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——光速相對(duì)論
h h=6.626×10-34JsPlanck常數(shù)E×t~h或更小尺度量子理論限制條件牛頓物理學(xué)能夠預(yù)測(cè)三個(gè)世紀(jì)后火星在哪,卻不能預(yù)測(cè)后天的天氣。這是因?yàn)椋号nD物理學(xué)是建立在變量之間的線性關(guān)系上的。它假定:對(duì)于每個(gè)因,都有一個(gè)直接的果。所有系統(tǒng)都尋求系統(tǒng)在哪里可以安靜下來(lái)的均衡點(diǎn)。自然是有序的。時(shí)鐘是牛頓物理學(xué)的最好象征。精確地組合到一起的零件,以完美的和諧走向一個(gè)可預(yù)測(cè)的結(jié)果。然而,局限性是存在的。牛頓物理學(xué)能夠解釋兩個(gè)物體如何相互作用,卻不能預(yù)測(cè)三個(gè)物體的相互作用。在19世紀(jì)的大部分時(shí)間里,科學(xué)家們都為三體問(wèn)題所困擾。最后龐加萊說(shuō),因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)在的非線性性質(zhì),這個(gè)問(wèn)題無(wú)法求得單一解。龐加萊解釋了為什么這些非線性性質(zhì)是重要的:一個(gè)我們根本注意不到的非常小的因可以決定一個(gè)我們不可能注意不到的果,而那時(shí)我們會(huì)說(shuō)這個(gè)果是處于偶然。。。。初始條件的很小差異產(chǎn)生出最終現(xiàn)象的極大不同的這種情況是會(huì)發(fā)生的。前者的很小的誤差導(dǎo)致后者的極大的誤差預(yù)測(cè)變得不可能。。。。。這個(gè)效應(yīng)現(xiàn)在被稱為“對(duì)于初始條件的敏感依賴”,并且已變成動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的重要特征。一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)在地不可作長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。不可預(yù)測(cè)性是由于兩個(gè)原因出現(xiàn)的。動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是反饋系統(tǒng)。出來(lái)的東西會(huì)回去,經(jīng)過(guò)變換,再出來(lái),沒(méi)完沒(méi)了。出來(lái)變換是指數(shù)外,反饋系統(tǒng)非常像復(fù)利,他有一個(gè)高于1的冪。任何初始值的差別又都會(huì)按指數(shù)增長(zhǎng)。復(fù)雜系統(tǒng)的另一個(gè)特征牽涉到臨界水平的概念。一個(gè)經(jīng)典的例子就是壓斷了駱駝背的最后一根稻草。駱駝突然垮下來(lái)是一個(gè)非線性反應(yīng),因?yàn)樵隈橊効宓艉湍歉囟ǖ牡静葜g沒(méi)有直接的關(guān)系。所有的重量的累計(jì)效應(yīng)最后超過(guò)了駱駝?wù)局钡哪芰?,使駱駝垮下?lái)。P確定系統(tǒng)-非線性現(xiàn)象-不穩(wěn)定-不確定性-貌似隨機(jī)現(xiàn)象?龐加萊與動(dòng)力系統(tǒng)
龐加萊(JulesHenriPoincaré,1854-1912)是法國(guó)數(shù)學(xué)家,由于他的貢獻(xiàn)涉及數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)的許多方向,有人說(shuō)他是數(shù)學(xué)上的最后一位通才。幼年時(shí)期曾遭遇普法戰(zhàn)爭(zhēng),他自己又由于視力不好和運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)性不好,并不順利。但是他有一個(gè)驚人的記憶力,而且對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣。他的堂兄弟雷蒙·龐加萊曾在第一次世界大戰(zhàn)第一次世界大戰(zhàn)時(shí)期擔(dān)任法國(guó)總統(tǒng)。1879年龐加萊獲得博士學(xué)位。其后他在巴黎大學(xué)教學(xué),講授數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)物理、概率論、天文學(xué)等課。1887年他被選為法國(guó)科學(xué)院院士,1906年,他當(dāng)選為法國(guó)科學(xué)院院長(zhǎng)。他在天體力學(xué)方面的工作及對(duì)三體問(wèn)題的貢獻(xiàn)使他在1889年獲得了瑞典國(guó)王奧斯卡二世的獎(jiǎng)金。龐加萊針對(duì)天體力學(xué)提出的微分方程,研究它們的定性性質(zhì)。他系統(tǒng)發(fā)展了研究微分方程的周期解和漸近解的方法。對(duì)微分方程所確定的曲線在奇點(diǎn)鄰近的性質(zhì)進(jìn)行了分類,并創(chuàng)造了一套判定這類分類的方法。其中計(jì)算龐加萊截面法、分叉解的確定、至今仍是研究非線性系統(tǒng)的重要方法。
