2025年北師版七年級數(shù)學寒假預(yù)習 第07講 平行線的性質(zhì)（1個知識點+5大考點舉一反三+過關(guān)測試）

第07講平行線的性質(zhì)模塊一思維導圖串知識

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）

模塊三核心考點舉一反三

模塊四小試牛刀過關(guān)測1.掌握平行線的三個性質(zhì)；2.會用平行線的性質(zhì)進行有關(guān)的簡單推理和計算；3.通過對比，理解平行線的性質(zhì)和判定的區(qū)別。知識點1：平行線性質(zhì)性質(zhì)（1）：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成：兩直線平行，同位角相等。幾何語言：∵a∥b∴∠1=∠5（兩直線平行，同位角相等）性質(zhì)（2）：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。幾何語言：∵a∥b∴∠3=∠5（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）性質(zhì)（3）：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。幾何語言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）考點一：根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度例1.（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖，AB∥CD，過點B作BE⊥DF于B，∠α=28°，則∠β的度數(shù)為（）A．72° B．62° C．48° D．38°【變式1-1】（23-24七年級下·福建三明·期中）如圖，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，則∠BCE等于如A．23° B．16° C．20° D．26°【變式1-2】（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖所示，直線AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1=54°，則∠CDB的度數(shù)是【變式1-3】（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，直線a∥b，∠1=120°，∠2=40°，則°．考點二：平行線與三角板的結(jié)合例2.（23-24七年級上·江蘇蘇州·期末）已知直線a∥b，將一塊含30°角的直角三角板∠BAC=30°按如圖所示方式放置，并且頂點A，C分別落在直線a，b上，若∠1=22°，則∠2的度數(shù)是（

A．38° B．45° C．58° D．60°【變式2-1】（23-24七年級下·甘肅蘭州·期末）將一副三角尺（厚度不計）按如圖所示擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則圖中∠1的度數(shù)為（

）A．100° B．105° C．120° D．115°【變式2-2】（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊，∠1=30°，∠2=50°，則∠3的度數(shù)等于【變式2-3】（23-24七年級下·吉林松原·期末）一束平行光線照射三角板ABC（∠ACB=90°，∠ABC=30°），光線落在地面BD上，若∠1=36°，則∠2=度．考點三：平行線與折疊的綜合例3.（23-24七年級下·貴州遵義·階段練習）如圖，將一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，使頂點C，D分別落在點C'，D'處，若∠AFD'=50°，則A．75° B．65° C．60° D．55°【變式3-1】（23-24七年級下·廣東廣州·期末）如圖，把長方形ABCD沿EF折疊后，點D，C分別落在D'，C'的位置，若∠DEF=65°，則A．45° B．50° C．60° D．65°【變式3-2】（23-24七年級下·四川成都·期末）如圖，將長方形ABCD沿對角線AC折疊，B的對應(yīng)點為E，AE與CD交于點F．若∠FCE=50°，則∠CAB的度數(shù)為．【變式3-3】（23-24七年級下·浙江金華·階段練習）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊，折痕分別為AB、CD，若CD∥BE，∠1=10°，則∠2的度數(shù)是考點四：平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用例4.（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐的∠A是120°，第二次拐的∠B是150°，第三次拐的角是∠C，這時恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C的度數(shù)為（

）A．100° B．120° C．150° D．160°【變式4-1】（23-24七年級下·浙江寧波·期末）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射．由于折射率相同，在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如下圖是從玻璃杯底部發(fā)出的一束平行光線經(jīng)過水面折射形成的光線示意圖，水面與玻璃杯的底面平行．若∠1=45°，∠2=120°，則∠3+∠4的度數(shù)是（）A．95° B．100° C．105° D．120°【變式4-2】（23-24七年級下·廣西貴港·期末）在兩千多年前，我們的先祖就運用杠桿原理發(fā)明了木桿秤，學名叫作戥子，如圖，這是一桿古秤在稱物時的狀態(tài)，已知∠1=102°，則∠2的度數(shù)為（

