2024-2025學(xué)年北師版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬考試卷

-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：北師大版九年級(jí)上冊(cè)、下冊(cè)。5．難度系數(shù)：0.55。第一部分（選擇題共24分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）1．下列方程中，是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．2．如圖，在中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，添加下列一個(gè)條件，能判定是菱形的是（

）A． B． C． D．3．中國體育代表團(tuán)在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)上取得了優(yōu)異的成績(jī)，奧運(yùn)會(huì)的領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)可以近似的看成如圖所示的立體圖形，它的左視圖是（

）A． B．C． D．4．如圖，，要使，只需要添加一個(gè)條件即可，這個(gè)條件不可能是（

）A． B． C． D．5．在中，，那么的值等于（）A． B．43 C． D．456．如圖，點(diǎn)A，B，C均在上，若，則（

）A． B． C． D．7．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸為直線，以下結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．8．如圖，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)，，，為等邊三角形，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，連接，則線段的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．第二部分（非選擇題共96分）二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）9．已知是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則的值為．10．一個(gè)不透明的口袋中裝有紅色、黃色、藍(lán)色玻璃球共200個(gè)，這些球除顏色外都相同．小明通過大量隨機(jī)摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則可估計(jì)紅球的個(gè)數(shù)約為個(gè)．11．黃金分割在生活中的應(yīng)用十分廣泛，例如大多數(shù)窗戶的寬和長(zhǎng)的比是黃金比，已知某扇寬與長(zhǎng)的比等于黃金比的矩形窗戶的長(zhǎng)為米，則寬為米．（結(jié)果保留根號(hào)）12．如圖，點(diǎn)在軸上，分別以，為邊，在軸上方作正方形，，反比例函數(shù)的圖像分別交邊，于點(diǎn)．作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)．若，為的中點(diǎn)，且陰影部分面積等于，則的值為．13．如圖，四邊形為矩形，，點(diǎn)E在邊上，從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)F從點(diǎn)A開始沿射線方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒3個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)E停止時(shí)，點(diǎn)F也隨之停止．連接和交于點(diǎn)G，直線交直線于點(diǎn)M，則的最小值為．三、解答題（本大題共13小題，滿分81分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）14．（5分）解方程：．15．（5分）如圖，在菱形中，分別是邊、上的點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)．求證：．16．（5分）如圖，在中，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊確定一點(diǎn)D，使．（不寫作法，保留作圖痕跡）17．（5分）某商場(chǎng)銷售一種服裝，原價(jià)賣時(shí)，該服裝每日銷售額為4500元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場(chǎng)決定采取降價(jià)促銷．經(jīng)過兩輪的促銷活動(dòng)后，該服裝每日的銷售額增長(zhǎng)至6480元，求該種服裝日銷售額的每輪平均增長(zhǎng)率．18．（5分）如圖，在中，，于，作于．求證：；19．（5分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為．(1)以原點(diǎn)O為位似中心,在y軸左側(cè)畫出的位似,與的相似比為,點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)；(2)在(1)的情況下直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．20．（6分）如圖，甲、乙兩個(gè)帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分成三個(gè)面積相等的扇形（兩個(gè)轉(zhuǎn)盤除表面數(shù)字不同外，其他完全相同），轉(zhuǎn)盤甲上的數(shù)字分別是，轉(zhuǎn)盤乙上的數(shù)字分別是（規(guī)定：指針恰好停留在分界線上，則重新轉(zhuǎn)一次）．

