第3章離散傅里葉變換DFT

3.1離散傅里葉變換的定義3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應(yīng)用舉例第3章離散傅里葉變換(DFT)本章作業(yè)1.（1）（3）（6）2.（1）3.8.12.（2）15.16.3.1離散傅里葉變換的定義

3.1.1DFT的定義設(shè)x(n)是一個(gè)長度為M的有限長序列，則定義x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換為

X(k)的離散傅里葉逆變換為式中，

M為整數(shù)M為整數(shù)通常稱(3.1.1)式和(3.1.2)式為離散傅里葉變換對。把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有證明IDFT［X(k)］的唯一性N稱為DFT變換區(qū)間長度N≥M比較例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的8點(diǎn)和16點(diǎn)DFT

設(shè)變換區(qū)間N=8，則所以，在變換區(qū)間上滿足下式：

IDFT［X(k)］=x(n),0≤n≤N-1由此可見，

(3.1.2)式定義的離散傅里葉變換是唯一的。

設(shè)變換區(qū)間N=16，則FT:圖3.1.1X(k)與X(ejω)的關(guān)系

3.1.2DFT和Z變換的關(guān)系設(shè)序列x(n)的長度為N，其Z變換和DFT分別為：比較上面二式可得關(guān)系式

3.1.3DFT的隱含周期性前面定義的DFT變換對中，x(n)與X(k)均為有限長序列，但由于

的周期性，使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隱含周期性，且周期均為N。對任意整數(shù)m，總有均為整數(shù)

所以(3.1.1)式中，X(k)滿足同理可證明(3.1.2)式中

x(n+mN)=x(n)knNW

實(shí)際上,任何周期為N的周期序列都可以看作長度為N的有限長序列

的周期延拓序列，而

則是的一個(gè)周期，即為了以后敘述方便，將(3.1.5)式用如下形式表示：

圖3.1.2有限長序列及其周期延拓

式中x((n))N表示x(n)以N為周期的周期延拓序列，((n))N表示n對N求余，即如果n=MN+n1，0≤n1≤N-1，

M為整數(shù)，則

((n))N=n1

所得結(jié)果符合圖3.1.2所示的周期延拓規(guī)律。

則有例如，

如果x(n)的長度為N且，則可寫出

的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示為(3.1.8)(3.1.9)系數(shù)DFS式中(3.1.10)為的主值序列

3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)

3.2.1線性性質(zhì)如果x1(n)和x2(n)是兩個(gè)有限長序列，長度分別為N1和N2。

y(n)=ax1(n)+bx2(n)

式中a、b為常數(shù)，即N=max［N1,N2］，則y(n)的N點(diǎn)DFT為Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］,0≤k≤N-1(3.2.1)

其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。

3.2.2循環(huán)移位性質(zhì)

1.序列的循環(huán)移位設(shè)x(n)為有限長序列，長度為N，則x(n)的循環(huán)移位定義為

y(n)=x((n+m))NRN(N)(3.2.2)

2.時(shí)域循環(huán)移位定理設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，y(n)為x(n)的循環(huán)移位，即

y(n)=x((n+m))NRN(n)

則

Y(k)=DFT［y(n)］

=WN-kmX(k)(3.2.3)

其中X(k)=DFT［x(n)］,0≤k≤N-1。證明：

令n+m=n′，則有

由于上式中求和項(xiàng)以N為周期，所以對其在任一周期上的求和結(jié)果相同。將上式的求和區(qū)間改在主值區(qū)則得有限長序列的圓周移位導(dǎo)致頻譜線性相移，而對頻譜幅度無影響。3.頻域循環(huán)移位定理

如果

時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位

3.2.3循環(huán)卷積定理有限長序列x1(n)和x2(n)，長度分別為N1和N2，N=max［N1,N2

］。x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT分別為：

X1(k)=DFT［x1(n)］

X2(k)=DFT［x2(n)］如果

X(k)=X1(k)·X2(k)

則(3.2.5)或一般稱(3.2.5)式所表示的運(yùn)算為x1(n)與x2(n)的循環(huán)卷積。

證明：直接對(3.2.5)式兩邊進(jìn)行DFT令n-m=n′，則有

循環(huán)卷積過程中，要求對x2(m)循環(huán)反轉(zhuǎn)，循環(huán)移位，特別是兩個(gè)N長的序列的循環(huán)卷積長度仍為N。顯然與一般的線性卷積不同，故稱之為循環(huán)卷積。

因?yàn)樯鲜街?，以N為周期，所以對其在任一個(gè)周期上求和的結(jié)果不變。因此所以即循環(huán)卷積亦滿足交換律。記為由于*N圖3.2.2循環(huán)卷積過程示意圖2.先將x2(m)周期化,形成x2((m))N,再反轉(zhuǎn)形成x2((-m))N,取主值序列x2((-m))NRN(m).稱之為x2(m)的循環(huán)反轉(zhuǎn).1.循環(huán)過程中,求和變量為m,n為參變量.3.對x2(m)的循環(huán)反轉(zhuǎn)序列x2((-m))NRN(m)移位n,形成x2((n-m))NRN(m).4.當(dāng)n=0,1,2,…..N-1時(shí),分別將x1(m)與x2((n-m))NRN(m)相乘,并對m在0~(N-1)區(qū)間上求和,便得到x1(n)與x2(n)的循環(huán)卷積x(n).

