調遞減函數(shù)，供給函數(shù)是價格p的單調遞增函數(shù).如圖4-27，其中，是生產者會生產此商品的最低價，是消費者會購買此種商品的最高價，經市場功能調節(jié)后，商品在市場均衡點處成交.

消費者以均衡價格購買了商品，他們本來打算出較高的價格購買這種商品，消費者因此而省下來的錢的總數(shù)稱為消費者剩余.生產者以均衡價格出售了商品，他們本來打算以較低的售價售出這些商品，生產者因此而獲得的額外收入稱為生產者剩余《經濟應用數(shù)學教程——微積分》即曲線三邊形的面積；生產者剩余為

即曲線三邊形的面積.

因為需求函數(shù)和供給函數(shù)都是單調函數(shù)，因此為計算消費者剩余和生產者剩余，可以把需求函數(shù)表示為即為反需求函數(shù),供給函數(shù)表示為