(1)單獨(dú)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤甲一次，轉(zhuǎn)盤甲指針指向正數(shù)的概率是；(2)若同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤一次，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)傅臄?shù)字乘積為負(fù)數(shù)的概率．21．（6分）某商品交易會(huì)上，一商人將每件進(jìn)價(jià)為5元的紀(jì)念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售價(jià)的辦法來增加利潤，并盡可能減少庫存，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這種紀(jì)念品每件提價(jià)1元，每天的銷售量會(huì)減少4件．設(shè)銷售單價(jià)提高x元（x為正整數(shù)）．(1)求當(dāng)售價(jià)定為多少元時(shí)，每天的利潤為140元？(2)假設(shè)這種商品每天的銷售利潤為w元，商人為了獲得最大利潤，應(yīng)將該商品每件售價(jià)定為多少元？最大利潤是多少元．22．（7分）如圖，在四邊形中，，于點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，于點(diǎn)．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若平分，，，求和的長(zhǎng)．23．（7分）小明和爸爸想利用測(cè)角儀和陽光下的影子來測(cè)量一古樹（底部不可到達(dá)）的高．如圖所示：在陽光下，小明爸爸站在古樹影子的頂端D處，此時(shí)，小明量得爸爸的影長(zhǎng)；然后，小明從D點(diǎn)往古樹方向走了3m到達(dá)點(diǎn)F，并用測(cè)角儀測(cè)得樹頂端A的仰角為（測(cè)角儀高度不計(jì)）．已知爸爸身高，點(diǎn)E、D、F、B在同一條直線上，，．求該古樹的高．（參考數(shù)據(jù)：，，）24．（7分）垂柳是常見的樹種之一，也是園林綠化中常用的行道樹，觀賞價(jià)值較高，成本低廉，深受各地綠化喜愛．如圖①是某街道旁的一棵垂柳，這棵垂柳中某一枝的形狀呈如圖②所示的拋物線形狀，它距離地面的高度y（單位：）與到樹干的水平距離x（單位：）之間滿足關(guān)系式．已知這枝垂柳的始端到地面的距離，末端B恰好接觸地面，且到始端的水平距離．

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)小明頭頂距離地面，他從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)B處走去，請(qǐng)計(jì)算小明走出多遠(yuǎn)時(shí)，頭頂剛好碰到樹枝？25．（8分）如圖，是的直徑，是的弦，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，交于，．

(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為5，求的長(zhǎng)．26．（10分）（1）如圖1，在中，，，．與、兩邊分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，圓心O恰好在上，求的半徑．（2）已知某文創(chuàng)園區(qū)原有一塊草坪（區(qū)域）如圖2所示，經(jīng)測(cè)量：，，在M處建有一個(gè)亭子，滿足．現(xiàn)要在原基礎(chǔ)上擴(kuò)大面積重新規(guī)劃為花卉展區(qū)，要求在上找一點(diǎn)P，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使得，過點(diǎn)P分別作于E，于F．按設(shè)計(jì)要求，四邊形區(qū)域?yàn)橛慰陀^賞區(qū)，其余部分為花卉展區(qū)（、、三部分總和）．為了游客得到更好的體驗(yàn)，需要盡可能把花卉展區(qū)布置大一些，請(qǐng)問能否將花卉展區(qū)面積設(shè)計(jì)最大？若可以，請(qǐng)求出最大面積；若不可以，請(qǐng)說明理由．

