2025年北師版七年級數(shù)學寒假預習 第01講 冪的乘除（5個知識點+5大考點舉一反三+過關(guān)測試）

第01講冪的乘除模塊一思維導圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．掌握正整數(shù)冪的乘除法運算性質(zhì)，能用文字和符號語言正確地表述這些性質(zhì)，并能運用它們熟練地進行運算；2．運用同底數(shù)冪的乘除法法則解決一下實際問題；3．掌握用科學計數(shù)法表示較小的數(shù)。知識點1：冪的乘法運算口訣：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均為正整數(shù)，并且m>n)知識點2：冪的乘方運算口訣：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。(m,n都為正整數(shù))知識點3：積的乘方運算口訣：等于將積的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。（m,n為正整數(shù)）知識點4：冪的除法運算口訣：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均為正整數(shù)，并且m>n)；a0=1(a≠0)知識點5：科學記數(shù)法科學記數(shù)法：有了負指數(shù)冪后，絕對值小于1的數(shù)，也能寫成a10n的形式，其中n是正整數(shù)，1a10，這叫科學記數(shù)法．注：對于一個絕對值小于1的數(shù)，如果小數(shù)點后至第一個非0數(shù)字前有m個0，則10d的指數(shù)n=m+1．考點一：同底數(shù)冪的乘法運算例1.計算a2·a4(2)(4)?a2·?a【變式1-1】計算x?x4的值為（A．x5 B．x4 C．2x【變式1-2】計算a?2?a?ax=【變式1-3】計算：(1)?m??m2??m考點二：冪的乘方與積的乘方運算例2.計算：(1)?xy3??xy4?【變式2-1】計算：?3xy3【變式2-2】計算：(1)(?xy)3?(?xy)4?【變式2-3】計算：?考點三：同底數(shù)冪的除法運算例3.計算x6÷x3A．x3 B．x2 C．2【變式3-1】計算：x8÷【變式3-2】計算：?a9÷【變式3-3】計算（結(jié)果用冪的形式表示）：a?b8÷考點四：冪的逆運算例4.已知5m=4，5n=6(1)求5m+n(2)求5m?2p(3)寫出m，n，p之間的數(shù)量關(guān)系．【變式4-1】已知4m=5，8n(1)求22m+3n(2)求24m?6n(3)求122m【變式4-2】已知：5a=3，(1)求52a(2)求55a?2b【變式4-3】已知10x=3(1)求102x+3y(2)求103x?4y考點五：零指數(shù)的有關(guān)運算例5.計算：?32【變式5-1】如果m+20=1，那么m的取值范圍是（A．m>?2 B．m<?2 C．m=?2 D．m≠?2【變式5-2】計算：1【變式5-3】計算：?13

考點六：用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)例6.在科幻小說《三體》中，有一種高強度的納米材料“飛刃”．根據(jù)描述，納米材料“飛刃”的直徑約為0.000002m，則數(shù)據(jù)0.000002用科學記數(shù)法表示為（

）A．2×10?5 B．0.2×10?6 C．【變式6-1】2020年突如其來的新型冠狀病毒肺炎疫情席卷全球，我國在黨中央的堅強領(lǐng)導下，取得了抗擊疫情的巨大成就.科學研究表明，某種新型冠狀病毒顆粒的直徑約為125納米，1納米=1.0×10?9米，若用科學記數(shù)法表示125納米，則正確的結(jié)果是（A．125×10?9米 B．1.25×10?8米 C．1.25×10【變式6-2】PM2.5是指大氣中直徑小于或等于0.0000025mA．2.5×10?6 B．2.5×10?7 【變式6-3】芯片是手機、電腦等高科技產(chǎn)品的核心部件，目前我國芯片已可采用14納米工藝．已知14納米為0.000000014米，數(shù)據(jù)0.000000014用科學記數(shù)法表示為米．一、單選題1．（22-23七年級下·四川達州·期中）x+2y=4，則2x?2?2A．4 B．8 C．16 D．322．（23-24七年級下·全國·單元測試）長度單位1nm=10?9m，新冠病毒的直徑約為60--140nm，其中140nmA．1.4×10?7m B．1.4×10?8m3．22-23八年級上·福建漳州·期末）若2a=5,2b=3A．53 B．2 C．4 4．（23-24八年級上·重慶萬州·期末）下列運算正確的是（

