2025高考數(shù)學二輪復習-專題3 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列【課件】

第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列2025新高考核心考點2021年2022年2023年2024年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.等差數(shù)列模型第17題第17題

第3題第7題第20題第18題第19題

2.等比數(shù)列模型

第8題

第19題3.等差數(shù)列與等比數(shù)列的交匯模型

第17題

4.數(shù)列求和問題第16題

第17題

第18題

第12題基礎回扣?考教銜接以題梳點?核心突破目錄索引

基礎回扣?考教銜接1.(人A選必二4.2.2節(jié)例題改編)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2a5=a4+5,則S11的值是(

)A.11 B.50C.55 D.60C解析

由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)可知2a5=a4+5=a4+a6,則a6=5,2.(人A選必二4.3.1節(jié)例題改編)已知{bn}是等比數(shù)列,若b2=3,b6=27,則b4的值為(

)A.9 B.-9 C.±9 D.81解析

由題得

=b2·b6=3×27=81,而b4=b2·q2>0,則b4=9,故選A.A3.(人A選必二4.2.2節(jié)習題改編)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S9=81,則S12=(

)A.288 B.144 C.96 D.25B4.(人A選必二第四章習題改編)中國三大名樓之一的黃鶴樓因其獨特的建筑結構而聞名,其外觀有五層而實際上內(nèi)部有九層.為迎接國慶節(jié)的到來,有網(wǎng)友建議在黃鶴樓內(nèi)部掛燈籠進行裝飾,若在黃鶴樓內(nèi)部塔樓的頂層掛4盞燈籠,且相鄰的兩層中,下一層的燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的兩倍,則九層塔樓一共需要掛的燈籠數(shù)為(

)A.360 B.511

C.1022 D.2044D解析

依題意,各層燈籠數(shù)從上到下排成一列構成等比數(shù)列{an}(n∈N*,n≤9),且a1=4,公比q=2,所以前9項和為

=2

044,所以九層塔樓一共需要掛2

044盞燈籠.故選D.真題體驗1.(2024·全國甲,理4)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知S5=S10,a5=1,則a1=(

)B2.(2023·全國甲,文5)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a2+a6=10,a4a8=45,則S5=(

)A.25 B.22 C.20 D.15C3.(2023·新高考Ⅰ,7)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,設甲:{an}為等差數(shù)列;乙:為等差數(shù)列,則(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件C當n≥2時,an=Sn-Sn-1=A(2n-1)+B=2An-A+B.當n=1時也符合上式,故an=2An-A+B,故{an}為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件.綜上,甲是乙的充要條件.故選C.Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D.當n≥2時,上兩式相減得Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D.當n=1時,上式成立,于是an=a1+2(n-1)D.又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D為常數(shù),因此{an}為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件,所以甲是乙的充要條件.故選C.4.(2024·新高考Ⅱ,12)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,則S10=

.

95以題梳點?核心突破考點一等差數(shù)列考向1等差數(shù)列的基本運算例1(1)(2024·重慶三模)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S7=70,a2(a3+a5)=80,則公差d=(

)A.12 B.2 C.3 D.4C解析

等差數(shù)列中,S7=7a4=70,得a4=10.又a2(a3+a5)=2a2a4=80,所以a2=4,所以d=3.故選C.(2)(2024·廣東茂名模擬)公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S8=4(a2+ak),則k=(

)A.4 B.6 C.7 D.9C解析

設公差為d(d≠0),∴a1+a8=a2+ak,∴ak=a1+6d=a7,∴k=7.故選C.[對點訓練1](1)(2024·河北石家莊三模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,S9=6a5+27,則S5=(

)A.25 B.27 C.30 D.35A(2)(2024·山東濟寧期末)《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣,自冬至日起,其日影長依次成等差數(shù)列,前三個節(jié)氣日影長之和為28.5尺,最后三個節(jié)氣日影長之和為1.5尺,則春分時節(jié)的日影長為(