2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：北師大版九年級(jí)上冊(cè)、下冊(cè)。5．難度系數(shù)：0.55。第一部分（選擇題共24分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）1．下列方程中，是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B、最高次是3次，不是2次，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C、符合一元二次方程的定義，故本選項(xiàng)符合題意；D、當(dāng)時(shí)，該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)不是2，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．2．如圖，在中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，添加下列一個(gè)條件，能判定是菱形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：A、∵，∴，∴是菱形，故選項(xiàng)符合題意；B、∵四邊形是平行四邊形，，∴是矩形，故選項(xiàng)不符合題意；C、∵四邊形是平行四邊形，，∴，∵，∴，∴是矩形，故選項(xiàng)不符合題意，D、∵四邊形是平行四邊形，，∴還是平行四邊形，故選項(xiàng)不符合題意；故選：A．3．中國體育代表團(tuán)在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)上取得了優(yōu)異的成績(jī)，奧運(yùn)會(huì)的領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)可以近似的看成如圖所示的立體圖形，它的左視圖是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：由左視圖的定義知該領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的左視圖如下：．故選：D．4．如圖，，要使，只需要添加一個(gè)條件即可，這個(gè)條件不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵，∴，即，當(dāng)時(shí)，，故A不符合要求；當(dāng)時(shí)，，故B不符合要求；當(dāng)時(shí)，，故C不符合要求；當(dāng)時(shí)，無法證明，故D符合要求；故選：D．5．在中，，那么的值等于（）A． B．43 C． D．45【答案】C【詳解】解：如圖所示：∵，∴，∴，故選：C6．如圖，點(diǎn)A，B，C均在上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵，，∴，∴，∴,故選：A7．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸為直線，以下結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：①∵二次函數(shù)圖象開口向下，與軸交于軸的上方，∴，，∵拋物線的對(duì)稱軸為，∴，∴，故①錯(cuò)誤；②∵，∴，故②正確；③∵二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸為直線，∴二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，結(jié)合圖象可知：當(dāng)時(shí)，，即，故③錯(cuò)誤；④∵拋物線的開口向下，與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，，故④正確；正確的有個(gè)．故選：B．8．如圖，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)，，，為等邊三角形，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，連接，則線段的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【詳解】解：連接交于，如圖所示：當(dāng)時(shí)，線段的值最小，四邊形是矩形，且，，，，，，是等邊三角形，，，，是的垂直平分線，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，，，故選D．第二部分（非選擇題共96分）二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）9．已知是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則的值為．【答案】3【詳解】解：∵是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，∴，解得，故答案為：3．10．一個(gè)不透明的口袋中裝有紅色、黃色、藍(lán)色玻璃球共200個(gè)，這些球除顏色外都相同．小明通過大量隨機(jī)摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則可估計(jì)紅球的個(gè)數(shù)約為個(gè)．【答案】60【詳解】解：由題意可知紅球的個(gè)數(shù)約為（個(gè)），故答案為：60．11．黃金分割在生活中的應(yīng)用十分廣泛，例如大多數(shù)窗戶的寬和長(zhǎng)的比是黃金比，已知某扇寬與長(zhǎng)的比等于黃金比的矩形窗戶的長(zhǎng)為米，則寬為米．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【詳解】解：根據(jù)題意得；（）故答案為：12．如圖，點(diǎn)在軸上，分別以，為邊，在軸上方作正方形，，反比例函數(shù)的圖像分別交邊，于點(diǎn)．作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)．若，為的中點(diǎn)，且陰影部分面積等于，則的值為．【答案】6【詳解】解：如圖所示：設(shè)，則，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，為的中點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖像上，，，陰影部分面積等于，，即，故答案為：．13．如圖，四邊形為矩形，，點(diǎn)E在邊上，從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)F從點(diǎn)A開始沿射線方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒3個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)E停止時(shí)，點(diǎn)F也隨之停止．連接和交于點(diǎn)G，直線交直線于點(diǎn)M，則的最小值為．【答案】【詳解】解：如圖1，∵矩形，∴，，，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，∵，，∴，∴，∴，∴，如圖1，記的中點(diǎn)為，∴在以為直徑的上運(yùn)動(dòng)，由題意知，、均為的切線，如圖1，作的切線，交于，切點(diǎn)為，由題意知，的最小值為，由切線長(zhǎng)定理可知，，，設(shè)，則，，由勾股定理得，，即，解得，，故答案為：．三、解答題（本大題共13小題，滿分81分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）14．（5分）解方程：．解：∵a=2，，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，·····（2分）∴，·····（1分）∴，．·····（2分）15．（5分）如圖，在菱形中，分別是邊、上的點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)．求證：．【詳解】證明：四邊形是菱形，，····（1分）在和中，，，····（3分）．····（1分）16．（5分）如圖，在中，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊確定一點(diǎn)D，使．（不寫作法，保留作圖痕跡）【詳解】解：如圖，點(diǎn)D即為所求．．····（5分）17．（5分）某商場(chǎng)銷售一種服裝，原價(jià)賣時(shí)，該服裝每日銷售額為4500元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場(chǎng)決定采取降價(jià)促銷．經(jīng)過兩輪的促銷活動(dòng)后，該服裝每日的銷售額增長(zhǎng)至6480元，求該種服裝日銷售額的每輪平均增長(zhǎng)率．【詳解】解：設(shè)該種服裝日銷售額的每輪平均增長(zhǎng)率為，由題意得：，····（2分）解得：，（不符合題意，舍去）答：該種服裝日銷售額的每輪平均增長(zhǎng)率為．····（3分）18．（5分）如圖，在中，，于，作于．求證：；【詳解】證明：∵于D，于E，∴，····（1分）∵，于，∴，∴，∴，····（2分）∴，∵，∴．····（2分）19．（5分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為．(1)以原點(diǎn)O為位似中心,在y軸左側(cè)畫出的位似,與的相似比為,點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)；(2)在(1)的情況下直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；····（4分）（2）解：∵，位似比為，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．····（1分）20．（6分）如圖，甲、乙兩個(gè)帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分成三個(gè)面積相等的扇形（兩個(gè)轉(zhuǎn)盤除表面數(shù)字不同外，其他完全相同），轉(zhuǎn)盤甲上的數(shù)字分別是，轉(zhuǎn)盤乙上的數(shù)字分別是（規(guī)定：指針恰好停留在分界線上，則重新轉(zhuǎn)一次）．