龐加萊將從力學(xué)提出的微分方程加以數(shù)學(xué)提高,提出了動(dòng)力系統(tǒng)的概念。它概括了凡是知道當(dāng)前狀態(tài),并給了到下一時(shí)刻的演化規(guī)律的系統(tǒng)都可以稱為動(dòng)力系統(tǒng)。動(dòng)力系統(tǒng)是對(duì)自然界與社會(huì)現(xiàn)象變化的最一般的描述。至今,非線性動(dòng)力系統(tǒng)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)、力學(xué)、與整個(gè)自然科學(xué)的重要研究領(lǐng)域。
龐加萊最早提出了動(dòng)力系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)的可能性。他在《科學(xué)與方法》中說(shuō)的偶然性時(shí)對(duì)拉普拉斯的確定論作了如下的注解:“如果我們可以正確地了解自然定律及宇宙在初始時(shí)刻的狀態(tài),那么我們就能夠正確地預(yù)言這個(gè)宇宙在后繼時(shí)刻的狀態(tài)。如果情況容許我們以同樣的近似程度預(yù)見(jiàn)后繼的狀態(tài),這就是我們要求的一切,那我們就說(shuō)該現(xiàn)象被預(yù)言到了。它受規(guī)律支配。但是情況并非如此,可以發(fā)生這樣的情況:初始條件的微小差別,在最后的現(xiàn)象中產(chǎn)生了極大的差別;前者的微小誤差促成了后者的極大誤差?!彼e繞太陽(yáng)運(yùn)行的小行星為例說(shuō),如果它們相差“平均每天超出千分之一秒,事實(shí)上三年將超出一秒,一萬(wàn)年超出一度,三四百萬(wàn)年將超出一個(gè)圓周!”這是人們從一般規(guī)律上對(duì)牛頓開(kāi)始的自然哲學(xué)中的確定論的否定。目前關(guān)于混沌的研究也已成為新的各個(gè)領(lǐng)域都關(guān)心的研究課題。龐加萊與三體問(wèn)題N體問(wèn)題
N體問(wèn)題可以用一句話寫出來(lái):在三維空間中給定N個(gè)質(zhì)點(diǎn),如果在它們之ji間只有萬(wàn)有引力的作用,那么在給定它們的初始位置和速度的條件下,它們會(huì)怎樣在空間中運(yùn)動(dòng)。三體問(wèn)題最簡(jiǎn)單的例子就是太陽(yáng)系中太陽(yáng),地球和月球的運(yùn)動(dòng)。在浩瀚的宇宙中,星球的大小可以忽略不記,所以我們可以把它們看成質(zhì)點(diǎn)。如果不計(jì)太陽(yáng)系其他星球的影響,那么它們的運(yùn)動(dòng)就只是在引力的作用下產(chǎn)生的,所以我們就可以把它們的運(yùn)動(dòng)看成一個(gè)三體問(wèn)題。限制性三體問(wèn)題三體問(wèn)題的特殊情況。當(dāng)所討論的三個(gè)天體中﹐有一個(gè)天體的質(zhì)量與其他兩個(gè)天體的質(zhì)量相比﹐小到可以忽略時(shí)﹐這樣的三體問(wèn)題稱為限制性三體問(wèn)題。一般地把這個(gè)小質(zhì)量的天體稱為無(wú)限小質(zhì)量體﹐或簡(jiǎn)稱小天體﹔把兩個(gè)大質(zhì)量的天體稱為有限質(zhì)量體。
把小天體的質(zhì)量看成無(wú)限小﹐就可不考慮它對(duì)兩個(gè)有限質(zhì)量體的吸引﹐也就是說(shuō)﹐它不影響兩個(gè)有限質(zhì)量體的運(yùn)動(dòng)。于是﹐對(duì)兩個(gè)有限質(zhì)量體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的討論﹐仍為二體問(wèn)題﹐其軌道就是以它們的質(zhì)量中心為焦點(diǎn)的圓錐曲線。根據(jù)圓錐曲線為圓﹑橢圓﹑拋物線和雙曲線等四種不同情況﹐相應(yīng)地限制性三體問(wèn)題分四種類型﹕圓型限制性三體問(wèn)題﹑橢圓型限制性三體問(wèn)題﹑拋物線型限制性三體問(wèn)題和雙曲線型限制性三體問(wèn)題。若小天體的初始位置和初始速度都在兩個(gè)有限質(zhì)量體的軌道平面上﹐則小天體將永遠(yuǎn)在運(yùn)動(dòng)。求解m3在m1與m2所形成的引力場(chǎng)種的運(yùn)動(dòng),假設(shè)坐標(biāo)系和m1與m2一同旋轉(zhuǎn)并假設(shè)原點(diǎn)和質(zhì)心重合。m1距原點(diǎn)的距離為rμ/m1,m2距原點(diǎn)的距離為rμ/m2。則m3在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的拉格朗日函數(shù)為:L=(1/2)m3[(x.-ωy)2+(y.+ωx)2]-V,其中V為m3在m1與m2引力場(chǎng)種的勢(shì)能,V=-Gm1m3/r13-Gm2m3/r23。rμ/m1rμ/m2m2m1yxom3三體問(wèn)題的起源在二十世紀(jì)的第一次數(shù)學(xué)家大會(huì)(1900年)上,二十世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特(希爾伯特DavidHilbert)在他著名的演講中提出了23個(gè)困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題,這些數(shù)學(xué)問(wèn)題在二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展中起了非常重要的作用。在同一演講中,希爾伯特也提出了他所認(rèn)為的完美的數(shù)學(xué)問(wèn)題的準(zhǔn)則:?jiǎn)栴}既能被簡(jiǎn)明清楚的表達(dá)出來(lái),然而問(wèn)題的解決又是如此的困難以至于必須要有全新的思想方法才能夠?qū)崿F(xiàn)。為了說(shuō)明他的觀點(diǎn),希爾伯特舉了兩個(gè)最典型的例子:第一個(gè)是費(fèi)爾馬(PierredeFermat)猜想,即代數(shù)方程