頻域循環(huán)卷積定理：如果x(n)=x1(n)x2(n)

則(3.2.6)X1(k)=DFT［x1(n)］X2(k)=DFT［x2(n)］0≤k≤N-1或循環(huán)（圓周）卷積過程：1）補(bǔ)零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圓周移位5）相乘相加

3.2.4復(fù)共軛序列的DFT

設(shè)x*(n)是x(n)的復(fù)共軛序列，長度為NX(k)=DFT［x(n)］則

DFT［x*(n)］=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.7)

且

X(N)=X(0)證明：根據(jù)DFT的唯一性，只要證明(3.2.7)式右邊等于左邊即可。又由X(k)的隱含周期性有X(N)=X(0)

用同樣的方法可以證明

DFT［x*(N-n)］=X*(k)(3.2.8)

3.2.5DFT的共軛對稱性

1.有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列為了區(qū)別于傅里葉變換中所定義的共軛對稱(或共軛反對稱)序列，下面用xep(n)和xop(n)分別表示有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列，則二者滿足如下定義式：

xep(n)=x*ep(N-n),0≤n≤N-1(3.2.9)

xop(n)=-x*op(N-n),0≤n≤N-1(3.2.10)

當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，將上式中的n換成N/2-n可得到上式更清楚地說明了有很長序列共軛對稱性的含義。如圖3.2.3所示。圖中*表示對應(yīng)點(diǎn)為序列取共軛后的值。圖3.2.3共軛對稱與共軛反對稱序列示意圖如同任何實(shí)函數(shù)都可以分解成偶對稱分量和奇對稱分量一樣，任何有限長序列x(n)都可以表示成其共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和，即

x(n)=xep(n)+xop(n),0≤n≤N-1(3.2.11)

將上式中的n換成N-n，并取復(fù)共軛，再將(3.2.9)式和(3.2.10)式代入得到

x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n)(3.2.12)

xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］(3.2.13)

xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］(3.2.14)

2.DFT的共軛對稱性

(1)如果x(n)=xr(n)+jxi(n)

其中

xr=Re［x(n)］=1/2［x(n)+x*(n)］

jxi(n)=jIm［x(n)］=1/2［x(n)-x*(n)］

由(3.2.7)式和(3.2.13)式可得

DFT［xr(n)］=1/2DFT［x(n)+x*(n)］

=1/2［X(k)+X*(N-k)］

=Xep(k)由(3.2.7)式和(3.2.14)式得

DFT［jxi(n)］=1/2DFT［x(n)-x*(n)］

=1/2［X(k)-X*(N-k)］

=Xop(k)

由DFT的線性性質(zhì)即可得

X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)(3.2.16)

其中

Xep(k)=DFT［xr(n)］,X(k)的共軛對稱分量

Xop(k)=DFT［jxi(n)］,X(k)的共軛反對稱分量

(2)如果x(n)=xep(n)+xop(n)，0≤n≤N-1(3.2.17)

其中

xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］,x(n)的共軛對稱分量

xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］,x(n)的共軛反對稱分量由(3.2.8)式得

DFT［xep(n)］=1/2DFT［x(n)+x*(N-n)］

=1/2［X(k)+X*(k)］

=Re［X(k)］

DFT［xop(n)］=1/2DFT［x(n)-x*(N-n)］

=1/2［X(k)-X*(k)］

=jIm［X(k)］因此X(k)=DFT［x(n)］=XR(k)+jXI(k)(3.2.18)

其中XR(k)=Re［X(k)］=DFT［xep(n)］

jXI(k)=jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］x(n)=xr

(n)+jxi(n)=

xep(n)+xop(n)X(k)=Xep(k)+Xop(k)=XR(k)+jXI(k)DFTDFTDFTDFTDFT設(shè)x(n)是長度為N的實(shí)序列，且X(k)=DFT［x(n)］，則

(1)X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.19)(2)如果x(n)=x(N-m)

則X(k)實(shí)偶對稱，即

X(k)=X(N-k)(3.2.20)(3)如果x(n)=-x(N-n)，則X(k)純虛奇對稱，即

X(k)=-X(N-k)(3.2.21)

