2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題24相似模型之（雙）A字型與（雙）8字型模型解讀與提分精練（全國版）

專題24相似模型之（雙）A字型與（雙）8字型模型相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣，分析圖形間的關(guān)系離不開數(shù)量的計(jì)算。相似和勾股是產(chǎn)生等式的主要依據(jù)（其他依據(jù)還有面積法，三角函數(shù)等），因此要掌握相似三角形的基本圖形，體會其各種演變和聯(lián)系。相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的常考題型。本專題重點(diǎn)講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.“A”字模型 1模型2.“X”字模型（“8”字模型） 4模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 6 10【知識儲備】A字型和8（X）字型的應(yīng)用難點(diǎn)在于過分割點(diǎn)（將線段分割的點(diǎn)）作平行線構(gòu)造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線（倍長中線就可以理解為一種間接作平行線），這一點(diǎn)在?？贾袩o論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點(diǎn)）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應(yīng)角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例，就可以判定這兩個三角形相似。①“A”字模型②反“A”字模型③同向雙“A”字模型④內(nèi)接矩形模型圖1圖2圖3圖4①“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。證明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。②反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC)。證明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角）∴△ADE∽△ACB，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC)。③同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?。證明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC，同理可證：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。④內(nèi)接矩形模型條件：如圖4，△ABC的內(nèi)接矩形DEFG的邊EF在BC邊上，D、G分別在AB、AC邊上，且AM⊥BC；結(jié)論：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM?。證明:∵DEFG是矩形∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC，同理可證：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。例1．（2024·吉林長春·三模）如圖，在中，點(diǎn)、為邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、在邊上，，交于點(diǎn)．若，則的長為．例2．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)，在上，點(diǎn)，分別在和邊上，且邊上的高，，則正方形的面積為．例3．（2024·湖南永州·模擬預(yù)測）如圖：中，，，，把邊長分別為，，，…的n個正方形依次放在中；第一個正方形的頂點(diǎn)分別放在的各邊上；第二個正方形的頂點(diǎn)分別放在的各邊上，其他正方形依次放入，則第2024個正方形的邊長為．例4．（2024·山東·中考真題）如圖，點(diǎn)為的對角線上一點(diǎn)，，，連接并延長至點(diǎn)，使得，連接，則為（

）A． B．3 C． D．4例5．（23-24九年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，，垂足為，，垂足為，與相交于點(diǎn)，(1)判斷與是相似三角形嗎？請說明理由；(2)連接，求證：；(3)若，，，求的長．模型2.“X”字模型（“8”字模型）“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．①“8”字模型②反“8”字模型③平行雙“8”字模型④斜雙“8”字模型圖1圖2圖3圖4①“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD)。證明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD)。②反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC)。證明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（對頂角）∴△AOB∽△DOC，∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC)。③平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：。證明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO，同理可證：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。④斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4。證明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（對頂角），∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO；∵∠AOB=∠DOC（對頂角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。例1．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上一點(diǎn)．連接．若，則的值為．例2.（23-24九年級上·浙江杭州·期中）如圖，與交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)，．（1）求證：．（2）若，求．例3．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，菱形的邊長為6，，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，連結(jié)分別交，于點(diǎn)，，則的長為．例4．（23-24九年級上·安徽蚌埠·期中）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個交點(diǎn)稱為三角形的重心．(1)特例感知：如圖一，已知邊長為3的等邊的重心為點(diǎn)O，求與的面積；(2)性質(zhì)探究：如圖二，已知的重心為點(diǎn)O，請判斷、是否都為定值？如果是，分別求出這兩個定值；如果不是，請說明理由；(3)性質(zhì)應(yīng)用：如圖三，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接BE交對角線AC于點(diǎn)M．若正方形ABCD的邊長為4，求EM的長度；若，求正方形ABCD的面積

模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）①一“A”+“8”模型②兩“A”+“8”模型（反向雙“A”字模型）③四“A”+“8”模型圖1圖2圖3①一“A”+“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，?。證明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)?！逥E∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴?！唷＂趦伞癆”+“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結(jié)論：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，?。證明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴?！逥E∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。兩式相加得到：，即，故。③四“A”+“8”模型3條件：如圖3，DE∥GF∥BC；結(jié)論：AF=AG，。證明:同②中的證法，易證：，，∴，即AF=AG，故。例1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，點(diǎn)D為邊上任一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接相交于點(diǎn)F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．例2．（2023·安徽·三模）如圖，已知、，與相交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則值為（