x^n+y^n=z^n在n大于2時(shí)是沒(méi)有整數(shù)解的;第二個(gè)就是所要介紹的N體問(wèn)題的特例------三體問(wèn)題。值得一提的是,盡管這兩個(gè)問(wèn)題在當(dāng)時(shí)還沒(méi)有被解決,希爾伯特并沒(méi)有把他們列進(jìn)他的問(wèn)題清單。但是在整整一百年后回顧,這兩個(gè)問(wèn)題對(duì)于二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的整體發(fā)展所起的作用恐怕要比希爾伯特提出的23個(gè)問(wèn)題中任何一個(gè)都大。費(fèi)爾馬猜想經(jīng)過(guò)全世界幾代數(shù)學(xué)家?guī)装倌甑呐?,終于在1994年被美國(guó)普林斯頓大學(xué)(PrincetonUniversity)懷爾斯(AndrewWiles)最終解決,這被公認(rèn)為二十世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)進(jìn)展之一,因?yàn)槌私鉀Q一個(gè)重要的問(wèn)題,更重要的是在解決問(wèn)題的過(guò)程中好幾種全新的數(shù)學(xué)思想誕生了,難怪在問(wèn)題解決后也有人遺憾地感嘆一只會(huì)生金蛋的母雞被殺死了。
龐加萊在現(xiàn)代數(shù)學(xué)歷史上占有舉足輕重的地位,他曾被稱為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩個(gè)奠基人之一(另一個(gè)是黎曼(BernhardRiemann)),也有人稱他為歷史上精通當(dāng)時(shí)所有數(shù)學(xué)的最后兩個(gè)人之一(另一個(gè)就是希爾伯特))。龐加萊對(duì)N體問(wèn)題的貢獻(xiàn)如下:第一,龐加萊證明了對(duì)于N體問(wèn)題在N大于二時(shí),不存在統(tǒng)一的第一積分(uniformfirstintegral)。也就是說(shuō)即使是一般的三體問(wèn)題,也不可能通過(guò)發(fā)現(xiàn)各種不變量最終降低問(wèn)題的自由度,把問(wèn)題化簡(jiǎn)成更簡(jiǎn)單可以解出來(lái)的問(wèn)題,這打破了當(dāng)時(shí)很多人希望找到三體問(wèn)題一般的顯式解的幻想。在一百年后學(xué)習(xí)微分方程課的人大多在第二個(gè)星期就從老師那里知道絕大多數(shù)微分方程是沒(méi)法找到定量的解的,但一般都能從定性理論中了解更多解的性質(zhì),甚至可以通過(guò)計(jì)算機(jī)“看到”解的形狀行為。而在龐加萊的年代,大多數(shù)數(shù)學(xué)家更熱衷于用代數(shù)或冪函數(shù)方法找到解,使用定性方法和幾何方法來(lái)討論微分方程就是起源于龐加萊對(duì)于N體問(wèn)題的研究,這徹底改變?nèi)藗冄芯课⒎址匠痰幕鞠敕?。第二,為了研究N體問(wèn)題,龐加萊發(fā)明了許多全新的數(shù)學(xué)工具。例如他完整地提出了不變積分(invariantintegrals)的概念,并且使用它證明了著名的回歸定理(recurrencetheorem)。另一個(gè)例子是他為了研究周期解的行為,引進(jìn)了第一回歸映象(firstreturnmap)的概念,在后來(lái)的動(dòng)力系統(tǒng)理論中被稱為龐加萊映象。還有象特征指數(shù)(characteristicexpontents),解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性(continuousdependenceofsolutionswithrespecttoparameters)等等。所有這些都成為了現(xiàn)代微分方程和動(dòng)力系統(tǒng)理論中的基本概念。第三點(diǎn),也許是最重要的一點(diǎn),是龐加萊通過(guò)研究所謂的漸進(jìn)解(asymptoticsolutions),同宿軌道