）A．102° B．72° C．78° D．90°【變式4-3】（23-24七年級下·河北石家莊·期末）近幾年中學生近視的現(xiàn)象越來越嚴重，為保護視力，某公司推出了護眼燈，其側(cè)面示意圖（臺燈底座高度忽略不計）如圖所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，經(jīng)使用發(fā)現(xiàn)，當∠EDC=126°時，臺燈光線最佳．則此時∠DCB的度數(shù)為（A．126° B．136° C．144° D．154°考點五：平行線的判定與性質(zhì)綜合例5.（23-24七年級下·貴州遵義·期中）如圖，CD⊥AB，垂足為D，F(xiàn)E⊥AB，垂足為E，∠ACD+∠F=180°．(1)求證：AC∥(2)若∠F=3∠G，∠BCD:∠ACD=2:3，求∠BCD的度數(shù)．【變式5-1】（23-24七年級下·四川內(nèi)江·開學考試）如圖，已知∠A=∠AGE，∠D=∠DGC．(1)試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若∠2+∠1=180°，且∠BEC=2∠B+24°，求∠C的度數(shù)．【變式5-2】（23-24七年級下·浙江金華·階段練習）如圖，直線CD、EF交于點O，AO⊥BO，且∠1+∠2=90°．

(1)求證：AB∥CD；(2)若OB平分∠DOE,∠2:∠3=2:6，求∠AOF的度數(shù)．【變式5-3】（23-24七年級下·天津南開·期末）如圖．點A，B，C在一條直線上，點B，D，E在一條直線上，若∠FEB與∠ABE互補．過點D作GH∥EF，連接BG．(1)求證：∠G=∠ABG．(2)若∠EDH=∠G，∠ABG=23∠ABD一、單選題1．（23-24七年級下·云南曲靖·期中）如圖，直線a，b被直線c所截，a∥b，∠1=40°，則∠2的度數(shù)為（A．40° B．50° C．60° D．140°2．（23-24七年級下·陜西渭南·期末）如圖，已知在音符中，AB∥CD，若∠BAC=95°，則∠ACD的度數(shù)為（

）A．85° B．88° C．92° D．95°3．（2023·廣東陽江·一模）如圖，AB∥CD，∠BAE=42°，若AD平分∠BAE，則∠CDA的度數(shù)為（

）A．18° B．21° C．42° D．48°4．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，直角三角板和直尺如圖放置，若∠1=77°，則∠2的度數(shù)為（

）A．42° B．37° C．32° D．27°5．（23-24七年級下·全國·單元測試）在同一平面內(nèi)，若∠A與∠B的兩邊分別平行，且∠A比∠B的3倍少40°，則∠A的度數(shù)為（

）A．20° B．55° C．20°或125° D．20°或55°6．（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，∠1與∠2互余，∠4與∠2的余角互補，∠5=115°，則∠2等于（

A．45° B．60° C．65° D．75°7．（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，OP∥QR∥ST，下列各式中正確的是（）A．∠1+∠2+∠3=180° B．∠1+∠2?∠3=90°C．∠1?∠2+∠3=90° D．∠2+∠3?∠1=180°二、填空題8．（23-24七年級下·廣東茂名·期中）如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，EG平分∠AEF，∠1=38°，則∠2的度數(shù)為

9．（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖所示，∠1=62°,∠2=118°,∠3=74°，則∠4=．10．（2024·江蘇常州·一模）如圖，直線a∥b，點A在直線a上，點C在直線b上，AB⊥BC，若∠1=44°，則∠2=°．11．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）如圖所示，∠AOB的一邊OB為平面鏡，∠AOB=36°，一束光線（與水平線AO平行）從點C射入經(jīng)平面鏡上的點D后，反射光線落在OA上的點E處，且∠CDB=∠ODE，則∠AED的度數(shù)是．三、解答題12．（23-24七年級下·貴州遵義·階段練習）如圖，已知∠1+∠CFE=180°，(1)求證：AC∥EF；(2)求∠EDF．13．（23-24七年級下·廣東·期末）如圖，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于點E．(1)求證：∠1=∠3；(2)若AD⊥BD于點D，∠CDA=28°，求∠3的度數(shù)．