）

A． B． C． D．例3．（2024·湖北·模擬預(yù)測）（1）【問題背景】如圖1，，與相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上．求證：；

小雅同學(xué)的想法是將結(jié)論轉(zhuǎn)化為來證明，請你按照小雅的思路完成原題的證明過程．（2）【類比探究】如圖2，，，，與相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H在上，．求證：．（3）【拓展運(yùn)用】如圖3，在四邊形中，，連接，交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，若，，直接寫出的長．例4．（2024·江蘇泰州·三模）綜合與實(shí)踐在初中物理學(xué)中，凸透鏡成像原理與相似三角形有密切的聯(lián)系．請耐心閱讀以下材料：【光學(xué)模型】如圖1，通過凸透鏡光心的光線，其傳播方向不變，經(jīng)過焦點(diǎn)的光線經(jīng)凸透鏡折射后平行于主光軸沿射出，與光線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作主光軸的垂線段，垂足為，即可得出物體所成的像．【模型驗(yàn)證】設(shè)焦點(diǎn)到光心的距離稱為焦距，記為；物體到光心的距離稱為物距，記為；像到光心的距離稱為像距，記為．已知，，當(dāng)時，求證：．證明：∵，，∴又∵，∴，∴，即，同理可得，∴，即①，∴②，∴，∴，即．請結(jié)合上述材料，解決以下問題：(1)請補(bǔ)充上述證明過程中①②所缺的內(nèi)容(用含的代數(shù)式表示)；(2)若該凸透鏡的焦距為20，物體距凸透鏡的距離為30，物高為10，則物體所成的像的高度為__________；(3)如圖2，由物理學(xué)知識知“經(jīng)過點(diǎn)且平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后經(jīng)過點(diǎn)”，小明在做凸透鏡成像實(shí)驗(yàn)時，不斷改變物距發(fā)現(xiàn)光線始終經(jīng)過主光軸上一定點(diǎn)．若該凸透鏡的焦距為20，物高為10，試說明這一物理現(xiàn)象．1．（2024·浙江溫州·三模）如圖，在中，平分分別交，，延長線于點(diǎn)，，，記與的面積分別為，，若，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽合肥·三模）如圖，已知四邊形是平行四邊形，點(diǎn)是AD的中點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn)，過作AD的平行線交AB于點(diǎn)，若，則的值是（

）A．6 B．5 C．8 D．43．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)．若，，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．C．D．4．（2024九年級下·廣東·專題練習(xí)）如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，交于點(diǎn)N，則的長為（）A．15 B．20 C．25 D．305．（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測）如圖，在中，E線段上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)D．若的面積為，則的面積為（

）

A． B． C． D．6．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，是上的點(diǎn)，連接交對角線于點(diǎn)，若，，則的值為（

）A． B． C．2 D．1．57．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，對角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F．若，則的長為（

）A． B．1 C． D．28．（2024·山東威海·中考真題）如圖，在中，對角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接，，，交于點(diǎn)．下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，則9．（2024·陜西西安·一模）如圖，在中，D，M是邊的三等分點(diǎn)，N，E是邊的三等分點(diǎn)．連接并延長與的延長線相交于點(diǎn)P．若，則線段的長為（）A．5 B．7 C．6 D．810．（2024·江蘇南京·一模）如圖，，分別垂直，垂足分別為，，連接，交于點(diǎn)，作，垂足為．設(shè)，，，若，則下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③11．（2024·陜西·中考真題）如圖，正方形的頂點(diǎn)G在正方形的邊上，與交于點(diǎn)H，若，，則的長為（

）A．2 B．3 C． D．12．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，，，，，點(diǎn)D，E分別在邊上，，連接，將沿翻折，得到，連接，．若的面積是面積的2倍，則．13．（2024·云南·中考真題）如圖，與交于點(diǎn)，且．若，則．