(homoclinicorbits)和異宿軌道(hetroclinicorbits),發(fā)現(xiàn)即使在簡(jiǎn)單的三體問(wèn)題中,在這樣的同宿軌道或者異宿軌道附近,方程的解的狀況會(huì)非常復(fù)雜,以至于對(duì)于給定的初始條件,幾乎是沒(méi)有辦法預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí),這個(gè)軌道的最終命運(yùn)。事實(shí)上半個(gè)世紀(jì)后,后來(lái)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象在一般動(dòng)力系統(tǒng)中是常見(jiàn)的,他們把它叫做穩(wěn)定流形(stablemanifold)和不穩(wěn)定流形(unstablemanifold)正態(tài)相交(intersectstransversally)所引起的同宿交錯(cuò)網(wǎng)(homoclinictangle),而這種對(duì)于軌道的長(zhǎng)時(shí)間行為的不確定性,數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家稱之為混沌(chaos)。龐加萊的發(fā)現(xiàn)可以說(shuō)是混沌理論的最早起源了。盡管N體問(wèn)題中著名的龐勒維猜想已經(jīng)在上個(gè)世紀(jì)結(jié)束前被成功地解決了,N體問(wèn)題本身還是有太多的神秘領(lǐng)域值得新世紀(jì)的年輕數(shù)學(xué)家們探索。也許在今后幾個(gè)世紀(jì)里,N體問(wèn)題將仍然是新的數(shù)學(xué)和新的思想的源泉,就象過(guò)去的三百年一樣。
龐勒維證明了在三體問(wèn)題,奇點(diǎn)必須是碰撞解,也就是說(shuō)爆破是不可能在三體問(wèn)題中出現(xiàn)的。但是在他筆記的第588頁(yè),他猜測(cè)當(dāng)N大于三時(shí),N體問(wèn)題存在非碰撞的奇點(diǎn)解。(這就是后人稱為龐勒維猜想的著名問(wèn)題。龐勒維想象了這樣一種可能性:一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在其他質(zhì)點(diǎn)之間徘徊,當(dāng)它幾乎和某個(gè)質(zhì)點(diǎn)撞上時(shí),又恰好躲開(kāi),過(guò)一會(huì)兒又和另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)幾乎撞上,這樣周而復(fù)始但所有這一切都發(fā)生在有限時(shí)間內(nèi)。然而這種奇特的振蕩形爆破是否可能發(fā)生呢?這正是龐勒維的猜想。
拉格朗日(JosephLouisLagrange,1736,1,25-1813,4,11)是數(shù)學(xué)和力學(xué)史上的一位重要人物。他的一生可分為三個(gè)時(shí)期,即早期在意大利的都靈(1736-1766),中期在普魯士的柏林(1766-1787),后期在法國(guó)的巴黎(1787-1813〕。六.經(jīng)典力學(xué)概論—Lagrange力學(xué)
在牛頓的《原理》出版后的101年,也是法國(guó)大革命的前一年,即1788年,卻在法國(guó)出版了一本不含幾何推理也沒(méi)有任何幾何插圖的力學(xué)書。這就是J.L.拉格朗日(Lagrange)著的《分析力學(xué)》。這本書的出版標(biāo)志了力學(xué)發(fā)展的一個(gè)新階段。在這本書的開(kāi)場(chǎng)白中,拉格朗日說(shuō)這本書的宗旨是:“去簡(jiǎn)化力學(xué)理論及其求解有關(guān)問(wèn)題的技巧,達(dá)到簡(jiǎn)單展開(kāi)的一般提法,以便提供求解任意問(wèn)題的必要的方程?!焙汀叭ビ靡粋€(gè)觀點(diǎn)統(tǒng)一和表示迄今用于求解力學(xué)問(wèn)題的不同原理
,揭示這些原理之間的依存關(guān)系并給出判定它們正確性與適用范圍的判據(jù)?!崩窭嗜者€聲稱:“在這本書中找不到任何插圖,我在這本書中闡述的方法,既無(wú)作圖也無(wú)需幾何或力學(xué)的推理,而僅僅是按照常規(guī)的統(tǒng)一的代數(shù)運(yùn)算固有的過(guò)程。愛(ài)好分析的人將會(huì)高興地看到力學(xué)已變?yōu)榉治龅囊粋€(gè)新的分支,并將感謝我擴(kuò)大了分析的應(yīng)用范圍”。
拉格朗日在他19歲時(shí)便開(kāi)始構(gòu)筑《分析力學(xué)》的框架,直到1782年他寫信給法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯信中才宣告《分析力學(xué)》完稿,其間經(jīng)過(guò)了長(zhǎng)達(dá)30多年的歷程。當(dāng)時(shí)剛剛從政,在法國(guó)當(dāng)了大官的大數(shù)學(xué)家拉普拉斯幫助安排在法國(guó)出版這本書,大數(shù)學(xué)家勒讓德(Legendre)擔(dān)任這本書的編輯。到1788年正式出版。之后拉格朗日對(duì)這本書又作了補(bǔ)充和修改,在1861年,拉格朗日去世后三年第二版出版了。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)
若質(zhì)點(diǎn)系受有理想約束,將作為主動(dòng)力處理,則:解析式:動(dòng)力學(xué)普遍方程。
動(dòng)力學(xué)普遍方程
設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),受s個(gè)完整約束且系統(tǒng)所受的約束是理想約束,自由度
k=3n-s
。下面推導(dǎo)以廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程的形式。質(zhì)點(diǎn)。若取系統(tǒng)的一組廣義坐標(biāo)為,則稱為廣義速度。