第07講平行線的性質(zhì)模塊一思維導圖串知識

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）

模塊三核心考點舉一反三

模塊四小試牛刀過關(guān)測1.掌握平行線的三個性質(zhì)；2.會用平行線的性質(zhì)進行有關(guān)的簡單推理和計算；3.通過對比，理解平行線的性質(zhì)和判定的區(qū)別。知識點1：平行線性質(zhì)性質(zhì)（1）：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成：兩直線平行，同位角相等。幾何語言：∵a∥b∴∠1=∠5（兩直線平行，同位角相等）性質(zhì)（2）：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。幾何語言：∵a∥b∴∠3=∠5（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）性質(zhì)（3）：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。幾何語言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）考點一：根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度例1.（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖，AB∥CD，過點B作BE⊥DF于B，∠α=28°，則∠β的度數(shù)為（）A．72° B．62° C．48° D．38°【答案】B【分析】根據(jù)互余得出∠BDE的度數(shù)，進而利用兩直線平行，同位角相等解答即可；此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用兩直線平行，同位角相等解答．【詳解】解：∵BE⊥DF于B，∠α=28°，∴∠BDE=90°?28°=62°∵AB∥CD，∴∠β=∠BDE=62°故選：B．【變式1-1】（23-24七年級下·福建三明·期中）如圖，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，則∠BCE等于如A．23° B．16° C．20° D．26°【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DCE=26°，∠BCD=∠ABC=46°，則∠BCE=∠BCD?∠DCE=20°．【詳解】解：∵CD∥EF，∴∠DCE+∠CEF=180°，∵∠CEF=154°，∴∠DCE=26°，∵AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC=46°，∴∠BCE=∠BCD?∠DCE=20°，故選：C．【變式1-2】（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖所示，直線AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1=54°，則∠CDB的度數(shù)是【答案】72°/72【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，同旁內(nèi)角互補，即可．根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABC=∠1=54°，再根據(jù)角平分線得出∠ABD=108°，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠1=54°．又∵BC平分∠ABD，∴∠CBD=∠ABC=54°．∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=108°．∵AB∥∴∠CDB+∠ABD=180°．∴∠CDB=180°?108°=72°．故答案為：72°．【變式1-3】（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，直線a∥b，∠1=120°，∠2=40°，則∠3的度數(shù)是【答案】80【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角度的計算，由∠1=120°，求出∠4=60°，再求出∠5=80°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：∵∠1=120°，∴∠4=180°?∠1=60°，又∵∠2=40°，∴∠5=180°?∠2?∠4=80°，∵a∥∴∠3=∠5=80°，故答案為：80．考點二：平行線與三角板的結(jié)合例2.（23-24七年級上·江蘇蘇州·期末）已知直線a∥b，將一塊含30°角的直角三角板∠BAC=30°按如圖所示方式放置，并且頂點A，C分別落在直線a，b上，若∠1=22°，則∠2的度數(shù)是（

A．38° B．45° C．58° D．60°【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點及正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過點B向右作BD∥a，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABD=∠1，【詳解】如圖，過點B向右作BD∥∴∠ABD=∠1=22°，∵a∥∴BD∥∴∠2=∠DBC=∠ABC?∠ABD=60°?22°=38°．答案：A．【變式2-1】（23-24七年級下·甘肅蘭州·期末）將一副三角尺（厚度不計）按如圖所示擺放，使有刻度的兩條邊互相平行，則圖中∠1的度數(shù)為（