14．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，E、F分別是邊上的動點(diǎn)，且．當(dāng)?shù)闹底钚r，則．

15．（23-24九年級上·河南駐馬店·期中）如圖，，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，若，則．16．（2023·吉林長春·統(tǒng)考三模）【閱讀理解】構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點(diǎn)問題．例如：如圖，是邊上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則易證是線段的中點(diǎn)．【經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用】請運(yùn)用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問題．

（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，且滿足，連接交于點(diǎn)．求證：①是的中點(diǎn)；②CG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是：____________________________；【拓展延伸】（2）如圖2，在矩形中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，且滿足，連接交于點(diǎn)．探究和之間的數(shù)量關(guān)系是：____________________________；17．（2024·遼寧大連·二模）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動課上，李老師給出如下問題：如圖1，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的一個三等分點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)，求證：．①如圖2，小鵬同學(xué)利用“三角形中位線的性質(zhì)”的解題經(jīng)驗(yàn)，取的中點(diǎn)，連接，再通過“全等三角形的性質(zhì)”解決問題；②如圖3，小亮同學(xué)利用“三角形相似的性質(zhì)”的解題經(jīng)驗(yàn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，再通過“全等三角形的性質(zhì)”解決問題．請你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程．【類比分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將證明三角形線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為我們熟悉的角度去理解．為了幫助同學(xué)們更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，李老師又提出了一個問題，請你解答：如圖4，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)，，與分別交于點(diǎn)，，求的值．【學(xué)以致用】（3）如圖5，在中，，在射線上取點(diǎn)，使，連接，在上取點(diǎn)，射線，相交于點(diǎn)，當(dāng)時，求的值．18．（2023·湖北隨州·模擬預(yù)測）[初步嘗試]（1）如圖①，在三角形紙片中，，將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為，則與的數(shù)量關(guān)系為________；[思考說理]（2）如圖②，在三角形紙片中，，將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為，求的值；[拓展延伸]（3）如圖③，在三角形紙片中，，將沿過頂點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．①求線段的長；②若點(diǎn)O是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的一個動點(diǎn)，將沿折疊得到點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)與交于點(diǎn)F，求的取值范圍．19．（2024·江蘇泰州·二模）圖算法是根據(jù)幾何原理，將某一已知函數(shù)關(guān)系式中的各變量，分別編成有刻度的直線（或曲線），并把它們按一定的規(guī)律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數(shù)式中的未知量，這樣的圖形叫諾模圖．設(shè)有兩只電阻，千歐，千歐，問并聯(lián)后的總電阻值R是多少千歐？我們可以利用公式求得R的值，也可以設(shè)計(jì)一種圖算法（如圖1）直接得出結(jié)果：我們先來畫出一個的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長度進(jìn)行刻度，這樣就制好了一張算圖．我們只要把角的兩邊刻著6和4的兩點(diǎn)連成一條直線，這條直線與角平分線的交點(diǎn)的刻度值就是并聯(lián)后的總電阻值R．

(1)①千歐，千歐，計(jì)算千歐；②如圖1，已知，是的角平分線，，，．用你所學(xué)的幾何知識說明：；(2)如圖2，已知，是的角平分線，，，．此時關(guān)系式可以寫成，其中的常數(shù)，求m的值；(3)如圖3，若，（2）中其余條件不變，請?zhí)剿鳎?，R之間的關(guān)系．（用含的代數(shù)式表示）20．（2024·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖（1），在矩形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，，求證：．問題探究：如圖（2），在四邊形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，與交于點(diǎn)，求證：．問題拓展：如圖（3），在“問題探究”的條件下，連接，，，直接寫出的值．