拉格朗日第二類方程
代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)普遍方程,得:
稱
為廣義力
廣義慣性力38
廣義慣性力可改變?yōu)橛觅|(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能表示,因此為簡(jiǎn)化計(jì)算,需要用到以下兩個(gè)關(guān)系式:下面來(lái)推導(dǎo)這兩個(gè)關(guān)系式:第一式只須將(b)式兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)即可得到。
第二式可比較(a)式先對(duì)qj求偏導(dǎo)數(shù)再對(duì)t求導(dǎo)數(shù)與(b)式對(duì)qj求偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)論得出。拉格朗日第二類動(dòng)力學(xué)方程,簡(jiǎn)稱拉格朗日方程。40
如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的力是有勢(shì)力,則廣義力可用質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能來(lái)表達(dá)。而拉氏方程為:引入拉格朗日函數(shù):L=T-U
則:保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。41
應(yīng)用拉氏方程解題的步驟:
1.判定質(zhì)點(diǎn)系的自由度k,選取適宜的廣義坐標(biāo)。必須注意:不能遺漏獨(dú)立的坐標(biāo),也不能有多余的(不獨(dú)立)坐標(biāo)。
2.計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能T,表示為廣義速度和廣義坐標(biāo)的函數(shù)。
3.計(jì)算廣義力,計(jì)算公式為:或
若主動(dòng)力為有勢(shì)力,須將勢(shì)能U表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。
4.建立拉氏方程并加以整理,得出k個(gè)二階常微分方程。
5.求出上述一組微分方程的積分。哈密爾頓(WilliamRowanHamilton,1805-1865)是愛(ài)爾蘭人,其父是一位律師,母親出自一個(gè)知識(shí)家族。他12歲時(shí)母親去世,二年后父親也去世了,他便隨叔父受教育。哈密爾頓是一位早慧的神童,尤其在語(yǔ)言方面,他10歲時(shí),已學(xué)會(huì)英語(yǔ)、意大利語(yǔ)、法語(yǔ)、拉丁語(yǔ)、希臘語(yǔ),同時(shí)開(kāi)始學(xué)阿拉伯語(yǔ)與梵語(yǔ),后來(lái)還學(xué)會(huì)了希伯來(lái)語(yǔ)、波斯語(yǔ)、迦勒底語(yǔ)、古敘利亞語(yǔ)、馬來(lái)語(yǔ)、孟加拉語(yǔ)等,并且學(xué)過(guò)漢語(yǔ)。六.經(jīng)典力學(xué)概論—Hamilton力學(xué)哈密爾頓在14歲時(shí)接觸數(shù)學(xué),在17歲時(shí)通過(guò)學(xué)微積分了解了數(shù)學(xué),并了解了天文學(xué),學(xué)會(huì)了計(jì)算日食和月食。他讀過(guò)牛頓與拉普拉斯的著作。1823年,他以第一名考入都柏林大學(xué)三一學(xué)院。22歲時(shí)被聘為該大學(xué)的教授,兼天文臺(tái)長(zhǎng)。1834與1835年,哈密爾頓發(fā)表了兩篇著作,《論動(dòng)力學(xué)中的一個(gè)普遍方法》與《再論動(dòng)力學(xué)中的普遍方法》。在這兩篇論文中包含了他對(duì)分析力學(xué)的主要貢獻(xiàn)。哈密爾頓引入了作用量,式中分別是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所過(guò)的兩點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的兩個(gè)時(shí)刻,T-V是動(dòng)能減去勢(shì)能,它是由泊松引入的,稱為拉格朗日函數(shù)。哈密爾頓原理說(shuō),在所有在指定的兩個(gè)時(shí)刻過(guò)上述指定的兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)中,真實(shí)的運(yùn)動(dòng)是使S穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)。
因?yàn)閷?duì)保守系統(tǒng)有T+V=C,C為常數(shù),故T-V=2T-C,即是說(shuō)哈密爾頓的作用量與拉格朗日的作用量只差常數(shù),所以可以說(shuō)哈密爾頓原理與拉格朗日原理是一致的。但是哈密爾頓原理可以推廣到某些非保守系統(tǒng)的情形。
將拉格朗日函數(shù)L=T-V,表示為拉格朗日廣義坐標(biāo)的函數(shù),這時(shí)由前面拉格朗日引進(jìn)的作用量,可以得到這個(gè)作用量穩(wěn)定時(shí)運(yùn)動(dòng)必須滿足歐拉方程