）A．100° B．105° C．120° D．115°【答案】B【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，先由兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到∠ABC=∠C=30°，再根據(jù)平角的定義即可得到答案．【詳解】解：由題意得，∠ABE=45°，∠C=30°，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠1=180°?∠ABC?∠ABE=105°，故選：B．【變式2-2】（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊，∠1=30°，∠2=50°，則∠3的度數(shù)等于【答案】20°/20度【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理，過點E作EF∥AB，則AB∥CD∥EF，由平行線的性質(zhì)得到∠DEF=∠2=50°，【詳解】解：如圖所示，過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠DEF=∠2=50°，∴∠3=∠CEF=∠DEF?∠1=20°，故答案為：20°．【變式2-3】（23-24七年級下·吉林松原·期末）一束平行光線照射三角板ABC（∠ACB=90°，∠ABC=30°），光線落在地面BD上，若∠1=36°，則∠2=度．【答案】54【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，可得∠ACF=∠1=36°，由此可得∠BCF=54°，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，即得∠2=∠BCF=54°．【詳解】∵AD∥∴∠ACF=∠1=36°，∴∠BCF=90°?∠ACF=54°∵CF∥∴∠2=∠BCF=54°．考點三：平行線與折疊的綜合例3.（23-24七年級下·貴州遵義·階段練習）如圖，將一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，使頂點C，D分別落在點C'，D'處，若∠AFD'=50°，則A．75° B．65° C．60° D．55°【答案】B【分析】設(shè)∠CEF=x°，根據(jù)矩形紙片ABCD得到AD∥BC，得到∠DFE=180°?∠CEF=180°?x°，∠GFE=∠CEF=x°，則∠D'FE=∠AF本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，長方形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)∠CEF=x°，∵長方形紙片ABCD，∴AD∥BC，∴∠DFE=180°?∠CEF=180°?x°，∴∠GFE=∠CEF=x°，∴∠D根據(jù)折疊的性質(zhì)，得∠D∴180°?x°=50°+x°，解得x=65．故選B．【變式3-1】（23-24七年級下·廣東廣州·期末）如圖，把長方形ABCD沿EF折疊后，點D，C分別落在D'，C'的位置，若∠DEF=65°，則A．45° B．50° C．60° D．65°【答案】B【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．由折疊的性質(zhì)得到D'E∥C'F，由平行線的性質(zhì)得到∠BFE=∠DEF=65°，∠FE【詳解】解：∵四邊形ABCD是長方形，∴AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF=65°，由折疊的性質(zhì)得到：D'E∥∴∠FED∴∠EFC∴∠BFC故選：B．【變式3-2】（23-24七年級下·四川成都·期末）如圖，將長方形ABCD沿對角線AC折疊，B的對應(yīng)點為E，AE與CD交于點F．若∠FCE=50°，則∠CAB的度數(shù)為．【答案】20°/20度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)與折疊的問題．有長方形可得∠BCD=90°，AB∥CD，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到∠ECA=∠BCA=70°，∠DCA=20°，由平行線的性質(zhì)，【詳解】∵長方形ABCD，∴∠BCD=90°，AB∥∵∠FCE=50°，∴∠BCE=∠FCE+∠BCD=140°，∵折疊，∴∠ECA=∠BCA=1∴∠DCA=∠ECA?∠FCE=20°，∵AB∥∴∠DCA=∠CAB=20°，故答案為：20°．【變式3-3】（23-24七年級下·浙江金華·階段練習）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊，折痕分別為AB、CD，若CD∥BE，∠1=10°，則∠2的度數(shù)是【答案】20°/20度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關(guān)系．由折疊的性質(zhì)可得∠3=∠1=10°，從而求得∠4=∠1+∠3=20°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)定理求出∠EBD=180°?∠4=160°，最后再根據(jù)平行線性質(zhì)定理求出∠2=20°．【詳解】解：如圖，由折疊的性質(zhì)，可得∠3=∠1=10°，∵紙帶對邊互相平行∴∠4=∠1+∠3=20°，∵CD∥BE，∴∠EBD=180°?∠4=160°，又∵CD∥∴∠2=180°?∠CBD=180°?160°=20°．故答案為：20°．考點四：平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用例4.（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐的∠A是120°，第二次拐的∠B是150°，第三次拐的角是∠C，這時恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C的度數(shù)為（