利用DFT的共軛對稱性，通過計(jì)算一個(gè)N點(diǎn)DFT，可以得到兩個(gè)不同實(shí)序列的N點(diǎn)DFT，設(shè)x1(n)和x2(n)為兩個(gè)實(shí)序列，構(gòu)成新序列x(n)如下：

x(n)=x1(n)+jx2(n)

對x(n)進(jìn)行DFT，得到

X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)由(3.2.16)式、(3.2.13)式和(3.2.14)式得到

Xep(k)=DFT［x1(n)］=1/2［X(k)+X*(N-k)］

Xop(k)=DFT［jx2(n)］=1/2［X(k)-X*(N-k)］

所以

X1(k)=DFT［x1(n)］=1/2［X(k)+X*(N-k)］

X2(k)=DFT［x2(n)］=-j1/2［X(k)-X*(N-k)］3.3頻率域采樣

設(shè)任意序列x(n)的Z變換為且X(z)收斂域包含單位圓(即x(n)存在傅里葉變換)。在單位圓上對X(z)等間隔采樣N點(diǎn)得到xN(n)=IDFT［X(k)］，0≤n≤N-1

由DFT與DFS的關(guān)系可知，是以N為周期的周期延拓序列

的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)

的主值序列，即將式(3.3.1)代入上式得式中為整數(shù)其它m

否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。這就是所謂的頻域采樣定理。如果序列的長度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)N≥M時(shí)，才有(3.3.2)(3.3.3)即可由頻域采樣恢復(fù)原序列式中

下面推導(dǎo)用頻域采樣表示的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù)。設(shè)序列長度為M，在頻域0~2π之間等間隔采樣N點(diǎn)，N≥M，則有

將上式代入的表示式中得(3.3.4)

上式中，因此

(3.3.5)(3.3.6)進(jìn)一步化簡可得(3.3.7)(3.3.8)

式(3.3.6)稱為用表示的內(nèi)插公式，稱為內(nèi)插函數(shù)。當(dāng)時(shí)，(3.3.5)式和(3.3.6)式就成為

的傅里葉變換的內(nèi)插函數(shù)和內(nèi)插公式，即解:P95133.4DFT的應(yīng)用舉例

3.4.1用DFT計(jì)算線性卷積一.用DFT計(jì)算循環(huán)卷積:

如果則由時(shí)域循環(huán)卷積定理有

可見，循環(huán)卷積既可在時(shí)域直接計(jì)算，也可以按照圖3.4.1所示的計(jì)算框圖，在頻域計(jì)算。由于DFT有快速算法FFT，當(dāng)N很大時(shí)，在頻域計(jì)算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)計(jì)算循環(huán)卷積。圖3.4.1用DFT計(jì)算循環(huán)卷積二.用DFT(FFT)計(jì)算線性卷積:

在實(shí)際應(yīng)用中，為了分析時(shí)域離散線性非移變系統(tǒng)或者對序列進(jìn)行濾波處理等，需要計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積，與計(jì)算循環(huán)卷積一樣，為了提高運(yùn)算速度，也希望用DFT(FFT)計(jì)算線性卷積。假設(shè)h(n)和x(n)都是有限長序列，長度分別是N和M。它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下：(3.4.1)(3.4.2)其中，

對照式(3.4.1)可以看出，上式中(3.4.3)即

就是以L為周期的周期延拓序列的主值序列。我們已知長度為N+M-1,因此只有當(dāng)循環(huán)卷積的長度L≥N+M-1時(shí)，

以L為周期進(jìn)行周期延拓才無混疊。此時(shí)因此循環(huán)卷積等于線性卷積的條件是L≥N+M-1圖3.4.2線性卷積與循環(huán)卷積圖3.4.3用DFT計(jì)算線性卷積框圖框圖中的DFT和IDFT通常用快速傅里葉變換(FFT)實(shí)現(xiàn),稱為快速卷積三.分段卷積

當(dāng)M>>N時(shí)，選取L=N+M+1，以L為運(yùn)算區(qū)間，用快速卷積法計(jì)算線性卷積，要求對短序列補(bǔ)很多零點(diǎn)，長序列全部輸入才能計(jì)算。存貯量大，運(yùn)算時(shí)間長，不適合實(shí)時(shí)處理。解決的辦法是將長序列分段處理。設(shè)序列h(n)長度為N，x(n)為無限長序列。將x(n)均勻分段，每段長度取M，則于是，h(n)與x(n)的線性卷積可表示為(3.4.4)（1）重疊相加法（1）x(n)為分段，每段長為p點(diǎn)，p選擇與M數(shù)量組相同。用xi(n)表示x(n)的第i段.圖3.4.4重疊相加法卷積示意圖（1）重疊相加法例子（2）重疊保留法（2）重疊保留法例子

3.4.2用DFT對信號(hào)進(jìn)行譜分析

所謂信號(hào)的譜分析就是計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換。1.用DFT對連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析

