2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值講義理蘇

§3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第2課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引題型分類深度剖析題型一用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極值問題命題點(diǎn)1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值例1

(1)(2016·淮安模擬)設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象最有可能是______.答案解析③由f′(x)圖象可知，x＝0是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，x＝2是f(x)的極小值點(diǎn).(2)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是______.①函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)；②函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)；③函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)；④函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2).答案解析④由題圖可知，當(dāng)x<－2時，f′(x)>0；當(dāng)－2<x<1時，f′(x)<0；當(dāng)1<x<2時，f′(x)<0；當(dāng)x>2時，f′(x)>0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值.命題點(diǎn)2求函數(shù)的極值例2設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的極值；解答令f′(x)＝－3x2＋3＝0，又因?yàn)楫?dāng)x∈(－∞，－1)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(－1，1)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0.所以f(x)的極小值為f(－1)＝a－2，f(x)的極大值為f(1)＝a＋2.得x1＝－1，x2＝1.(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得方程f(x)＝0恰好有兩個實(shí)數(shù)根？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由.解答因?yàn)閒(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，且當(dāng)x→－∞時，f(x)→＋∞；又f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，且當(dāng)x→＋∞時，f(x)→－∞；而a＋2>a－2，即函數(shù)的極大值大于極小值，所以當(dāng)極大值等于0時，有極小值小于0，此時曲線f(x)與x軸恰好有兩個交點(diǎn)，即方程f(x)＝0恰好有兩個實(shí)數(shù)根，所以a＋2＝0，a＝－2，如圖1.當(dāng)極小值等于0時，有極大值大于0，此時曲線f(x)與x軸恰有兩個交點(diǎn)，即方程f(x)＝0恰好有兩個實(shí)數(shù)根，所以a－2＝0，a＝2.如圖2.綜上，當(dāng)a＝2或a＝－2時方程恰好有兩個實(shí)數(shù)根.命題點(diǎn)3已知極值求參數(shù)例3

(1)若函數(shù)f(x)＝

在x＝1處取極值，則a＝____.答案解析又∵函數(shù)f(x)在x＝1處取極值，∴f′(1)＝0.∴1＋2×1－a＝0，∴a＝3.驗(yàn)證知a＝3符合題意.3(2)(2016·南京學(xué)情調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝

x3＋x2－2ax＋1，若函數(shù)f(x)在(1，2)上有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.答案解析幾何畫板展示方法一令f′(x)＝x2＋2x－2a＝0，因?yàn)閤1?(1，2)，因此則需1<x2<2，方法二f′(x)＝x2＋2x－2a的圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸為x＝－1，則f′(x)在(1，2)上是單調(diào)遞增函數(shù)，(1)求函數(shù)f(x)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在x0處取極小值.(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么y＝f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值.思維升華跟蹤訓(xùn)練1(1)函數(shù)f(x)＝(x2－1)2＋2的極值點(diǎn)是______________.答案解析x＝1或－1或0∵f(x)＝x4－2x2＋3，∴由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.又當(dāng)x<－1時，f′(x)<0，當(dāng)－1<x<0時，f′(x)>0.當(dāng)0<x<1時，f′(x)<0，當(dāng)x>1時，f′(x)>0，∴x＝0，1，－1都是f(x)的極值點(diǎn).－3當(dāng)x>0或x<－1時，y′>0；當(dāng)－1<x<0時，y′<0.∴當(dāng)x＝－1時，y取極大值－3.答案解析題型二用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例4已知a∈R，函數(shù)f(x)＝

＋ln

x－1.(1)當(dāng)a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；解答即x－4y＋4ln2－4＝0.(2)求f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值.解答令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤0，則f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(0，e]上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f(x)無最小值.②若0<a<e，則當(dāng)x∈(0，a)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，a)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(a，e]時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，e]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝a時，函數(shù)f(x)取得最小值ln

a.③若a≥e，則當(dāng)x∈(0，e]時，f′(x)≤0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝e時，函數(shù)f(x)取得最小值.綜上可知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上無最小值；當(dāng)0<a<e時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值為ln

a；當(dāng)a≥e時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值為.求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－

－2x＋5，若對任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.答案解析由題意知，f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，題型三函數(shù)極值和最值的綜合問題例5已知函數(shù)f(x)＝(1)求f(x)在區(qū)間(－∞，1)上的極小值和極大值點(diǎn)；解答當(dāng)x<1時，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0f′(x)－0＋0－f(x)↘極小值