）A．x2?xC．x3+x5．（23-24七年級下·福建漳州·階段練習）計算(?m3n)A．?m6n2 B．m6n6．（23-24七年級下·全國·單元測試）計算?322022A．23 B．32 C．?2二、填空題7．（23-24七年級下·四川成都·階段練習）已知a2m=2，bm=58．（23-24七年級下·全國·單元測試）若1284÷839．（23-24七年級下·全國·期末）計算：?a210．（23-24七年級下·山東聊城·期末）比較大小277511．（23-24七年級下·廣東深圳·期中）已知am=2,an三、解答題12．（2024七年級下·江蘇·專題練習）計算(1)x?x(2)?3x13．（23-24七年級下·廣東揭陽·階段練習）已知3×9m÷14．（23-24七年級下·甘肅蘭州·期末）若5n=3，25m15．（23-24七年級下·江蘇南京·期中）（1）若2×8x×（2）若ya=2，yb=4，

第01講冪的乘除模塊一思維導圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．掌握正整數(shù)冪的乘除法運算性質(zhì)，能用文字和符號語言正確地表述這些性質(zhì)，并能運用它們熟練地進行運算；2．運用同底數(shù)冪的乘除法法則解決一下實際問題；3．掌握用科學計數(shù)法表示較小的數(shù)。知識點1：冪的乘法運算口訣：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均為正整數(shù)，并且m>n)知識點2：冪的乘方運算口訣：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。(m,n都為正整數(shù))知識點3：積的乘方運算口訣：等于將積的每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。（m,n為正整數(shù)）知識點4：冪的除法運算口訣：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均為正整數(shù)，并且m>n)；a0=1(a≠0)知識點5：科學記數(shù)法科學記數(shù)法：有了負指數(shù)冪后，絕對值小于1的數(shù)，也能寫成a10n的形式，其中n是正整數(shù)，1a10，這叫科學記數(shù)法．注：對于一個絕對值小于1的數(shù)，如果小數(shù)點后至第一個非0數(shù)字前有m個0，則10d的指數(shù)n=m+1．考點一：同底數(shù)冪的乘法運算例1.計算a2·a4(2)(4)?a2·?a【答案】(1)a(2)2(3)2(4)?a(5)x?2y【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即am（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可；（3）將4=22，（4）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可；（5）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算即可．【詳解】（1）解：a2（2）解：22（3）解：4×2（4）解：?a2（5）解：x?2y2

