高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1.2瞬時變化率-導(dǎo)數(shù)課件8蘇教版選修

曲線上一點處的切線問題情境：1.平均變化率的定義是什么？它的意義是什么？一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為f(x2)－f(x1)x2－x1問題情境：2.平均變換率刻畫了曲線在某區(qū)間的陡峭程度.1.平均變化率量化了變化的快慢.試作出y=x2，y=x3，在區(qū)間的圖象，并分別求出它們在區(qū)間[0,1]的平均變化率.問題1：根據(jù)計算你有什么發(fā)現(xiàn)？2.用平均變化率來刻畫一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的”.不能反映出曲線在每一點的變化趨勢.問題1：根據(jù)計算你有什么發(fā)現(xiàn)？3.它反映了曲線在某區(qū)間的整體變化趨勢，1.以直線的斜率代表了曲線的陡峭程度.問題2：如何精確地刻畫曲線上某點處的變化趨勢呢？重要思想：以直代曲通過放大點P附近的曲線，我們會發(fā)現(xiàn)曲線在點P附近看上去幾乎成了直線.如果繼續(xù)放大，那么曲線在點P附近將逼近一條確定的直線.因此，在點P附近我們可以用這條直線來代替曲線，也就是說，在點P附近，曲線可以看做直線.我們就可以用這條直線的斜率來刻畫曲線經(jīng)過點P時上升或下降的變化趨勢.問題3：在之前的學(xué)習(xí)過程中，你有類似的經(jīng)歷嗎？生活中有類似的體會嗎？建構(gòu)數(shù)學(xué)：切線定義:如圖，設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點，直線PQ稱為曲線的割線．

隨著點Q沿曲線C向點P運動，割線PQ在點P附近逼近曲線C，當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為經(jīng)過點P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點P處的切線．這種方法叫割線逼近切線．建構(gòu)數(shù)學(xué)：問題4：我們已經(jīng)從“形”的角度上感受到切線的存在，能從“數(shù)”的角度求出這條直線嗎？數(shù)學(xué)應(yīng)用：例1.試求f(x)=x2在x=2處的切線斜率.問題5：解析幾何中我們是如何完成的？我們又有什么新方法？割線逼近切線！我們用切線的斜率來刻畫了曲線經(jīng)過點P時的變化趨勢，因此我們把曲線在點P處的切線斜率稱為曲線在點P處的瞬時變化率.數(shù)學(xué)應(yīng)用：變式1：求f(x)=x2在x=a處的切線斜率.變式2：求f(x)=x2斜率為2的切線方程.問題6：你能將該方法推廣到一般函數(shù)嗎？如何求出函數(shù)y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線斜率？1.設(shè)函數(shù)圖象上另一點2.割線PQ的斜率3.當無限趨近于0時，kPQ無限趨近于點P處的切線斜率數(shù)學(xué)應(yīng)用：試一試：利用直尺，用割線逼近切線的方法作出下列曲線在點P處的切線思考：（1）能用直線與曲線公共點的個數(shù)判定直線和曲線相切嗎？（2）曲線一定在切線的一側(cè)嗎？數(shù)學(xué)應(yīng)用：試一試：我們已經(jīng)學(xué)過很多函數(shù)，你能給同桌出一個類似的求切線斜率的題嗎？數(shù)學(xué)應(yīng)用：課堂小結(jié)：1.一個概念：切線2.一種方法：割線逼近切線3.幾種思想：以直代曲無限逼近量變到質(zhì)變有限到無限近似與精確數(shù)形結(jié)合沒有哪門學(xué)科能比數(shù)學(xué)更為清晰闡明自然界的和諧性——保羅·卡盧斯

用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界