↗極大值

↘故當(dāng)x＝0時，函數(shù)f(x)取得極小值f(0)＝0，函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為x＝.(2)求f(x)在[－1，e](e為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值.解答所以f(x)在[－1，1)上的最大值為2.②當(dāng)1≤x≤e時，f(x)＝aln

x，當(dāng)a>0時，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，則f(x)在[1，e]上的最大值為f(e)＝a.故當(dāng)a≥2時，f(x)在[－1，e]上的最大值為a；當(dāng)a<2時，f(x)在[－1，e]上的最大值為2.當(dāng)a≤0時，f(x)≤0；求一個函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值時，方法是不同的.求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.思維升華[－3，0)答案解析幾何畫板展示由題意，得f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－2，0)上是減函數(shù)，作出其圖象如圖所示，典例(16分)已知函數(shù)f(x)＝ln

x－ax(a∈R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a>0時，求函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值.(1)已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解區(qū)間，并注意定義域.(2)先研究f(x)在[1，2]上的單調(diào)性，再確定最值是端點(diǎn)值還是極值.(3)兩小問中，由于解析式中含有參數(shù)a，要對參數(shù)a進(jìn)行分類討論.思維點(diǎn)撥

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值答題模板系列3規(guī)范解答答題模板幾何畫板展示[2分]綜上可知，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)；又f(2)－f(1)＝ln2－a，當(dāng)ln2≤a<1時，最小值為f(2)＝ln2－2a. [14分]綜上可知，當(dāng)0<a<ln2時，函數(shù)f(x)的最小值是－a；當(dāng)a≥ln2時，函數(shù)f(x)的最小值是ln2－2a. [16分]返回用導(dǎo)數(shù)法求給定區(qū)間上的函數(shù)的最值問題一般可用以下幾步答題第一步：(求導(dǎo)數(shù))求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；第二步：(求極值)求f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值；第三步：(求端點(diǎn)值)求f(x)在給定區(qū)間上的端點(diǎn)值；第四步：(求最值)將f(x)的各極值與f(x)的端點(diǎn)值進(jìn)行比較，確定f(x)的最大值與最小值；第五步：(反思)反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯點(diǎn)和解題規(guī)范.返回課時作業(yè)123456789101112131.函數(shù)f(x)＝

x3－4x＋4的極大值為______.答案解析f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的極大值為f(－2)＝.2.(2016·四川改編)已知a為函數(shù)f(x)＝x3－12x的極小值點(diǎn)，則a＝_____.答案解析2∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.當(dāng)x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)時，f′(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(－2，2)時，f′(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減，∴f(x)的極小值點(diǎn)為a＝2.123456789101112133.若函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋k在區(qū)間[－4，4]上的最大值為10，則其最小值為________.答案解析－71f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.123456789101112134.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________________.答案解析(－∞，－3)∪(6，＋∞)∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有兩個不相等的實(shí)根.∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，即a2－3a－18>0.∴a>6或a<－3.12345678910111213*5.(2016·揚(yáng)州模擬)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34(a，b，c∈R)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若不等式f′(x)≤0的解集為{x|－2≤x≤3}，f(x)的極小值等于－115，則a的值是_____.答案解析212345678910111213由已知可得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由3ax2＋2bx＋c≤0的解集為{x|－2≤x≤3}可知a>0，且－2，3是方程3ax2＋2bx＋c＝0的兩根，當(dāng)x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)；12345678910111213當(dāng)x∈(－2，3)時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(3，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，123456789101112136.(2016·南京模擬)已知y＝f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0，2)時，f(x)＝ln

x－ax(a>)，當(dāng)x∈(－2，0)時，f(x)的最小值為1，則a＝___.答案解析1由題意知，當(dāng)x∈(0，2)時，f(x)的最大值為－1.解得a＝1.123456789101112137.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f(2)＝_____.答案解析18∵函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.123456789101112138.函數(shù)f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的極大值是正數(shù)，極小值是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是____________.答案解析f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，當(dāng)－a<x<a時，f′(x)<0，函數(shù)遞減；當(dāng)x>a或x<－a時，f′(x)>0，函數(shù)遞增.∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，由f′(x)＝0得x＝±a，123456789101112132可得f′(x)＝x2－2x－1，即f(x)在[0，1]上的最小值為f(1)，12345678910111213答案解析10.(2016·南京模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m∈[－1，1]，則f(m)的最小值為________.答案解析－4f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0.即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減，在(0，1)上單調(diào)遞增，∴對m∈[－1，1]時，f(m)min＝f(0)＝－4.1234567891011121311.已知函數(shù)f(x)＝xln

x.若對于任意x∈[，e]，不等式2f(x)≤－x2＋ax－3恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________________.答案解析12345678910111213當(dāng)x∈(1，e]時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增.123456789101112131234567891011121312.設(shè)f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0，6).(1)確定a的值；解答因?yàn)閒(x)＝a(x－5)2＋6lnx，令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－16a＝(6－8a)(x－1)，1