泊松引進(jìn)了,將它代入上式即有。哈密爾頓引進(jìn)了。后人將H稱為哈密爾頓函數(shù)。將稱為哈密爾頓的廣義坐標(biāo)利用式,從中解出為的函數(shù)代入上式,再將上式作變分可得。注意式中的自變量的變分是任意的,我們便可得到(i=1,2,3,…,n)。這便是以哈密爾頓函數(shù)H與哈密爾頓變量p,q表示的運(yùn)動(dòng)方程。后人也將它稱為哈密爾頓方程。哈密爾頓方程的優(yōu)點(diǎn)是自變量在方程中有某種對(duì)稱性,給求解和定性研究帶來(lái)很大的方便。由于這一優(yōu)點(diǎn),后來(lái)才能將動(dòng)力系統(tǒng)納入辛幾何的框架中去。值得注意的是,哈密爾頓――雅科比方程是后來(lái)通向量子力學(xué)的唯一的門徑。(Hamilton方程也稱正則方程,以下為推導(dǎo)要點(diǎn))
48借助Legendre變換達(dá)到上述目的解一個(gè)力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng),通常按以下步驟:取s個(gè)q作廣義坐標(biāo),得到qa(t)的2階微分方程,即拉氏方程:在微分和求導(dǎo)時(shí),被看作獨(dú)立變量。寫出u(x,y)v(x,y)
49正則方程由拉氏方程得:兩邊加上:得以為獨(dú)立變量的函數(shù):把這個(gè)函數(shù)記為H:這里qa、pa
分別稱為正則坐標(biāo)和正則動(dòng)量,或統(tǒng)稱為正則變量。獨(dú)立變量的微分前的系數(shù)應(yīng)該對(duì)應(yīng)相等,因此得:求dH:這2組方程稱為Hamilton正則方程,或正則方程,Hamilton方程。歐拉(LeonhardEuler,1707-1783)是一位通于數(shù)學(xué)、力學(xué)、天文學(xué),在各方面都有重要貢獻(xiàn)的瑞士科學(xué)家。他青年時(shí)代曾就學(xué)于伯努利家族,1722年當(dāng)他年僅15歲時(shí)便大學(xué)畢業(yè),得到了學(xué)士學(xué)位,1723年得到了碩士學(xué)位。在18歲之后他便開(kāi)始了獨(dú)立研究工作。歐拉在1726年收到彼得堡科學(xué)院的邀請(qǐng)去俄國(guó)講學(xué),1730年主持物理講座,1733年成為彼得堡科學(xué)院院士。1741-1766年他在柏林科學(xué)院工作,1766年又到俄國(guó)。1738年,歐拉右眼失明,到晚年,在1776年之后,雙目失明。歐拉有很好的記憶力而又善于心算,據(jù)說(shuō)他有兩個(gè)學(xué)生同時(shí)計(jì)算一個(gè)十分復(fù)雜的級(jí)數(shù)的和,在第17項(xiàng)的第50位數(shù)字上二人結(jié)果不一致,而歐拉用心算作出了全部運(yùn)算,答案正確。
六.經(jīng)典力學(xué)概論—Euler剛體動(dòng)力學(xué)歐拉可以說(shuō)是科學(xué)上的一位通才。在數(shù)學(xué)中,他是分析、拓?fù)?、代?shù)等數(shù)學(xué)分支的開(kāi)拓者。在力學(xué)中,他又是一般力學(xué)、固體力學(xué)、流體力學(xué)三個(gè)方向的開(kāi)拓者。在天文學(xué)方面,他又研究過(guò)行星與月球的運(yùn)動(dòng)。在自然科學(xué)中,至今以歐拉命名的重要成果有數(shù)十項(xiàng)之多。如:剛體運(yùn)動(dòng)的歐拉方程;剛體運(yùn)動(dòng)中歐拉可積情形;理想流體運(yùn)動(dòng)的歐拉方程;固體力學(xué)中的歐拉彈性線、歐拉臨界載荷;復(fù)數(shù)中的歐拉公式();描述剛體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的歐拉角;拓?fù)渲衅矫鎴D形的歐拉公式(面數(shù)-邊數(shù)+節(jié)點(diǎn)數(shù)=2);關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)求和的歐拉常數(shù);在變分學(xué)中求泛函極值的歐拉方程;近似以數(shù)值求解常微分方程的歐拉折線法;在計(jì)算不定積分中的歐拉積分與歐拉變換;在常微分方程中一種可積的歐拉方程即方程等等不一而足。
歐拉是一位多產(chǎn)的科學(xué)家,他一生寫過(guò)800多篇論文。他對(duì)力學(xué)的貢獻(xiàn)反映在1736年出版的他的《力學(xué)或運(yùn)動(dòng)科學(xué)的分析解說(shuō)》(兩卷本)和1765年出版的《剛體運(yùn)動(dòng)理論》兩部書以及其他一系列論文中。歐拉在剛體力學(xué)中的主要貢獻(xiàn)是關(guān)于剛體繞固定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一般方程的建立,剛體繞固定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一種可積情形的求解以及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的一些定理。在剛體的一般運(yùn)動(dòng)中,可以分解為剛體的質(zhì)心在外力合力的作用下的運(yùn)動(dòng),以及在外力對(duì)質(zhì)心的矩的作用下剛體繞這點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。