專題24相似模型之（雙）A字型與（雙）8字型模型相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣，分析圖形間的關(guān)系離不開數(shù)量的計(jì)算。相似和勾股是產(chǎn)生等式的主要依據(jù)（其他依據(jù)還有面積法，三角函數(shù)等），因此要掌握相似三角形的基本圖形，體會其各種演變和聯(lián)系。相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的常考題型。本專題重點(diǎn)講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.“A”字模型 1模型2.“X”字模型（“8”字模型） 6模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 10 16【知識儲備】A字型和8（X）字型的應(yīng)用難點(diǎn)在于過分割點(diǎn)（將線段分割的點(diǎn)）作平行線構(gòu)造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線（倍長中線就可以理解為一種間接作平行線），這一點(diǎn)在?？贾袩o論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點(diǎn)）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應(yīng)角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例，就可以判定這兩個三角形相似。①“A”字模型②反“A”字模型③同向雙“A”字模型④內(nèi)接矩形模型圖1圖2圖3圖4①“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。證明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。②反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC)。證明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角）∴△ADE∽△ACB，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC)。③同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?。證明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC，同理可證：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。④內(nèi)接矩形模型條件：如圖4，△ABC的內(nèi)接矩形DEFG的邊EF在BC邊上，D、G分別在AB、AC邊上，且AM⊥BC；結(jié)論：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM?。證明:∵DEFG是矩形∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC，同理可證：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。例1．（2024·吉林長春·三模）如圖，在中，點(diǎn)、為邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、在邊上，，交于點(diǎn)．若，則的長為．【答案】【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用平行線的性質(zhì)得到，利用相似三角形的性質(zhì)求得的長度，利用平行線分線段成比例定理求得，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【詳解】點(diǎn)，為邊的三等分點(diǎn)，，，，，，點(diǎn)，為邊的三等分點(diǎn)，，點(diǎn)，為邊的三等分點(diǎn)，，，，，．故答案為：例2．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)，在上，點(diǎn)，分別在和邊上，且邊上的高，，則正方形的面積為．【答案】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，線段的和與差等知識．解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例表示出相應(yīng)線段列方程．根據(jù)三角形相似，找到對應(yīng)線段成比例列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為，則，∵四邊形是正方形，，，，，，，，，解得：，正方形的面積為故答案為：例3．（2024·湖南永州·模擬預(yù)測）如圖：中，，，，把邊長分別為，，，…的n個正方形依次放在中；第一個正方形的頂點(diǎn)分別放在的各邊上；第二個正方形的頂點(diǎn)分別放在的各邊上，其他正方形依次放入，則第2024個正方形的邊長為．【答案】/【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，圖形類的規(guī)律型問題．先由正方形的性質(zhì)得到，，則，，即可推出，即，從而求出，同理可證，得到，即，推出，即可得到規(guī)律可推出第n個正方形的邊長，由此即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，即，∴，∴，同理可證，∴，即，∴，同理可求得，∴可以推出第n個正方形的邊長為，∴第2024個正方形的邊長為，故答案為：．例4．（2024·山東·中考真題）如圖，點(diǎn)為的對角線上一點(diǎn)，，，連接并延長至點(diǎn)，使得，連接，則為（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識點(diǎn)，正確作輔助線是解題關(guān)鍵．作輔助線如圖，由平行正相似先證，再證，即可求得結(jié)果．【詳解】解：延長和，交于點(diǎn)，∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∵，，∴，∴，∴∴，∴，∴；∵，∴．故選：B．例5．（23-24九年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，，垂足為，，垂足為，與相交于點(diǎn)，(1)判斷與是相似三角形嗎？請說明理由；(2)連接，求證：；(3)若，，，求的長．【答案】(1)，理由見解析；(2)證明見解析；(3)．【分析】（）由垂直的定義得到，再利用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可求解；（）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定定理即可得到求證；（）利用等腰三角形的“三線合一”定理可得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出長，最后代入，解方程即可；本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，能熟練地運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1），理由如下，∵，，∴，∵，，∴；（2）由（）得，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）∵，，∴，∴，∴，由（）得，∵，∴，∵，∴，∴．模型2.“X”字模型（“8”字模型）“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．①“8”字模型②反“8”字模型③平行雙“8”字模型④斜雙“8”字模型圖1圖2圖3圖4①“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD)。證明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD)。②反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC)。證明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（對頂角）∴△AOB∽△DOC，∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC)。③平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：。證明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO，同理可證：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。④斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4。證明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（對頂角），∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO；∵∠AOB=∠DOC（對頂角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。例1．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上一點(diǎn)．連接．若，則的值為．【答案】【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，先由正方形的性質(zhì)得到，，再證明，進(jìn)而可證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，即．【詳解】解：∵正方形的對角線相交于點(diǎn)O，∴，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案為：．例2.（23-24九年級上·浙江杭州·期中）如圖，與交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)，．（1）求證：．（2）若，求．【答案】（1）見解析；（2）【分析】(1)證明△OAB∽△ODC，可得出結(jié)論；(2)證得AB//CD，可得，則可得結(jié)果.【詳解】證明：（1）．，．（2）【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟悉并靈活運(yùn)用以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，菱形的邊長為6，，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，連結(jié)分別交，于點(diǎn)，，則的長為．【答案】/【分析】此題考查菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，然后勾股定理求出，，然后證明出，得到，求出，然后證明出，得到，求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：菱形的邊長為6，，，，，，，，在中，，，，，，，在中，，，，，，，，，，．故答案為：．例4．（23-24九年級上·安徽蚌埠·期中）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個交點(diǎn)稱為三角形的重心．(1)特例感知：如圖一，已知邊長為3的等邊的重心為點(diǎn)O，求與的面積；(2)性質(zhì)探究：如圖二，已知的重心為點(diǎn)O，請判斷、是否都為定值？如果是，分別求出這兩個定值；如果不是，請說明理由；(3)性質(zhì)應(yīng)用：如圖三，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接BE交對角線AC于點(diǎn)M．若正方形ABCD的邊長為4，求EM的長度；若，求正方形ABCD的面積