）A．100° B．120° C．150° D．160°【答案】C【分析】本題主要考查平行線的相關(guān)知識，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；過點B作BD∥AE，然后根據(jù)平行同一直線的兩條直線平行，可得AE∥BD∥CF，從而得出∠CBD+∠C=180°；接下來，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠CBD=30°，根據(jù)∠C=180°?∠CBD可求出∠C的度數(shù)【詳解】過點B作BD∥AE，∵AE∥CF，BD∥AE，∴AE∥BD∥CF，∴∠A=∠ABD，∠CBD+∠C=180°.∵∠A=120°，∠ABD+∠CBD=∠ABC=150°，∴∠CBD=30°，∴∠C=180°?∠CBD=180°?30°=150°；故選：C【變式4-1】（23-24七年級下·浙江寧波·期末）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射．由于折射率相同，在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如下圖是從玻璃杯底部發(fā)出的一束平行光線經(jīng)過水面折射形成的光線示意圖，水面與玻璃杯的底面平行．若∠1=45°，∠2=120°，則∠3+∠4的度數(shù)是（）A．95° B．100° C．105° D．120°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)．先利用平行線的性質(zhì)可得：∠1=∠3=45°，∠4=60°，然后利用角的和差關(guān)系進行計算即可解答．【詳解】解：如圖：∵AC∥∴∠1=∠3=45°，∵CD∥∴∠2+∠4=180°，∵∠2=120°，∴∠4=180°?∠2=60°，∴∠3+∠4=105°，故選：C．【變式4-2】（23-24七年級下·廣西貴港·期末）在兩千多年前，我們的先祖就運用杠桿原理發(fā)明了木桿秤，學名叫作戥子，如圖，這是一桿古秤在稱物時的狀態(tài)，已知∠1=102°，則∠2的度數(shù)為（

）A．102° B．72° C．78° D．90°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求解．【詳解】解：如圖所示，依題意，AB∥DC，

∴∠2=∠BCD，∵∠BCD+∠1=180°，∠1=102°，∴∠BCD=180°?∠1=78°，∴∠2=78°．故選：C．【變式4-3】（23-24七年級下·河北石家莊·期末）近幾年中學生近視的現(xiàn)象越來越嚴重，為保護視力，某公司推出了護眼燈，其側(cè)面示意圖（臺燈底座高度忽略不計）如圖所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，經(jīng)使用發(fā)現(xiàn)，當∠EDC=126°時，臺燈光線最佳．則此時∠DCB的度數(shù)為（A．126° B．136° C．144° D．154°【答案】C【分析】本題考查平行線的性質(zhì)．過C作CK∥AB，得到CK∥DE，由BC⊥AB，推出BC⊥CK，由垂直的定義得到【詳解】解：過C作CK∥∵DE∥∴CK∥∵BC⊥AB，∴BC⊥CK，∴∠BCK=90°，∵∠EDC=126°，∴∠DCK=180°?∠CDE=54°，∴∠DCB=∠DCK+∠BCK=144°，故選：C．考點五：平行線的判定與性質(zhì)綜合例5.（23-24七年級下·貴州遵義·期中）如圖，CD⊥AB，垂足為D，F(xiàn)E⊥AB，垂足為E，∠ACD+∠F=180°．(1)求證：AC∥(2)若∠F=3∠G，∠BCD:∠ACD=2:3，求∠BCD的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)20°【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是區(qū)分平行線的判定與性質(zhì)，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．（1）根據(jù)CD⊥AB，F(xiàn)E⊥AB，可得EF∥DC，得∠AHE=∠ACD，進而得（2）根據(jù)∠BCD:∠ACD=2:3，可以設(shè)∠BCD=2x,∠ACD=3x，根據(jù)AC∥FG，可得∠G=∠ACB=∠BCD+∠ACD=5x，由∠F=3∠G得到∠F=15x，根據(jù)∠ACD+∠F=180°，求出x的值，進而可得【詳解】（1）證明：∵CD⊥AB，F(xiàn)E⊥AB，∴∠AEH=∠ADC=90°，∴EF∥∴∠AHE=∠ACD，∵∠ACD+∠F=180°．∴∠AHE+∠F=180°，∵∠AHE+∠EHC=180°，∴∠EHC=∠F，∴AC∥（2）解：∵∠BCD:∠ACD=2:3，設(shè)∠BCD=2x,∠ACD=3x，∵AC∥∴∠G=∠ACB=∠BCD+∠ACD=5x，∵∠F=3∠G，∴∠F=15x，∵∠ACD+∠F=180°，∴3x+15x=180°，即x=10°∴∠BCD=2x=20°．【變式5-1】（23-24七年級下·四川內(nèi)江·開學考試）如圖，已知∠A=∠AGE，∠D=∠DGC．(1)試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若∠2+∠1=180°，且∠BEC=2∠B+24°，求∠C的度數(shù)．【答案】(1)AB∥(2)∠C=52°【分析】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，兩直線平行的性質(zhì)、判定，往往要相互轉(zhuǎn)化，交替運用，注意在實際解題中多加體會．（1）根據(jù)對頂角相等及已知條件證得∠A=∠D，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)對頂角相等和平行線的判定推出CE∥FB，得到∠BEC+∠B=180°，根據(jù)∠BEC=2∠B+24°，求出∠B=52°，得到∠BEC=128°，再利用AB∥【詳解】（1）解：AB∥因為∠AGE與∠DGC是對頂角，所以∠AGE=∠DGC，又因為∠A=∠AGE，∠D=∠DGC，所以∠A=∠D，所以AB∥（2）解：因為∠1與∠AHB是對頂角，所以∠1=∠AHB，又因為∠2+∠1=180°，所以∠2+∠AHB=180°，所以CE∥所以∠BEC+∠B=180°，又因為∠BEC=2∠B+24°，所以2∠B+24°+∠B=180°，所以∠B=52°，所以∠BEC=128°，又因為AB∥所以∠BEC+∠C=180°，所以∠C=52°．【變式5-2】（23-24七年級下·浙江金華·階段練習）如圖，直線CD、EF交于點O，AO⊥BO，且∠1+∠2=90°．