1760年,歐拉首先引進(jìn)了歐拉角來(lái)描述剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。歐拉在轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上取一個(gè)坐標(biāo)系與空間的固定坐標(biāo)系Oxyz,兩個(gè)坐標(biāo)系具有共同的原點(diǎn)O。令平面與Oxy平面的交線為ON,則規(guī)定軸與z軸的夾角為,x軸與ON之間的夾角為,ON與軸之間的夾角為。這三個(gè)角給定了則唯一地確定了剛體的位置,它們分別被稱為章動(dòng)角、進(jìn)動(dòng)角和自轉(zhuǎn)角,合起來(lái)稱為歐拉角。隨后,歐拉給出了剛體繞固定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一般方程。設(shè)A,B,C分別為剛體對(duì)伴隨坐標(biāo)系三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,為角速度向量,其在伴隨坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量為p,q,r,則描述剛體繞固定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的歐拉方程是
方程的右端項(xiàng)是作用在剛體上的力對(duì)固定點(diǎn)的合力矩在伴隨坐標(biāo)系的三個(gè)分量。歐拉得到的描述剛體運(yùn)動(dòng)的方程,是很難求解的,特別是要通過(guò)簡(jiǎn)單的積分便得到解更加困難。迄今為止,只得到三種可積情形。而且能夠證明,這組方程的可積情形也僅僅有這三種。第一種情形是歐拉自己于1765年找到的,發(fā)表在他的《剛體運(yùn)動(dòng)理論》中,也稱為歐拉情形。是當(dāng)外力矩為零時(shí),剛體自由運(yùn)動(dòng)的情形。第二種情形是1788年由拉格朗日找到的。這種情形是剛體對(duì)固定點(diǎn)O的慣性橢球是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球,即A=B,而C與它們不等,并且剛體受重力作用,重心位于慣性橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。歐拉與拉格朗日的可積情形找到后,一直沉默了100年,一直到1888年才由俄羅斯女?dāng)?shù)學(xué)家索菲亞·科瓦列夫斯卡婭(СофияВасильевнаКовалевская,1850,1,15-1891,2,10)找到了最后第三個(gè)可積情形,并且給出了解。這種情形是當(dāng)A=B=2C時(shí),而且剛體的重心位于回轉(zhuǎn)慣性橢球的赤道平面上。
索菲亞由于得到了這個(gè)可積情形,獲得了法蘭西科學(xué)院的鮑羅丁獎(jiǎng)。這項(xiàng)獎(jiǎng)金本來(lái)是3000法蘭,但由于索菲亞的這項(xiàng)成就的不尋常,裁判將獎(jiǎng)金提高為5000法蘭。同時(shí)由于這項(xiàng)殊榮,她被選為瑞典科學(xué)院與俄國(guó)科學(xué)院的的院士。索菲亞的才能是多方面的,她不僅從事數(shù)學(xué)、力學(xué)的研究,而且還出版過(guò)小說(shuō)。索菲亞·科瓦列夫斯卡婭
СофияВасильевнаКовалевская
1850-1891ThefirstUnitedStates,ExplorerIwaslaunchedonFebruary1,1958.Thetotalweightofthesatellitewas13.97kilograms,ofwhich8.3kgwereinstrumentation.IncomparisonthefirstSovietsatelliteSputnik1weighted83.6kg,spinningarounditslongaxisat750revolutionsperminute.Tothesurpriseofmissionexperts,satelliteExplorer1changedrotationaxisafterlaunch.Theelongatedbodyofthespacecrafthadbeensupposedtospinaboutitslong(least-inertia)axisbutrefusedtodoso,andinsteadprecessingduetoenergydissipationfromflexiblestructuralelements.Lateritwasunderstoodthatongeneralgrounds,thebodyendsupinthespinstatethatminimizesthekineticrotationalenergy(thisbeingthemaximal-inertiaaxis).ThismotivatedthefirstfurtherdevelopmentoftheEuleriantheoryofrigidbodydynamicsafternearly200years-toaddressthiskindofenergyandmomentumdissipation.PeterLikinsMostofourcostlymistakesaretheresultsofconceptualdeficienciesreflectedininadequatemathematicalmodelsofphysicalsystems,notinimproperapplicationsofphysicallawsormathematicalmethods.