【答案】(1)(2)是定值；是定值；詳見解析(3)①；②【分析】（1）連接，可證，可推出，即可求解；（2）由（1）中結(jié)論即可求解；（3）①證即可求解；②根據(jù)求出即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接由題意可知：為的中位線∴∴

∴由題意得：∴∴，；（2）解：由（1）同理可得，是定值；∵∴故點(diǎn)到的距離和點(diǎn)到的距離之比也為的底相等故，是定值；（3）解：四邊形ABCD是正方形，，，，，為CD的中點(diǎn)，，，，，即；，且，，，，，，正方形ABCD的面積為：．【點(diǎn)睛】本題以三角形重心為背景，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)．掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）①一“A”+“8”模型②兩“A”+“8”模型（反向雙“A”字模型）③四“A”+“8”模型圖1圖2圖3①一“A”+“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，?。證明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴?！?。②兩“A”+“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結(jié)論：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，?。證明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴?！逥E∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。兩式相加得到：，即，故。③四“A”+“8”模型3條件：如圖3，DE∥GF∥BC；結(jié)論：AF=AG，。證明:同②中的證法，易證：，，∴，即AF=AG，故。例1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，點(diǎn)D為邊上任一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接相交于點(diǎn)F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷A，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷B、C、D．【詳解】解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合題意；∴，，故B不符合題意，C符合題意；∴，故D不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·安徽·三模）如圖，已知、，與相交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】證明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．【詳解】解：、，，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，∴，，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定，求出．例3．（2024·湖北·模擬預(yù)測）（1）【問題背景】如圖1，，與相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上．求證：；

