重積分的應用

重積分的應用重積分的應用由前面的討論可知，平面圖形的面積、曲頂柱體的體積可用二重積分計算，空間物體的質量可用三重積分計算.本節(jié)中我們將把定積分應用中的微元法推廣到重積分的應用中，利用重積分的微元法來討論重積分在幾何、物理上的一些應用.一、在幾何上的應用求平面圖形的面積1.根據(jù)二重積分的性質可知，平面圖形的面積一、在幾何上的應用求閉曲線

(x2+y2)3=4(x4+y4)所圍圖形的面積.解該曲線的圖形如圖9-38所示.在極坐標系下曲線的方程為

r2=4(cos4θ+sin4θ).【例32】圖9-38一、在幾何上的應用一、在幾何上的應用求立體圖形的體積2.由重積分的幾何意義可知，曲頂柱體的體積對于一般空間立體的體積用三重積分來求更為直觀一些.如圖9-39所示，由三重積分的知識可知空間區(qū)域Ω的體積(9-14)(9-15)一、在幾何上的應用圖9-39一、在幾何上的應用求球體x2+y2+z2≤4a2被圓柱面x2+y2=2ax(a>0)所截得的(含在圓柱面內(nèi)的部分)立體的體積，如圖9-40所示.【例33】圖9-40一、在幾何上的應用一、在幾何上的應用求曲面面積3.設曲面S由方程z=f(x,y)給出，Dxy為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域，函數(shù)f(x,y)在Dxy上具有連續(xù)的一階偏導數(shù)f′x(x,y)和f′y(x,y).我們要計算曲面S的面積A.在閉區(qū)域Dxy上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ(這小閉區(qū)域的面積也記作dσ).在dσ上取一點P(x,y)對應曲面S上有一點M(x,y,f(x,y))，點M在xOy面上的投影為點P.點M處曲面S的切平面設為T(見圖9-41).圖9-41一、在幾何上的應用設曲面的方程為x=g(y,z)或y=h(z,x)，可分別把曲面投影到y(tǒng)Oz面上(投影區(qū)域記作Dyz)或zOx面上(投影區(qū)域記作Dzx)，類似地可得二、在物理上的應用

重積分在物理上的應用是很廣泛的，這里主要介紹求物體的質量、質心和轉動慣量.二、在物理上的應用物體的質量1.設有一平面薄板占有xOy面上的閉區(qū)域D，它在點(x,y)處的面密度為ρ(x,y)，這里ρ(x,y)>0且在D上連續(xù)，則平面薄板的質量上述公式可以推廣到空間物體的質量其中ρ(x,y,z)為物體在點(x,y,z)處的密度，Ω為物體占有的空間.二、在物理上的應用例36設平面薄板所占的閉區(qū)域是由直線x+y=2,y=x和x軸所圍成的，它的面密度ρ(x,y)=x2+y2，求該薄板的質量.解如圖9-43所示【例36】圖9-43二、在物理上的應用二、在物理上的應用物體的質心2.設平面上有n個質點組成的質點系，其位置分別為(xi,yi)(i=1,2,…,n)，質量分別為m1,m2,…,mn，由力學知識可知，該質點系的質心坐標為二、在物理上的應用設有一平面薄板，占有xOy面上的閉區(qū)域D，它在點(x,y)處的面密度為ρ(x,y)，假定ρ(x,y)在D上連續(xù)，現(xiàn)在要找該薄板的質心.由于ρ(x,y)在D上連續(xù)，把薄板分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區(qū)域Δσi直徑很小，在Δσi上任取一點(ξi,ηi)，則ρ(ξi,ηi)Δσi(i=1,2,…,n)

可以近似看作第i小塊的質量.若把每一小塊看作質量集中在點(ξi,ηi)的質點時，整個薄板就可看成是n個質點的質點系，因此，由二重積分的定義知，薄板的質心坐標為二、在物理上的應用如果薄板是均勻的，即面密度為常數(shù)，則質心坐標為其中ΔD=Ddσ為閉區(qū)域D的面積.同理可得到空間非均勻物體Ω的質心坐標(,,)的計算公式為其中ρ(x,y,z)為物體在點(x,y,z)處的密度，ρ為連續(xù)函數(shù).二、在物理上的應用設半徑為R的半圓形平面薄板D，各點處的面密度等于該點到圓心的距離，求它的質心坐標.解取坐標系如圖9-44所示.由題意，薄板面密度為ρ(x,y)=x2+y2，由于薄板關于y軸對稱，故【例37】圖9-44二、在物理上的應用二、在物理上的應用轉動慣量3.先討論平面薄板的轉動慣量.設xOy平面上有n個質點，它們分別位于(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)處，質量分別為m1,m2,…,mn，由力學知識知道，該質點系對于x軸與y軸的轉動慣量分別為設有一平面薄板，占有xOy面上的閉區(qū)域D，它在點(x,y)處的面密度為ρ(x,y)，假定ρ(x,y)在D上連續(xù)，現(xiàn)在求該薄板對于x軸與y軸的轉動慣量Ix和Iy.二、在物理上的應用由于ρ(x,y)在D上連續(xù)，把薄板分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區(qū)域Δσi直徑很小，在Δσi上任取一點(xi,yi)，則

ρ(xi,yi)Δσi(i=1,2,…,n)

可以看作第i小塊質量，若把每一小塊看作質量集中在點(xi,yi)的質點時，整個薄板就可看成是n個質點的質點系，所以，由二重積分的定義知，平面薄板對于x軸與y軸的轉動慣量分別為二、在物理上的應用【例38】半徑為R的均勻半圓形薄板，面密度為常數(shù)ρ，求其對于直徑的轉動慣量.解如圖9-44所示，區(qū)域D可表示為

D={(r,θ