(1)求證：AB∥CD；(2)若OB平分∠DOE,∠2:∠3=2:6，求∠AOF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠AOF=122°【分析】本題考查平行線的判定以及性質(zhì)，角平分線的定義，余角和補角性質(zhì)；（1）根據(jù)題意可已知條件并結(jié)合圖形進行分析，內(nèi)錯角相等，即可得到答案．（2）根據(jù)題意利用平行線得性質(zhì)角平分線的定義，余角和補角性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】（1）解：證明：∵AO⊥BO，∴∠AOB=90°，∴∠AOC+∠2=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠AOC=∠1，∴AB∥CD；（2）解：∵OB平分∠DOE，∴∠EOB=∠2，∵∠2:∠3=2:6，設(shè)∠2=∠EOB=2x，則∠EOB+∠2+∠3=180°，即2x+2x+6x=180°，解得x=18°，∴∠EOB=32°，又∵∠AOB=90°，∴∠AOE=∠AOB?∠EOB=58°，∴∠AOF=180°?∠AOE=122°．【變式5-3】（23-24七年級下·天津南開·期末）如圖．點A，B，C在一條直線上，點B，D，E在一條直線上，若∠FEB與∠ABE互補．過點D作GH∥EF，連接BG．(1)求證：∠G=∠ABG．(2)若∠EDH=∠G，∠ABG=23∠ABD【答案】(1)見解析(2)∠GBD=36°【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平角的定義，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．（1）由∠FEB與∠ABE互補，可得AB∥EF，進而得到GH∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明；（2）由GH∥AB可得∠DBC=∠EDH，結(jié)合題意可得∠ABG=∠EDH=∠DBC，由∠ABG=23∠ABD，得到∠DBC=23∠ABD，【詳解】（1）證明：∵∠FEB與∠ABE互補，∴AB∥EF，∵GH∥EF，∴GH∥AB，∴∠G=∠ABG；（2）∵GH∥AB，∴∠DBC=∠EDH，∵∠EDH=∠G，∠G=∠ABG，∴∠ABG=∠EDH，∴∠ABG=∠EDH=∠DBC，∵∠ABG=2∴∠DBC=23∠ABD∴∠ABD+∠DBC=∠ABD+2解得：∠ABD=108°，∴∠GBD=1一、單選題1．（23-24七年級下·云南曲靖·期中）如圖，直線a，b被直線c所截，a∥b，∠1=40°，則∠2的度數(shù)為（A．40° B．50° C．60° D．140°【答案】A【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，先證明∠1=∠3=40°，再利用對頂角的性質(zhì)可得答案.【詳解】解：如圖，∵a∥b，∴∠1=∠3=40°，∴∠2=∠3=40°，故選：A2．（23-24七年級下·陜西渭南·期末）如圖，已知在音符中，AB∥CD，若∠BAC=95°，則∠ACD的度數(shù)為（