小雅同學(xué)的想法是將結(jié)論轉(zhuǎn)化為來證明，請你按照小雅的思路完成原題的證明過程．（2）【類比探究】如圖2，，，，與相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H在上，．求證：．（3）【拓展運(yùn)用】如圖3，在四邊形中，，連接，交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，若，，直接寫出的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）由，可證，則，同理可得：，則，兩邊同時除以，可得．（2）由，，，，可得，，證明，則，同理，，則，兩邊同時除以得，，進(jìn)而可得；（3）由（1）可知，，，則，解得，，則，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴．同理可得：，∴，兩邊同時除以，得．（2）證明：∵，，，，∴，，∵，∴，∴，同理，，∴，∴，兩邊同時除以得，，∴；（3）解：由（1）可知，，，∴，解得，，∴，解得，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等式的性質(zhì)，平行線的判定．解題的關(guān)鍵在于明確相似三角形的判定條件．例4．（2024·江蘇泰州·三模）綜合與實(shí)踐在初中物理學(xué)中，凸透鏡成像原理與相似三角形有密切的聯(lián)系．請耐心閱讀以下材料：【光學(xué)模型】如圖1，通過凸透鏡光心的光線，其傳播方向不變，經(jīng)過焦點(diǎn)的光線經(jīng)凸透鏡折射后平行于主光軸沿射出，與光線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作主光軸的垂線段，垂足為，即可得出物體所成的像．【模型驗(yàn)證】設(shè)焦點(diǎn)到光心的距離稱為焦距，記為；物體到光心的距離稱為物距，記為；像到光心的距離稱為像距，記為．已知，，當(dāng)時，求證：．證明：∵，，∴又∵，∴，∴，即，同理可得，∴，即①，∴②，∴，∴，即．請結(jié)合上述材料，解決以下問題：(1)請補(bǔ)充上述證明過程中①②所缺的內(nèi)容(用含的代數(shù)式表示)；(2)若該凸透鏡的焦距為20，物體距凸透鏡的距離為30，物高為10，則物體所成的像的高度為__________；(3)如圖2，由物理學(xué)知識知“經(jīng)過點(diǎn)且平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后經(jīng)過點(diǎn)”，小明在做凸透鏡成像實(shí)驗(yàn)時，不斷改變物距發(fā)現(xiàn)光線始終經(jīng)過主光軸上一定點(diǎn)．若該凸透鏡的焦距為20，物高為10，試說明這一物理現(xiàn)象．【答案】(1)①②(2)20(3)見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，理解題意，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）分別證明，，由相似三角形的性質(zhì)可得，整理可得，等號兩邊同時除以，即可獲得答案；（2）結(jié)合（1），首先解得，結(jié)合，代入數(shù)值求解即可；（3）設(shè)與交于點(diǎn)，證明四邊形為矩形，易得，再證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合（1）可得，等號兩邊同時加1，整理可得，結(jié)合可得出，即可說明這一物理現(xiàn)象．【詳解】（1）證明：∵，，∴又∵，∴，∴，即，同理可得，∴，即，∴，∴，∴，即．故答案為：①；②；（2）由（1）可知，，，當(dāng)，，時，可得，解得，∴可有，解得，即物體所成的像的高度為．故答案為：20；（3）如下圖，設(shè)與交于點(diǎn)，根據(jù)題意，，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∴，即，由（1）可知，，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴小明在做凸透鏡成像實(shí)驗(yàn)時，不斷改變物距，光線始終經(jīng)過主光軸上一定點(diǎn)，該定點(diǎn)透鏡為焦點(diǎn)．1．（2024·浙江溫州·三模）如圖，在中，平分分別交，，延長線于點(diǎn)，，，記與的面積分別為，，若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義得出，推出，設(shè)，，則，，，證明，得出，證明，得出，推出，，從而得出，，求出得到，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴設(shè)，，則，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，∴，∴，即，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，正確表示出三角形之間的面積關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．2．（2024·安徽合肥·三模）如圖，已知四邊形是平行四邊形，點(diǎn)是AD的中點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn)，過作AD的平行線交AB于點(diǎn)，若，則的值是（

）A．6 B．5 C．8 D．4【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，形似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)即可得解，由四邊形是平行四邊形，得，在證明，，利用相似三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：∵是AD的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，，∴，，∴，解得，故選：．3．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)．若，，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查角平分線的尺規(guī)作圖、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及相似性質(zhì)與判定的綜合．先由作圖得到為的角平分，利用平行線證明，從而得到，再利用平行四邊形的性質(zhì)得到，再證明，分別求出，，則各選項(xiàng)可以判定．【詳解】解：由作圖可知，為的角平分，∴，故A正確；∵四邊形為平行四邊形，∴，∵∴，∴，∴，∴，故B正確；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，故D錯誤；∵，∴，故C正確，故選：D．4．（2024九年級下·廣東·專題練習(xí)）如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，交于點(diǎn)N，則的長為（）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，證明相似三角形是解題的關(guān)鍵．設(shè)正方形的邊長,先證明四邊形是矩形，則，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得解．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長，∵四邊形是正方形，，，，∵是的高，，∴四邊形是矩形，，，（相似三角形對應(yīng)邊上的高的比等于相似比），，，，解得：，．故選：B．5．（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測）如圖，在中，E線段上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)D．若的面積為，則的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查相似三角形判定與性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由，得，則，證明，則，即，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，即，解得，，∴的面積為，故選：C．6．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，是上的點(diǎn)，連接交對角線于點(diǎn)，若，，則的值為（