(1)單獨(dú)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤甲一次，轉(zhuǎn)盤甲指針指向正數(shù)的概率是；(2)若同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤一次，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)傅臄?shù)字乘積為負(fù)數(shù)的概率．【詳解】（1）解：轉(zhuǎn)盤甲被等分為3份，其中1份標(biāo)有正數(shù)，∴轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤甲1次，指針指向正數(shù)的概率是，故答案為：；····（2分）（2）解：畫樹狀圖如下：

····（3分）共有9種等可能的結(jié)果，其中兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)傅臄?shù)字乘積為負(fù)數(shù)的結(jié)果有5種，∴兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針?biāo)傅臄?shù)字乘積為負(fù)數(shù)的概率．····（1分）21．（6分）某商品交易會(huì)上，一商人將每件進(jìn)價(jià)為5元的紀(jì)念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售價(jià)的辦法來增加利潤，并盡可能減少庫存，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這種紀(jì)念品每件提價(jià)1元，每天的銷售量會(huì)減少4件．設(shè)銷售單價(jià)提高x元（x為正整數(shù)）．(1)求當(dāng)售價(jià)定為多少元時(shí)，每天的利潤為140元？(2)假設(shè)這種商品每天的銷售利潤為w元，商人為了獲得最大利潤，應(yīng)將該商品每件售價(jià)定為多少元？最大利潤是多少元．【詳解】（1）解：由售價(jià)單價(jià)提高x元，則每天銷售量，由題可知售價(jià)為元，由，即，····（2分）解得，，故售價(jià)為：或，∵需要減少庫存，并且每提高1元，銷售量會(huì)減少4件，故售價(jià)定為10元，當(dāng)售價(jià)定為10元時(shí)，每天的利潤為140元；····（2分）（2），····（1分）∴當(dāng)時(shí)，w最大值為144，故售價(jià)為，····（1分）故當(dāng)售價(jià)為11元時(shí)，利潤最大為144元．22．（7分）如圖，在四邊形中，，于點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，于點(diǎn)．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若平分，，，求和的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：，，，····（1分），四邊形是平行四邊形，····（1分），平行四邊形是菱形．····（1分）（2）解：，，，∵平分，，，，，在和中，，，，即，解得，····（3分）由（1）已證：四邊形是菱形，．····（1分）23．（7分）小明和爸爸想利用測(cè)角儀和陽光下的影子來測(cè)量一古樹（底部不可到達(dá)）的高．如圖所示：在陽光下，小明爸爸站在古樹影子的頂端D處，此時(shí)，小明量得爸爸的影長(zhǎng)；然后，小明從D點(diǎn)往古樹方向走了3m到達(dá)點(diǎn)F，并用測(cè)角儀測(cè)得樹頂端A的仰角為（測(cè)角儀高度不計(jì)）．已知爸爸身高，點(diǎn)E、D、F、B在同一條直線上，，．求該古樹的高．（參考數(shù)據(jù)：，，）【詳解】解：由題意得，米，設(shè)米，在中：，····（1分），，····（2分），，，，，，····（2分），，解得：；····（2分）答：該古樹的高為米．24．（7分）垂柳是常見的樹種之一，也是園林綠化中常用的行道樹，觀賞價(jià)值較高，成本低廉，深受各地綠化喜愛．如圖①是某街道旁的一棵垂柳，這棵垂柳中某一枝的形狀呈如圖②所示的拋物線形狀，它距離地面的高度y（單位：）與到樹干的水平距離x（單位：）之間滿足關(guān)系式．已知這枝垂柳的始端到地面的距離，末端B恰好接觸地面，且到始端的水平距離．

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；(2)小明頭頂距離地面，他從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)B處走去，請(qǐng)計(jì)算小明走出多