【變式1-1】計算x?x4的值為（A．x5 B．x4 C．2x【答案】A【分析】此題考查同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加,根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進行計算即可．【詳解】解：x?x故選：A．【變式1-2】計算a?2?a?ax=【答案】13【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運算、解一元一次方程等知識，理解并掌握同底數(shù)冪的乘法運算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運算法則可得關(guān)于x的一元一次方程，求解即可獲得答案．【詳解】解：∵a?2∴?2+1+x=12，解得x=13．故答案為：13．【變式1-3】計算：(1)?m??m2??m【答案】(1)m(2)?【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握運算法則，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運算進行計算；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運算進行計算即可求解．【詳解】（1）解：?m===m（2）解：m?n=?=?n?m考點二：冪的乘方與積的乘方運算例2.計算：(1)?xy3??xy4?【答案】(1)x(2)a【分析】本題考查冪的運算，熟練掌握相關(guān)運算法則，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和積的乘方法則進行計算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方法則進行計算即可。【詳解】（1）解：原式=?xy（2）原式=?【變式2-1】計算：?3xy3【答案】9x2【分析】本題考查了積的乘方運算，根據(jù)積的乘方運算和冪的乘方運算法則計算即可求解，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：?3xy故答案為：9x【變式2-2】計算：(1)(?xy)3?(?xy)4?【答案】(1)x(2)a【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，冪的乘算，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的運算法則；（1）利用同底數(shù)冪的乘法及積的乘方即可計算；（2）利用同底數(shù)冪的乘法及冪的乘方即可計算求解．【詳解】（1）解：原式=(?xy)（2）解：原式=?【變式2-3】計算：?【答案】?【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方運算；先定符號再計算．【詳解】解：?=?=?=?=?考點三：同底數(shù)冪的除法運算例3.計算x6÷x3A．x3 B．x2 C．2【答案】A【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪除法計算，熟知同底數(shù)冪除法計算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：x6故選：A．【變式3-1】計算：x8÷【答案】x【分析】本題考查了同底數(shù)冪的除法運算，直接運算x8【詳解】解：x8故答案為：x2【變式3-2】計算：?a9÷【答案】a【分析】本題主要查了同底數(shù)冪相除．根據(jù)同底數(shù)冪除法法則計算，即可求解．【詳解】解：?a9故答案為：a【變式3-3】計算（結(jié)果用冪的形式表示）：a?b8÷【答案】b?a【分析】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，將a?b變形為?b?a【詳解】解：a?b====b?a故答案為：b?a5考點四：冪的逆運算例4.已知5m=4，5n=6(1)求5m+n(2)求5m?2p(3)寫出m，n，p之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)24(2)4(3)m+2p=2n【分析】本題考查了冪的乘方逆運算，同底數(shù)冪的乘法的逆運算，同底數(shù)冪的除法的逆運算，熟練掌握冪的運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)5m+n（2）根據(jù)5m?2p=5（3）根據(jù)5m?25【詳解】（1）解：∵5m=4，∴5m+n（2）解：∵25p∴5m?2p（3）解：∵5m又5n∴5m∴m+2p=2n．【變式4-1】已知4m=5，8n(1)求22m+3n(2)求24m?6n(3)求122m【答案】(1)15(2)25(3)400【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方與積的乘方，熟記冪的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)冪的乘方運算法則可得4m（2）由22m（3）根據(jù)積的乘方運算法則可得122m【詳解】（1）解：4m=22m=522m+3n（2）解：24m?6n（3）解：122m【變式4-2】已知：5a=3，(1)求52a(2)求55a?2b【答案】(1)9(2)3【分析】此題主要考查了冪的乘方運算，同底數(shù)冪相除，掌握冪的乘方運算和同底數(shù)冪相除法則的逆用是解題關(guān)鍵．（1）先逆用冪的乘方法則變形52a=5（2）先逆用同底數(shù)冪相除和冪的乘方運算法則變形53a?2b=53a÷【詳解】（1）解：∵5a∴52a（2）解：∵5a=3，∴55a?2b【變式4-3】已知10x=3(1)求102x+3y(2)求103x?4y【答案】(1)72(2)27【分析】（1）利用同底數(shù)冪的乘法的逆運算、冪的乘方的逆運算對代數(shù)式進行轉(zhuǎn)化即可求解；（2）利用同底數(shù)冪的除法的逆運算、冪的乘方的逆運算對代數(shù)式進行轉(zhuǎn)化即可求解；本題考查了冪的有關(guān)運算性質(zhì)，掌握同底數(shù)冪的乘除法的逆運算和冪的乘方的逆運算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：102x+3y（2）解：103x?4y考點五：零指數(shù)的有關(guān)運算例5.計算：?32【答案】?4【分析】本題考查了零次冪，有理數(shù)的混合運算．先化簡零次冪，計算括號內(nèi)的減法以及運算乘方和乘除，然后進行加法運算，即可作答．【詳解】解：?=?9+1+2×2=?9+1+4=?4．【變式5-1】如果m+20=1，那么m的取值范圍是（A．m>?2 B．m<?2 C．m=?2 D．m≠?2【答案】D【分析】此題主要考查了零指數(shù)冪，直接利用零指數(shù)冪：a0【詳解】解：由任何非零數(shù)的零次冪為1，得m+2≠0，即m≠?2．故選：D．【變式5-2】計算：1【答案】1【分析】本題考查實數(shù)的運算．理解乘方、零指數(shù)冪的運算法則是關(guān)鍵．先算乘方、零指數(shù)冪，再算加減．【詳解】解：1==1【變式5-3】計算：?13【答案】?2【分析】此題考查了乘方、零指數(shù)冪、絕對值的化簡等知識，利用乘方、零指數(shù)冪、絕對值的化簡計算后，進行加減運算即可．【詳解】解：?1=?1+1?2=?2

考點六：用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)例6.在科幻小說《三體》中，有一種高強度的納米材料“飛刃”．根據(jù)描述，納米材料“飛刃”的直徑約為0.000002m，則數(shù)據(jù)0.000002用科學記數(shù)法表示為（