-----過(guò)去曾經(jīng)發(fā)生的付出昂貴代價(jià)的失誤,往往是由于我們對(duì)力學(xué)系統(tǒng)沒(méi)有建立合理的數(shù)學(xué)模型,而不是因?yàn)榱W(xué)原理和數(shù)學(xué)方法本身的應(yīng)用問(wèn)題。1957年蘇聯(lián)發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星,開(kāi)創(chuàng)了人類航天的新紀(jì)元,從此人類跨進(jìn)了空間時(shí)代。五十多年以來(lái),航天技術(shù)以驚人的速度發(fā)展并日臻完善,到目前為止,世界各國(guó)已經(jīng)發(fā)射了5000多顆空間飛行器,并實(shí)現(xiàn)了登月的夢(mèng)想了5000多顆空間飛行器,并實(shí)現(xiàn)了登月的夢(mèng)想。自第一顆人造地球衛(wèi)星以來(lái),航天器經(jīng)歷了由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由低級(jí)到高級(jí)的發(fā)展歷程。衛(wèi)星的結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜化,運(yùn)動(dòng)因素復(fù)雜多樣,控制要求也大幅度提高。相應(yīng)地,在各個(gè)不同發(fā)展階段航天器動(dòng)力學(xué)也呈現(xiàn)出不同的特點(diǎn),具體體現(xiàn)為從剛體模型到準(zhǔn)剛體模型再到剛—彈—液耦合模型的演變過(guò)程。李亞普諾夫與運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性
李亞普諾夫(АлександрМихаиловичЛяпунов,1857-1918)是俄國(guó)的力學(xué)家和數(shù)學(xué)家。他于1876年進(jìn)彼得堡大學(xué)學(xué)習(xí),大學(xué)期間曾以論文《重體在水中的平衡》一文獲金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)隆?880年畢業(yè)后留校任教,1892年被聘為教授,1901年成為彼得堡科學(xué)院院士。他1892年提交的博士論文《運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性一般問(wèn)題》在俄羅斯力學(xué)家茹可夫斯基等參加答辯后在1893年通過(guò)了莫斯科大學(xué)的博士學(xué)位。關(guān)于平衡與運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的問(wèn)題,從古代起一直是人們所關(guān)心的問(wèn)題。到18世紀(jì),由于天體力學(xué)的發(fā)展,人們又普遍關(guān)心太陽(yáng)系的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題。但是這個(gè)問(wèn)題的提法一直是含混不清的,因之一直沒(méi)有解決。李亞普諾夫在他的博士論文中,不僅給出了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的嚴(yán)格定義,而且還給出了兩種嚴(yán)格的判定方法。這個(gè)定義與判定方法至今仍是運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究領(lǐng)域的主要內(nèi)容。它在天文學(xué)、微分方程、控制論等領(lǐng)域內(nèi)一直是關(guān)鍵問(wèn)題之一。
李亞普諾夫關(guān)于運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的定義可以簡(jiǎn)述如下:設(shè)給定動(dòng)力系統(tǒng),其中都是維向量。若在初始條件之下的解為,在另一初始條件之下的解為。我們定義在時(shí)刻這兩個(gè)解的距離為對(duì)于時(shí)刻顯然有如果對(duì)于任意的都有,當(dāng)時(shí),恒有,則稱運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的,也稱為李亞普諾夫穩(wěn)定的。李亞普諾夫在給了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的定義之后,還給出了兩個(gè)關(guān)于穩(wěn)定性的判別方法。其第一方法是對(duì)于右端不顯含時(shí)間時(shí),將運(yùn)動(dòng)方程的右端線性化,得到一個(gè)
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