)A.4.5尺

B.3.5尺 C.2.5尺

D.1.5尺A解析

設冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣日影長構成等差數(shù)列{an},公差為d,所以an=a1+(n-1)d=11.5-n,所以a7=11.5-7=4.5.故春分時節(jié)的日影長為4.5尺.考向2等差數(shù)列的性質(zhì)例2(1)(2024·廣東廣州模擬)在等差數(shù)列{an}中,若a2+a5+a19+a22=28,則a12=(

)A.45 B.6 C.7 D.8C解析

因為a2+a5+a19+a22=(a2+a22)+(a5+a19)=4a12=28,所以a12=7.故選C.(2)(多選題)(2024·山東臨沂期中)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1>0,a4+a11>0,a7a8<0,則下列選項正確的有(

)A.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列B.S6>S9C.當n=7時,Sn最大D.當Sn>0時,n的最大值為14BCD解析

∵在等差數(shù)列{an}中,a1>0,a4+a11=a7+a8>0,a7a8<0,∴a7>0,a8<0,∴公差d<0,數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,A錯誤;∵S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,∴S6>S9,B正確;∵a7>0,a8<0,數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,∴當n=7時,Sn最大,C正確;C(2)(2024·四川南充二模)竹子可以用來加工成日用品,比如竹簡、竹簽、竹扇、竹筐、竹筒等.現(xiàn)有某飲料廠共研發(fā)了九種容積不同的竹筒用來罐裝飲料,這九種竹筒的容積a1,a2,…,a9(單位:L)依次成等差數(shù)列,若a1+a2+a3=3.6,a8=0.4,則a1+a2+…+a9=(

)A.5.4 B.6.3 C.7.2 D.13.5C考點二等比數(shù)列考向1等比數(shù)列的基本運算例3(1)(2024·江西景德鎮(zhèn)三模)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,Sn+1=4Sn,a2=3,則S2024=(

)A解析

由Sn+1=4Sn,a2=3,得a2+a1=S2=4S1=4a1,解得S1=a1=1,因此數(shù)列{Sn}是首項為1,公比為4的等比數(shù)列,Sn=S1·4n-1=4n-1,所以S2

024=42

023.故選A.(2)(2023·全國甲,文13)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若8S6=7S3,則{an}的公比為

.

[對點訓練3](1)(2024·河南洛陽模擬)在一次數(shù)學實踐課上某同學將一張腰長為1的等腰直角三角形紙對折,每次對折后仍成等腰直角三角形,則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為(

)A考向2等比數(shù)列的性質(zhì)例4(1)(2024·山東濟南三模)已知{an}是等比數(shù)列,且a2a7=-a8=-4a4,則a3=(

)C解析

設等比數(shù)列{an}的公比為q,因為a2a7=a1a8=a4a5,且a2a7=-a8=-4a4,所以a1=-1,a5=-4,所以

=a1a5,且a1,a3,a5同號,所以a3=-2.故選C.(2)(2024·江蘇揚州模擬)在正項等比數(shù)列{an}中,Sn為其前n項和,若S30=7S10,S10+S30=80,則S20的值為(

)A.10 B.20 C.30 D.40C解析

設正項等比數(shù)列{an}的公比為q,則S10,S20-S10,S30-S20是首項為S10,公比為q10的等比數(shù)列.若S30=7S10,S10+S30=80,則S10=10,S30=70,所以(S20-10)2=S10(S30-S20)=10(70-S20)>0,即

10S20-600=0,解得S20=30或S20=-20(舍去).故選C.[對點訓練4](1)(2024·北京朝陽一模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1+a2=1,a3+a4=4,則S6=(

)A.9 B.16 C.21 D.25Ca5+a6=16,S6=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)=21.故選C.(2)(2024·福建漳州三模)已知數(shù)列{an}是公比不為1的正項等比數(shù)列,則“t=2”是“a1·a10=at·a9”的(

)A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件A解析

由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,若t=2,則a1·a10=at·a9.記數(shù)列{an}的公比為q,若a1·a10=at·a9,則a1·a1q9=a1qt-1·a1q8,因為數(shù)列{an}是公比不為1的正項等比數(shù)列,所以q9=qt+7,得t+7=9,t=