）A． B． C．2 D．1．5【答案】A【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，先由矩形的性質(zhì)得到，，再解直角三角形得到，，證明，即可得到．【詳解】解：設(shè)，四邊形是矩形，，，，∴，，，，，，∴，，故選：．7．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，對角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F．若，則的長為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用平行四邊形的性質(zhì)、線段中點(diǎn)定義可得出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解∶∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，即，∴，故選：B．8．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在中，對角線，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接，，，交于點(diǎn)．下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可判斷A，根據(jù)題意可得四邊形是的角平分線，進(jìn)而判斷四邊形是菱形，證明可得則垂直平分，即可判斷B選項(xiàng)，證明四邊形是菱形，即可判斷C選項(xiàng)，D選項(xiàng)給的條件，若加上，則成立，據(jù)此，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴A.若，即，又，∴∴∴，故A選項(xiàng)正確，B.若，，，∴是的角平分線，∴∵∴∴∴∴四邊形是菱形，∴在中，∴∴又∵∴∴，故B選項(xiàng)正確，C.∵，∴∵，∴∴∴∴四邊形是菱形，∴，又∵∴，∵，∴垂直平分，∴∴，故C選項(xiàng)正確；D.若，則四邊形是菱形，由，且時，可得垂直平分，∵∴，故D選項(xiàng)不正確故選：D．9．（2024·陜西西安·一模）如圖，在中，D，M是邊的三等分點(diǎn)，N，E是邊的三等分點(diǎn)．連接并延長與的延長線相交于點(diǎn)P．若，則線段的長為（）A．5 B．7 C．6 D．8【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線是解題的關(guān)鍵．證明，則，證明，則，是的中位線，根據(jù)，求解作答即可．【詳解】解：由題意知，，，∵，，∴，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴是的中位線，∴，故選：D．10．（2024·江蘇南京·一模）如圖，，分別垂直，垂足分別為，，連接，交于點(diǎn)，作，垂足為．設(shè)，，，若，則下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)、等式的性質(zhì)、乘法公式等知識．由，，，，則，，所以，，則，所以，則，，由，得，所以，則，可判斷①符合題意；由得，因?yàn)椴灰欢ǖ扔?，所以與不一定相等，可判斷②不符合題意；由，且，得，可判斷③符合題意，于是得到問題的答案．【詳解】解：，，，，，，∴，，，，，，，，，，，，，故①符合題意；由得，與不一定相等，不一定等于，與不一定相等，故②不符合題意；，且，，故③符合題意，故選：B．11．（2024·陜西·中考真題）如圖，正方形的頂點(diǎn)G在正方形的邊上，與交于點(diǎn)H，若，，則的長為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵正方形，，∴，∵正方形，，∴，∴，由題意得，∴，∴，即，解得，故選：B．12．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，，，，，點(diǎn)D，E分別在邊上，，連接，將沿翻折，得到，連接，．若的面積是面積的2倍，則．【答案】/【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式等知識，是綜合性強(qiáng)的填空壓軸題，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．設(shè)，，根據(jù)折疊性質(zhì)得，，過E作于H，設(shè)與相交于M，證明得到，進(jìn)而得到，，證明是等腰直角三角形得到，可得，證明得到，則，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可．【詳解】解：∵，∴設(shè)，，∵沿翻折，得到，∴，，過E作于H，設(shè)與相交于M，則，又，∴，∴，∵，，，∴，∴，，則，∴是等腰直角三角形，∴，則，∴，在和中，，∴，∴，，∴，，∵的面積是面積的2倍，∴，則，解得，（舍去），即，故答案為：．13．（2024·云南·中考真題）如圖，與交于點(diǎn)，且．若，則．

【答案】/0.5【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，證明，根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比，即可解題．【詳解】解：，，，故答案為：．14．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，E、F分別是邊上的動點(diǎn)，且．當(dāng)?shù)闹底钚r，則．

