有理函數(shù)的積分積分表的使用

有理函數(shù)的積分積分表的使用有理函數(shù)的積分積分表的使用

本節(jié)將介紹一種比較簡單的特殊類型函數(shù)的不定積分——有理函數(shù)的積分，以及積分表的使用.一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)是指有理式所表示的函數(shù)，它包括有理整式和有理分式兩類：有理整式有理分式其中m，n都是非負整數(shù)，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是實數(shù)，并且a0≠0,b0≠0.

一、有理函數(shù)的積分在有理分式中，n<m時，稱為真分式；n≥m時，稱為假分式.

利用多項式除法，可以把任意一個假分式化為一個有理整式和一個真分式之和.例如，有理整式的積分很簡單，下面只討論真分式的積分.

一、有理函數(shù)的積分最簡分式的積分1.下列四類分式統(tǒng)稱為最簡分式，其中n為大于等于2的正整數(shù)；A,M,N,a,p,q均為常數(shù)，且p2－4q<0.

下面先討論這四類最簡分式的不定積分.

前兩類最簡分式的不定積分可以由基本積分公式直接得到.對第三類最簡分式，將其分母配方得一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分綜上所述，最簡分式的不定積分都能被求出，且原函數(shù)都是初等函數(shù).根據(jù)代數(shù)學(xué)的有關(guān)定理可知，任何真分式都可以分解為上述四類最簡分式的和，因此，有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).

一、有理函數(shù)的積分有理分式化為最簡分式的和2.一、有理函數(shù)的積分對式(5-18)，應(yīng)注意到以下兩點：(1)若分母Q(x)中含有因式(x－a)k，則分解后含有下列k個最簡分式之和：其中A1,A2,…,Ak都是常數(shù).

(2)若分母Q(x)中含有因式(x2+px+q)k，其中p2－4q<0，則分解后含有下列k個最簡分式之和：其中Mi,Ni(i=1,2,…,k)都是常數(shù).一、有理函數(shù)的積分(5-19)(5-20)一、有理函數(shù)的積分第二種方法在恒等式(5-20)中，代入特殊的x值，從而求出待定的常數(shù).在式(5-20)中，令x=2，得A=－5;令x=3，得B=6.同樣得到(5-21)一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)積分舉例3.【例53】一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分三角函數(shù)有理式的積分1.由sinx，cosx和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱為三角有理函數(shù)，記為R(sinx,

cosx).

三角函數(shù)的積分比較靈活，方法很多.在換元積分法和分部積分法中介紹過一些方法.這里主要介紹三角函數(shù)有理式的積分方法，其基本思想是通過適當?shù)淖儞Q，將三角有理函數(shù)化為有理函數(shù)的積分.

二、可化為有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分【例55】二、可化為有理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分2.求簡單無理函數(shù)的積分，其基本思想是利用適當?shù)淖儞Q將其有理化，轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的積分.下面通過例子來說明.二、可化為有理函數(shù)的積分【例57】二、可化為有理函數(shù)的積分【例58】三、積分表的使用本章介紹了不定積分的概念及計算方法.必須指出的是：初等函數(shù)在它的定義區(qū)間上不定積分一定存在，但不定積分存在與不定積分能否用初等函數(shù)表示出來不是一回事.事實上，有很多初等函數(shù)，它們的不定積分是存在的，但它們的不定積分卻無法用初等函數(shù)表示出來，如

同時還應(yīng)了解，求函數(shù)的不定積分與求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的區(qū)別.求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)總可以循著一定的規(guī)則和方法去做，而求一個函數(shù)的不定積分卻沒有統(tǒng)一的規(guī)則可循，需要具體問題具體分析，靈活應(yīng)用各類積分方法和技巧.

三、積分表的使用實際應(yīng)用中常常利用積分表(見附錄)來計算不定積分.求不定積分時可按被積函數(shù)的類型從表中查到相