高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和課件新人教版A

2.5

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和1.理解并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)方法.2.能利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)問題.3.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,則當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1;【做一做】

等比數(shù)列{an}的公比q=2,首項(xiàng)a1=2,則Sn等于(

).A.n2+n B.n2-nC.2n+1-2 D.2n-1答案:C1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系

Sn=-Aqn+A.由此可見,非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù),而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù);當(dāng)公比q=1時(shí),因?yàn)閍1≠0,所以Sn=na1是關(guān)于n的正比例函數(shù).(2)當(dāng)q≠1時(shí),數(shù)列S1,S2,S3,…,Sn,…的圖象是函數(shù)y=-Aqx+A圖象上的一群孤立的點(diǎn);當(dāng)q=1時(shí),數(shù)列S1,S2,S3,…,Sn,…的圖象是正比例函數(shù)y=a1x圖象上的一群孤立的點(diǎn).2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)剖析若等比數(shù)列{an}的公比為q,則有以下性質(zhì):(1)若某數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=-A·qn+A(A≠0,q≠0,且q≠1,n∈N*),則此數(shù)列一定是等比數(shù)列.(2)在等比數(shù)列中,間隔相等、連續(xù)等長(zhǎng)的片段和序列成等比數(shù)列.即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比數(shù)列,公比為qn(q≠-1).(3)當(dāng)總項(xiàng)數(shù)為2n時(shí),S偶=qS奇.(5)Sn+m=Sn+qnSm.推導(dǎo)如下:設(shè)首項(xiàng)為a1,公比為q.若q=1,顯然成立;此性質(zhì)還可推導(dǎo)如下:Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+…+an+m-1+an+m=Sn+a1·qn+a2·qn+a3·qn+…+am·qn=Sn+qn(a1+a2+…+am)=Sn+qnSm.(6)數(shù)列{an}為等比數(shù)列?Sn=Aqn+B(A=-B≠0).題型一題型二題型三題型四等比數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算問題【例1】

在等比數(shù)列{an}中,已知Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.分析已知an,Sn,q,可列方程組求a1和n.解得2n=64,則n=6.代入①,得a1=3.反思等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中共有五個(gè)量:Sn,an,a1,q,n.“知三求二”是常見題型,常用解方程組的方法求得,解方程組消元的策略是將所得方程相除.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練1】

在等比數(shù)列{an}中,(1)若q=2,S4=1,求S8;題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用【例2】

在等比數(shù)列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.分析用求和公式直接求解或用性質(zhì)求解.解法一∵S2n≠2Sn,∴q≠1.題型一題型二題型三題型四解法二∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數(shù)列,∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),反思此類問題的解題通法是先利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式建立方程組,求出a1和q,再求解;這種方法思路自然清晰,但有時(shí)運(yùn)算較為復(fù)雜.如果能聯(lián)想相關(guān)性質(zhì),運(yùn)用性質(zhì)求解,可以提高解題速度,減少解題時(shí)間.特別是在客觀題解答中,有時(shí)能起到事半功倍之效.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練2】

一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項(xiàng)的和為85,偶數(shù)項(xiàng)的和為170,求出該數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).解設(shè)該等比數(shù)列為{an},∵項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),∴S偶=qS奇,∴85q=170,∴q=2.又Sn=85+170=255,∴2n=256,∴n=8.故公比q=2,項(xiàng)數(shù)n=8.題型一題型二題型三題型四實(shí)際應(yīng)用問題【例3】

某地本年度旅游業(yè)收入估計(jì)為400萬元,由于該地出臺(tái)了一系列措施,進(jìn)一步發(fā)展旅游業(yè),預(yù)計(jì)今后旅游業(yè)的收入每年會(huì)比上一年增加(1)求n年內(nèi)旅游業(yè)的總收入;(2)試估計(jì)大約幾年后,旅游業(yè)的總收入超過8000萬元.分析(1)先證明這n年內(nèi)每年的旅游業(yè)收入組成等比數(shù)列,再轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列前n項(xiàng)和;(2)利用(1)的結(jié)論,轉(zhuǎn)化為解不等式.題型一題型二題型三題型四解(1)設(shè)第n年的旅游業(yè)收入估計(jì)為an萬元,題型一題型二題型三題型四反思1.解數(shù)列應(yīng)用題的具體步驟是:(1)認(rèn)真審題,理解題意,達(dá)到如下要求.①明確問題屬于哪類應(yīng)用問題,即明確是等差數(shù)列問題,還是等比數(shù)列問題,還是遞推數(shù)列問題?是求an,還是求Sn?特別要注意準(zhǔn)確弄清項(xiàng)數(shù)為多少.②弄清題目中主要的已知事項(xiàng).(2)抓住數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法,恰當(dāng)?shù)匾雲(yún)?shù)變量,并將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言,將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá).(3)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,將已知與所求的量聯(lián)系起來,并根據(jù)題意列出數(shù)學(xué)關(guān)系式.2.價(jià)格升降、細(xì)胞繁殖、利率、稅率、增長(zhǎng)率(如本題)等問題常歸結(jié)為等比數(shù)列模型,即從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)事實(shí),歸納轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題去解決.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練3】

一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度,在以后的每一分鐘里,它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%.試問這個(gè)熱氣球上升的高度能超過125m嗎?解用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度,題型一題型二題型三題型四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn):求和時(shí)忽略公比是否為1致錯(cuò)【例4】

已知在等比數(shù)列{an}中,Sn為其前n項(xiàng)和,a1=2,S3=6,求a3和q.錯(cuò)解由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,故a3=a1q2=2×(-2)2=8.錯(cuò)因分析在上面的求解過程中,沒有討論公比q是否為1,就直接題型一題型二題型三題型四正解若q=1,則S3=3a1=6,符合題意.此時(shí),q=1,a3=a1=2.若q≠1,則由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,解得q=1(舍去