【答案】【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．延長，截取，連接，，證明，得出，說明當(dāng)最小時，最小，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出當(dāng)A、E、G三點(diǎn)共線時，最小，即最小，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：延長，截取，連接，，如圖所示：

∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴當(dāng)最小時，最小，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)A、E、G三點(diǎn)共線時，最小，即最小，且最小值為的長，∵，∴，∴，即，解得．故答案為：．15．（23-24九年級上·河南駐馬店·期中）如圖，，點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，若，則．【答案】/0.25【分析】證明，據(jù)相似三角形的性質(zhì)用表示出，同理用表示出，計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．16．（2023·吉林長春·統(tǒng)考三模）【閱讀理解】構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點(diǎn)問題．例如：如圖，是邊上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則易證是線段的中點(diǎn)．【經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用】請運(yùn)用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問題．

（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，且滿足，連接交于點(diǎn)．求證：①是的中點(diǎn)；②CG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是：____________________________；【拓展延伸】（2）如圖2，在矩形中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，且滿足，連接交于點(diǎn)．探究和之間的數(shù)量關(guān)系是：____________________________；【答案】（1）①見解析②（2）【分析】（1）①過點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明，得出即可；②由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，由平行線得出，證出，由全等三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；（2）作交于點(diǎn)，由三角函數(shù)證出，得出，證，得出，，設(shè)，則，求出，則，得出，即可得出結(jié)果．【詳解】解：證明：①過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖1所示：

四邊形是正方形，，，，，，，，，，，在和中，，，，是的中點(diǎn)；②在中，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，即．（2）解：和之間的數(shù)量關(guān)系為：；理由如下：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖2所示：四邊形是矩形，，，，在和中，，，，，，，，，，在和中，，，，，設(shè)，則，在中，，，，即，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；作輔助線構(gòu)建全等三角形與相似三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2024·遼寧大連·二模）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動課上，李老師給出如下問題：如圖1，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的一個三等分點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)，求證：．①如圖2，小鵬同學(xué)利用“三角形中位線的性質(zhì)”的解題經(jīng)驗(yàn)，取的中點(diǎn)，連接，再通過“全等三角形的性質(zhì)”解決問題；②如圖3，小亮同學(xué)利用“三角形相似的性質(zhì)”的解題經(jīng)驗(yàn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，再通過“全等三角形的性質(zhì)”解決問題．請你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程．【類比分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將證明三角形線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為我們熟悉的角度去理解．為了幫助同學(xué)們更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，李老師又提出了一個問題，請你解答：如圖4，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)，，與分別交于點(diǎn)，，求的值．【學(xué)以致用】（3）如圖5，在中，，在射線上取點(diǎn)，使，連接，在上取點(diǎn)，射線，相交于點(diǎn)，當(dāng)時，求的值．【答案】（1）詳見解析（2）（3）【分析】（1）選擇小鵬同學(xué)的解題思路．如圖1，取的中點(diǎn)，連接．得出是的中位線，根據(jù)中位線性質(zhì)定理得出，，根據(jù)平行線性質(zhì)得出，，再結(jié)合，得出，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．選擇小亮同學(xué)的解題思路．如圖2，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)平行線性質(zhì)得出，，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出．再結(jié)合，證出，根據(jù)，得出．證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．（2）如圖3，連接．根據(jù)點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)，得出．由（1）可知，即可得出是的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)得出．再證是的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)得出，，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出．（3）如圖4，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，．設(shè)，得出，即可得，證明，得出，設(shè)，則，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，即可得出，再證明，即可得出，列方程即可得出，，．根據(jù)，即可得出．【詳解】（1）選擇小鵬同學(xué)的解題思路．證明：如圖1，取的中點(diǎn)，連接．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．選擇小亮同學(xué)的解題思路．證明：如圖2，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，∴，，∴，∴．∵，∴，∴．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴．又∵，∴，∴．（2）解：如圖3，連接．∵點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)，∴．由（1）可知，∴是的中位線，∴．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴是的中位線，∴，，∴，，，∴，∴．（3）解：如圖4，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)．∵，，∴，．設(shè)，∵，∴，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴．設(shè)，則．∵，∴．又∵，∴，∴．設(shè)，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，．∵，