高中數學第三章導數及其應用3.1.2瞬時變化率-導數課件8蘇教版選修

曲線上一點處的切線問題情境：1.平均變化率的定義是什么？它的意義是什么？一般地，函數f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為f(x2)－f(x1)x2－x1問題情境：2.平均變換率刻畫了曲線在某區(qū)間的陡峭程度.1.平均變化率量化了變化的快慢.試作出y=x2，y=x3，在區(qū)間的圖象，并分別求出它們在區(qū)間[0,1]的平均變化率.問題1：根據計算你有什么發(fā)現？2.用平均變化率來刻畫一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”.不能反映出曲線在每一點的變化趨勢.問題1：根據計算你有什么發(fā)現？3.它反映了曲線在某區(qū)間的整體變化趨勢，1.以直線的斜率代表了曲線的陡峭程度.問題2：如何精確地刻畫曲線上某點處的變化趨勢呢？重要思想：以直代曲通過放大點P附近的曲線，我們會發(fā)現曲線在點P附近看上去幾乎成了直線.如果繼續(xù)放大，那么曲線在點P附近將逼近一條確定的直線.因此，在點P附近我們可以用這條直線來代替曲線，也就是說，在點P附近，曲線可以看做直線.我們就可以用這條直線的斜率來刻畫曲線經過點P時上升或下降的變化趨勢.問題3：在之前的學習過程中，你有類似的經歷嗎？生活中有類似的體會嗎？建構數學：切線定義:如圖，設Q為曲線C上不同于P的一點，直線PQ稱為曲線的割線．

隨著點Q沿曲線C向點P運動，割線PQ在點P附近逼近曲線C，當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為經過點P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點P處的切線．這種方法叫割線逼近切線．建構數學：問題4：我們已經從“形”的角度上感受到切線的存在，能從“數”的角度求出這條直線嗎？數學應用：例1.試求f(x)=x2在x=2處的切線斜率.問題5：解析幾何中我們是如何完成的？我們又有什么新方法？割線逼近切線！我們用切線的斜率來刻畫了曲線經過點P時的變化趨勢，因此我們把曲線在點P處的切線斜率稱為曲線在點P處的瞬時變化率.數學應用：變式1：求f(x)=x2在x=a處的切線斜率.變式2：求f(x)=x2斜率為2的切線方程.問題6：你能將該方法推廣到一般函數嗎？如何求出函數y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線斜率？1.設函數圖象上另一點2.割線PQ的斜率3.當無限趨近于0時，kPQ無限趨近于點P處的切線斜率數學應用：試一試：利用直尺，用割線逼近切線的方法作出下列曲線在點P處的切線思考：（1）能用直線與曲線公共點的個數判定直線和曲線相切嗎？（2）曲線一定在切線的一側嗎？數學應用：試一試：我們已經學過很多函數，你能給同桌出一個類似的求切線斜率的題嗎？數學應用：課堂小結：1.一個概念：切線2.一種方法：割線逼近切線3.幾種思想：以直代曲無限逼近量變到質變有限到無限近似與精確數形結合沒有哪門學科能比數學更為清晰闡明自然界的和諧性——保羅·卡盧斯

用數學的眼光觀察現實世界用數學的思維思考現實世界用數學的語言表達現實世界