設(shè)連續(xù)信號(hào)持續(xù)時(shí)間為Tp，最高頻率為fc，如圖3.4.5所示。說明1:用DFT對連續(xù)信號(hào)xa(t)進(jìn)行譜分析一定是近似的,其近似程度與信號(hào)帶寬、采樣頻率和截取長度有關(guān).說明2:以下假設(shè)xa(t)是經(jīng)過預(yù)濾波(濾除幅度很小的高頻成分)和截取處理(截去幅度很小的時(shí)間信號(hào))的有限長帶限信號(hào).(1)譜分析過程

對以采樣間隔T≤1/2fc(即fs=1/T≥2fc)采樣得。設(shè)共采樣N點(diǎn)，并對作零階近似(t=nT,dt=T)得的傅里葉變換為(3.4.5)

顯然，仍是f的連續(xù)周期函數(shù)，

和如圖3.4.5(b)所示。對在區(qū)間［0,fs］上等間隔采樣N點(diǎn)，采樣間隔為F，如圖3.4.5(c)所示。參數(shù)fs

、Tp、N和F滿足如下關(guān)系式：將和式(3.4.5)代入中可得的采樣由于，

所以

(3.4.6)令則(3.4.8)(3.4.7)結(jié)論1:連續(xù)信號(hào)的頻譜特性可以通過對連續(xù)信號(hào)采樣并進(jìn)行DFT再乘以T近似得到.結(jié)論2:由Xa(k)看不到Xa(jf)的全部頻譜特性,而只能看到N個(gè)離散采樣點(diǎn)的譜特性,這稱為柵欄效應(yīng).由(3.4.7)可以得到(3.4.8)結(jié)論3:對持續(xù)時(shí)間有限的帶限信號(hào),在滿足時(shí)域采樣定理時(shí),可由Xa(k)恢復(fù)xa(t).

理想低通濾波器的單位沖擊響應(yīng)及其頻響函數(shù)如圖3.4.6(a)、(b)所示。圖中

(2)將時(shí)間無限長信號(hào)截?cái)嗨a(chǎn)生的影響以理想低通濾波器為例泄漏現(xiàn)象圖3.4.6用DFT計(jì)算理想低通濾波器頻響曲線近似理想低通高頻波動(dòng)截?cái)嘈?yīng)旁瓣在已知信號(hào)的最高頻率fc，為了避免在DFT運(yùn)算中發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣速率fs滿足下式

由于的持續(xù)時(shí)間為無窮長，所以要截取一段Tp，假設(shè)Tp=8s，采樣間隔T=0.25s(即采樣速度fs=4Hz)，采樣點(diǎn)數(shù)。此時(shí)頻域采樣間隔

。則其中

(3.4.9)(3)譜分析范圍如維持fs不變，為提高分辨率可以增加采樣點(diǎn)數(shù)N，因?yàn)?，只有增加對信?hào)的觀察時(shí)間Tp，才能增加N。

Tp和N可以按照下式進(jìn)行選擇:(3.4.10)(3.4.11)按照(3.4.5)式，譜分辨率，如果保持采樣點(diǎn)數(shù)N不變，要提高譜的分辨率(F減小)，必須降低采樣速率，采樣速率的降低會(huì)引起譜分析范圍減少。時(shí)域采樣定理

例3.4.1對實(shí)信號(hào)進(jìn)行譜分析，要求譜分辨率F≤10Hz，信號(hào)最高頻率fc=2.5kHz，試確定最小記錄時(shí)間TPmin，最大的采樣間隔Tmax，最少的采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。如果fc不變，要求譜分辨率增加一倍，最少的采樣點(diǎn)數(shù)和最小的記錄時(shí)間是多少?

因此TPmin=0.1s，因?yàn)橐骹s≥2fc，所以

解：

2.用DFT對序列進(jìn)行譜分析單位圓上的Z變換就是序列傅里葉變換，即為使頻率分辨率提高一倍，F(xiàn)=5Hz，要求連續(xù)周期函數(shù)

對周期為N的周期序列，其頻譜函數(shù)為第k條譜線的位置周期序列的頻譜結(jié)構(gòu)可用其離散傅立葉級(jí)數(shù)DFS的系數(shù)表示其中

用DFT的隱含周期性知道，截取的主值序列，并進(jìn)行N點(diǎn)DFT得到

如果截取長度M等于的整數(shù)個(gè)周期，即

為正整數(shù)，則因?yàn)閗/m=整數(shù)k/m≠整數(shù)k/m=整數(shù)k/m≠整數(shù)再將截取長度擴(kuò)大一倍，截取也能表示的頻譜結(jié)構(gòu)Go

如果的周期預(yù)先不知道，可先截取M點(diǎn)進(jìn)行DFT，即比較和,若兩者主譜誤差滿足要求,則用周期重復(fù)來近似的頻譜