）A．2×10?5 B．0.2×10?6 C．【答案】D【分析】本題考查了科學記數(shù)法，根據(jù)科學記數(shù)法：a×10n（1≤a<10，n為正整數(shù)），先確定a的值，再根據(jù)小數(shù)點移動的數(shù)位確定n的值即可解答，根據(jù)科學記數(shù)法確定【詳解】解：0.000002=2×10故選：D．【變式6-1】2020年突如其來的新型冠狀病毒肺炎疫情席卷全球，我國在黨中央的堅強領(lǐng)導下，取得了抗擊疫情的巨大成就.科學研究表明，某種新型冠狀病毒顆粒的直徑約為125納米，1納米=1.0×10?9米，若用科學記數(shù)法表示125納米，則正確的結(jié)果是（A．125×10?9米 B．1.25×10?8米 C．1.25×10【答案】C【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10?n，其中1≤a根據(jù)科學記數(shù)法進行表示即可．【詳解】解：125納米=125×10?9米故選：C．【變式6-2】PM2.5是指大氣中直徑小于或等于0.0000025mA．2.5×10?6 B．2.5×10?7 【答案】A【分析】本題考查了科學記數(shù)法，根據(jù)科學記數(shù)法：a×10n（1≤a<10，n為正整數(shù)），先確定a的值，再根據(jù)小數(shù)點移動的數(shù)位確定n的值即可解答，根據(jù)科學記數(shù)法確定【詳解】解：0.0000025=2.5×10故選：A．【變式6-3】芯片是手機、電腦等高科技產(chǎn)品的核心部件，目前我國芯片已可采用14納米工藝．已知14納米為0.000000014米，數(shù)據(jù)0.000000014用科學記數(shù)法表示為米．【答案】1.4×【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)．熟練掌握科學記數(shù)法的表示方法：a×10n（1≤|a|<10，【詳解】解：0.000000014=1.4×10故答案為：1.4×10一、單選題1．（22-23七年級下·四川達州·期中）x+2y=4，則2x?2?2A．4 B．8 C．16 D．32【答案】A【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪除法的逆運算，同底數(shù)冪乘法計算，根據(jù)同底數(shù)冪乘法計算法則得到原式=2x?2+2y，再由同底數(shù)冪除法的逆運算法則得到原式=2【詳解】解：∵x+2y=4，∴2=====4，故選：A．2．（23-24七年級下·全國·單元測試）長度單位1nm=10?9m，新冠病毒的直徑約為60--140nm，其中140nmA．1.4×10?7m B．1.4×10?8m【答案】A【分析】本題考查了科學記數(shù)法的表示方法，科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為a×10n，其中1≤a<10，n為整數(shù)，解題的關(guān)鍵是要正確確定先將140nm轉(zhuǎn)化為140×10【詳解】解：140nm故選：A．3．22-23八年級上·福建漳州·期末）若2a=5,2b=3A．53 B．2 C．4 【答案】A【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪除法的逆運算，利用同底數(shù)冪除法的逆運算將原式變形后代入數(shù)值計算即可，將原式進行正確的變形是解題的關(guān)鍵.【詳解】∵2a∴2a?b故選：A.4．（23-24八年級上·重慶萬州·期末）下列運算正確的是（

）A．x2?xC．x3+x【答案】A【分析】本題考查了同底數(shù)冪相乘，冪的乘方，積的乘方，合并同類項，據(jù)此相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容進行逐個分析，即可作答．【詳解】解：A、x2B、x2C、x3D、(?2x)3故選：A5．（23-24七年級下·福建漳州·階段練習）計算(?m3n)A．?m6n2 B．m6n【答案】B【分析】本題主要考查了積的乘方和冪的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵；根據(jù)積的乘方和冪的乘方法則計算，即可求解．【詳解】解：(?m故選：B．6．（23-24七年級下·全國·單元測試）計算?322022A．23 B．32 C．?2【答案】B【分析】本題考查積的乘方的逆用，靈活利用積的乘方的逆用是關(guān)鍵．利用積的乘方的逆用將am【詳解】解：?====故選：B．二、填空題7．（23-24七年級下·四川成都·階段練習）已知a2m=2，bm=5【答案】10【分析】本題主要考查了積的乘方運算，解題關(guān)鍵是熟練掌握積的乘方運算法則．先根據(jù)積的乘方運算法則將所求式子變形，然后把已知條件代入求值即可．【詳解】解：∵a2m=2∴==2×5=10，故答案為：10．8．（23-24七年級下·全國·單元測試）若1284÷83【答案】19【分析】本題主要考查了冪的有關(guān)運算，冪的乘方以及同底數(shù)冪的除法法則．將1284÷83變形為【詳解】解：∵1284÷8∴219∴n=19，故答案為：19．9．（23-24七年級下·全國·期末）計算：?a2【答案】?【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加計算即可．【詳解】?a故答案為：?10．（23-24七年級下·山東聊城·期末）比較大小2775【答案】＞【分析】本題考查冪的乘方的逆運算，有理數(shù)大