）A．85° B．88° C．92° D．95°【答案】A【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補進行求解即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∵∠BAC=95°，∴∠ACD=85°，故選：A．3．（2023·廣東陽江·一模）如圖，AB∥CD，∠BAE=42°，若AD平分∠BAE，則∠CDA的度數(shù)為（

）A．18° B．21° C．42° D．48°【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等．根據(jù)角平分線的定義得出∠DAB=1【詳解】解：∵∠BAE=42°，AD平分∠BAE，∴∠DAB=1∵AB∥CD，∴∠CDA=∠DAB=21°，故選：B．4．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，直角三角板和直尺如圖放置，若∠1=77°，則∠2的度數(shù)為（

）A．42° B．37° C．32° D．27°【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到∠1=∠2+45°，再由∠1=77°，即可得到∠2=32°．【詳解】解：如圖，由題意得，AB∥CD，∴∠1=∠2+45°，∵∠1=77°，∴∠2=32°，故選C．5．（23-24七年級下·全國·單元測試）在同一平面內(nèi)，若∠A與∠B的兩邊分別平行，且∠A比∠B的3倍少40°，則∠A的度數(shù)為（

）A．20° B．55° C．20°或125° D．20°或55°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關(guān)系．分兩種情況畫出圖形，先證明∠A=∠B或∠A+∠B=180°，又由∠A比∠B的3倍少40°，即可求解．【詳解】解：如圖1所示，AE∥BD,AC∥BF，∵AE∥BD，∴∠A=∠CGD，∵AC∥BF，∴∠B=∠CGD，∴∠A=∠B，由題意得，∠A=3∠B?40°，∴∠A=3∠A?40°，解得∠A=20°，如圖2所示，BE∥AD,BC∥AF，∵BE∥AD，∴∠B=∠AHB，∵BC∥AF，∴∠AHB+∠A=180°，∴∠A+∠B=180°，∴∠B=180°?∠A，由題意得，∠A=3∠B?40°，∴∠A=3180°?∠A解得∠A=125°，綜上所述，∠A的度數(shù)為20°或125°，故選：C．6．（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，∠1與∠2互余，∠4與∠2的余角互補，∠5=115°，則∠2等于（

A．45° B．60° C．65° D．75°【答案】C【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意，得到∠4+∠1=180°，得到AB∥CD，平角的定義求出∠3=180°?∠5=65°，【詳解】解：∵∠1與∠2互余，∠4與∠2的余角互補，∴∠4+∠1=180°，∴AB∥CD，∵∠5=115°，∴∠3=180°?∠5=65°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=65°，故選：C7．（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖，OP∥QR∥ST，下列各式中正確的是（）A．∠1+∠2+∠3=180° B．∠1+∠2?∠3=90°C．∠1?∠2+∠3=90° D．∠2+∠3?∠1=180°【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠3=∠QRS，∠2+∠QRP=180°，進而得出【詳解】解：∵OP∥QR∥ST，∴∠3=∠QRS，∴∠3?∠1=∠QRS?∠1=∠QRP，∵OP∥QR∥ST，∴∠2+∠QRP=180°，即∠2+∠3?∠1=180°．故選：D．二、填空題8．（23-24七年級下·廣東茂名·期中）如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，EG平分∠AEF，∠1=38°，則∠2的度數(shù)為

【答案】104°/104度【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義．根據(jù)AB∥CD可得∠AEG=∠1=38°，由EG平分∠AEF可得∠AEF=2∠AEG=76°，最后根據(jù)平角的定義求解．【詳解】解：∵AB∥∴∠1=∠AEG=38°，又∵EG平分∠AEF，∴∠AEF=2∠AEG=2×38°=76°，∴∠2=180°?∠AEF=180°?76°=104°，故答案為：104°．9．（23-24七年級下·全國·單元測試）如圖所示，∠1=62°,∠2=118°,∠3=74°，則∠4=．【答案】106°/106度【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)∠1=62°,∠2=118°，證明a∥b，由平行線的性質(zhì)即可得到【詳解】解：∵∠1=62°,∠2=118°，∴∠1+∠2=180°，∴a∥∴∠4+∠3=180°，∵∠3=74°，∴∠4=180°?∠3=106°，故答案為：106°．10．（2024·江蘇常州